Przeczytaj

W tym materiale, analizując wykresy wybranych funkcji elementarnych, określimy ich granice w nieskończoności a następnie wykorzystamy poznane wiadomości do obliczenia granic innych funkcji.

Niech: $f (x) = x^{2 n}$ , $D_{f} = ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ .

Wykresy funkcji $f (x) = x^{2 n}$ , gdzie $D_{f} = ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ , wyglądają następująco:

R1VXB8CXAc4v4

Ilustracja przedstawia trzy wykresy funkcji w układzie współrzędnych. Każdy z wykresów jest parabolą o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie 0;0. Każdy z wykresów przebiega przez punkty: -1;1 oraz 1;1. Wykres f indeks dolny jeden jest najostrzejszy w okolicach wierzchołka, a jego ramiona powyżej wartości jeden są najszerzej rozłożone. Wykres f indeks dolny dwa jest bardziej wybrzuszony w okolicy wierzchołka i leży na zewnątrz pierwszej paraboli f indeks dolny jeden dla wartości od zera do jeden, natomiast dla wartości powyżej jeden wykres ten leży pomiędzy ramionami paraboli f indeks dolny jeden. Wykres f indeks dolny trzy leży najbardziej na zewnątrz dla wartości od zera do jeden i jego ramiona są najwęziej położone dla wartości powyżej jeden.

Widzimy, że gdy:

argumenty $x$ dążą do plus nieskończoności, to wartości funkcji też dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco:
$\lim_{x \to + \infty} x^{2 n} = + \infty$ ,

argumenty $x$ dążą do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco:
$\lim_{x \to - \infty} x^{2 n} = + \infty$ .

Analizowane funkcje są parzyste, więc

\lim_{x \to - \infty} x^{2 n} = \lim_{x \to + \infty} x^{2 n} = + \infty

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest postaci $f (x) = x^{2 n}$ , gdzie $x \in ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ , to $\lim_{x \to - \infty} x^{2 n} = \lim_{x \to + \infty} x^{2 n} = + \infty$ .

Niech: $f (x) = x^{2 n + 1}$ , $D_{f} = ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ .

Wykresy funkcji $f (x) = x^{2 n + 1}$ , $D_{f} = ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ wyglądają następująco:

RES97Yx945rcV

Ilustracja przedstawia trzy wykresy funkcji w układzie współrzędnych. Każdy z wykresów jest krzywą biegnącą w trzeciej i pierwszej ćwiartce. W trzeciej ćwiartce wykresy biegną niemal pionowo w górę, wszystkie przebiegają przez punkt -1;-1, powyżej tego punktu zakręcają w prawo do punktu 0;0, gdzie przebijają do pierwszej ćwiartce, gdzie biegną łukiem do punktu 1;1, a powyżej tego punktu wykresy biegną niemal pionowo w górę. Wykres f indeks dolny jeden poniżej wartości minus jeden leży najbardziej na zewnątrz, wybrzuszenie biegnące w kierunku początku układu współrzędnych jest najostrzejsze, podobnie wybrzuszenie między wartościami zero i jeden, powyżej natomiast ramię krzywej najbardziej oddala się od osi Y. Wykres f indeks dolny f dwa znajduje się pomiędzy dwoma pozostałymi wykresami, wykres f indeks dolny trzy leży najbliżej osi Y, a jego wybrzuszenia między wartościami minus jeden do zera i od zera do jeden są największe.

Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że dla każdego $n \in ℕ_{+}$ :

\lim_{x \to - \infty} x^{2 n + 1} = - \infty

\lim_{x \to + \infty} x^{2 n + 1} = + \infty

Analizowane funkcje są nieparzyste, więc

\lim_{x \to - \infty} x^{2 n + 1} = - \lim_{x \to + \infty} x^{2 n + 1}

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest postaci $f (x) = x^{2 n + 1}$ , gdzie $x \in ℝ$ i $n \in ℕ_{+}$ to $\lim_{x \to - \infty} x^{2 n + 1} = - \infty$ i $\lim_{x \to + \infty} x^{2 n + 1} = + \infty$ .

Niech: $f (x) = a^{x}$ , $D_{f} = ℝ$ i $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ .

Wykres funkcji $f (x) = a^{x}$ , $D_{f} = ℝ$ dla $a \in (1, + \infty)$ wygląda następująco:

R6qGKPQ8GlnRm

Ilustracja przedstawia krzywą wykładniczą umieszczoną w układzie współrzędnych. Krzywa w minus nieskończoności wypłaszcza się w minus nieskończoności do ujemnej półosi O X, przecina dodatnią półoś O Y i biegnie dalej zakreśla niemal pionowy łuk w pierwszej ćwiartce .

Widzimy, że gdy:

argumenty $x$ dążą do plus nieskończoności, to wartości funkcji też dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco
$\lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$ ,

argumenty $x$ dążą do minus nieskończoności, to wartości funkcji zbliżają się do osi $X$ , czyli dążą do zera, co zapisujemy
$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ .

Wykres funkcji $f (x) = a^{x}$ , $D_{f} = ℝ$ dla $a \in (0, 1)$ wygląda następująco:

R1WqagInoppoI

Ilustracja przedstawia krzywą wykładniczą umieszczoną w układzie współrzędnych. Krzywa biegnie w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W drugiej zakreśla niemal pionowy łuk, przecina dodatnią półoś i przebija do pierwszej ćwiartki, w której wypłaszcza się do dodatniej półosi O X.

Z wykresu odczytujemy:

\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty

\lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest postaci $f (x) = a^{x}$ , gdzie $x \in ℝ$ , to

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ i $\lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$ , gdy $a \in (1, \infty)$ ,

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$ i $\lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0$ , gdy $a \in (0, 1)$ .

Niech $f (x) = \log_{a} x$ , $D_{f} = ℝ_{+}$ , gdzie $a > 0$ i $a \neq 1$ .

Gdy $a \in (1, + \infty)$ wykres funkcji $f (x) = \log_{a} x$ wygląda następująco:

R1b4MtIJqfONZ

Ilustracja przedstawia krzywą logarytmiczną f w układzie współrzędnych. Krzywa znajduje się w czwartej i w pierwszej ćwiartce. W czwartej biegnie niemal pionowo w górę, przecina dodatnią półoś O X i w pierwszej ćwiartce zakręca w prawo i jednocześnie łagodnie w górę.

Gdy argumenty $x$ dążą do plus nieskończoności, wartości funkcji też zmierzają do plus nieskończoności: $\lim_{x \to + \infty} \log_{a} x = + \infty$ .

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x = 0$ , ponieważ $\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = - \infty$ .

Wykres funkcji $f (x) = \log_{a} x$ , gdy $a \in (0, 1)$ :

R1YTovXlYvf4q

Ilustracja przedstawia krzywą logarytmiczną f w układzie współrzędnych znajdującą się w pierwszej i w czwartej ćwiartce. Krzywa wypłaszcza się do dodatniej półosi O Y, przecina dodatnią półoś O X i w czwartej ćwiartce zatacza łuk w prawo, łagodnie malejąc.

Widzimy, że gdy $a \in (0, 1)$ , to $\lim_{x \to + \infty} \log_{a} x = - \infty$ .

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x = 0$ ponieważ $\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = \infty$ .

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest postaci $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $x \in ℝ_{+}$ , to

$\lim_{x \to + \infty} \log_{a} = + \infty$ , gdy $a \in (1, \infty)$ ,

$\lim_{x \to + \infty} \log_{a} x = - \infty$ , gdy $a \in (0, 1)$ .

Niech $f (x) = \frac{1}{x}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ .

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

RBM1MbXPm0oLi

Ilustracja przedstawia hiperbolę f w układzie współrzędnych. Składowe hiperboli znajdują się w trzeciej i w pierwszej ćwiartce i wybrzuszają się w kierunku początku układu współrzędnych.

Możemy podać granicę tej funkcji w plus i minus nieskończoności.

Widzimy, że zarówno przy $x$ zmierzającym do plus jak i minus nieskończoności wykres zbliża się do osi $X$ , czyli:

\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x = 0$ , bo istnieją granice niewłaściwegranica niewłaściwa funkcjiniewłaściwe:

\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest postaci $f (x) = \frac{1}{x}$ , gdzie $x \in ℝ ∖ \{0\}$ , to

\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0

Niech $f (x) = \sin x$ , $D_{f} = ℝ$

Narysujemy teraz wykres funkcji $f (x) = \sin x$

R1AxvsUzxOpcY

Ilustracja przedstawia sinusoidę f w układzie współrzędnych.

Z wykresu tej funkcji wynika, że nie istnieje granica tej funkcji w plus i minus nieskończoności. Aby to wykazać skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji.

Załóżmy, że przedział $(c, + \infty)$ , gdzie $c \in ℝ$ , zawiera się w dziedzinie funkcji $f$ . Granicą funkcji $f$ w plus nieskończoności jest liczba $g$ , jeżeli dla każdego ciągu $\{x_{n}\}$ argumentów funkcji $f$ rozbieżnego do $+ \infty$ odpowiadający mu ciąg $\{f (x_{n})\}$ wartości funkcji $f$ jest zbieżny do liczby $g$ .

Weźmy dwa ciągi rozbieżne do nieskończoności: $\{x_{n}\}$ oraz $\{x'_{n}\}$ określone wzorami:

$x_{n} = 2 π n$ oraz $x'_{n} = \frac{1}{2} π + 2 π n$ .

Ponieważ funkcja $f (x) = \sin x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π,$ to $\sin (x_{0} + 2 π n) = \sin x_{0}$ , więc:

$\lim_{n \to \infty} \sin x_{n} = \lim_{n \to \infty} \sin 2 π n = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ i $\lim_{n \to \infty} \sin x_{n}^{'} = \lim_{n \to \infty} \sin (\frac{1}{2} π + 2 π n) = \lim_{n \to \infty} \sin \frac{1}{2} π = 1$ .

$\lim_{n \to \infty} \sin x_{n} \neq \lim_{n \to \infty} \sin x'_{n}$ co oznacza, że nie istnieje granica $\lim_{x \to \infty} \sin x$ .

Podobnie można wykazać, że nie istnieje granica tej funkcji, gdy $x \to - \infty$ .

Przykład 1

Obliczymy granicegranica funkcjigranice funkcji $f (x) = - 2 x^{4} - 3 x^{3} - 6$ , gdy $x$ dąży do $+ \infty$ i gdy $x$ dąży do $- \infty$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{4} - 3 x^{3} - 6$ jest zbiór $ℝ$ .

W przypadku, gdy liczymy granicę wielomianu, wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze: $- 2 x^{4} - 3 x^{3} - 6 = x^{4} (- 2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{4}})$ .

Zauważmy, że granica funkcji zarówno przy $x$ dążącym do $+ \infty$ , jaki i przy $x$ dążącym do $- \infty$ , zależy jedynie od granicy wyrażenia $- 2 x^{4}$ .

Ponadto:

$\lim_{x \to \infty} x^{4} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0 = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}}$

$\lim_{x \to \infty} (- 2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{4}}) = - 2 - \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} = - 2$ .

Zatem:

$\lim_{x \to \infty} (- 2 x^{4} - 3 x^{3} - 6) = \lim_{x \to \infty} x^{4} (- 2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{4}}) = + \infty \cdot (- 2) = - \infty$ .

Analogicznie liczymy granicę przy $x \to - \infty$ .

Ponieważ

$\lim_{x \to - \infty} x^{4} = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} = 0 = \lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x^{4}}$ ,

$\lim_{x \to - \infty} (- 2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{4}}) = - 2 - \lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x} - \lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x^{4}} = - 2$ ,

więc

$\lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{4} - 3 x^{3} - 6) = \lim_{x \to - \infty} x^{4} (- 2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{4}}) = + \infty \cdot (- 2) = - \infty$ .

Wniosek

Jeżeli $f$ jest wielomianem stopnia parzystego zmiennej $x$ , to zarówno przy $x$ dążącym do $+ \infty$ jak i przy $x$ dążącym do $- \infty$ funkcja ta dąży do nieskończoności o takim znaku, jak znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej $x$ .

Przykład 2

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2$ , gdy $x$ dąży do $+ \infty$ i gdy $x$ dąży do $- \infty$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2$ jest zbiór $ℝ$ .

W przypadku, gdy liczymy granicę wielomianu, wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze: $- 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 = x^{3} (- 3 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})$ .

Zauważmy, że granica funkcji zarówno przy $x$ dążącym do $+ \infty$ jak i przy $x$ dążącym do $- \infty$ zależy jedynie od granicy wyrażenia $- 3 x^{3}$ .

Mamy:

$\lim_{x \to \infty} x^{3} = + \infty$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}} = 0$

zatem: $\lim_{x \to \infty} (- 3 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) = - 3 + \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}} = - 3$

i stąd: $\lim_{x \to \infty} (- 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2) = \lim_{x \to \infty} x^{3} (- 3 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) =$ $= + \infty \cdot (- 3) = - \infty$ .

Liczymy teraz granicę $\lim_{x \to - \infty} (- 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2)$ .

Ponieważ:

$\lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{3}} = 0$

$\lim_{x \to - \infty} (- 3 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) = - 3 + \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + \lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}} - \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{3}} = - 3$ ,

więc $\lim_{x \to - \infty} (- 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2) = \lim_{x \to - \infty} x^{3} (- 3 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) =$ $= - \infty \cdot (- 3) = + \infty$ .

Wniosek

Gdy $x$ dąży do $+ \infty$ , to wielomian stopnia nieparzystego zmiennej $x$ dąży do nieskończoności z takim znakiem, jaki ma współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ , a gdy $x$ dąży do $- \infty$ , to wielomian dąży do nieskończoności ze znakiem przeciwnym do znaku współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej $x$ .

Przykład 3

Obliczymy granicę $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ .

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ jest zbiór $ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ gdyż $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

Dla $x$ dążącego do $+ \infty$ funkcja $f (x) = x^{2} + 1$ dąży do $+ \infty$ i funkcja $f (x) = x^{2} - 4$ też zmierza do $+ \infty$ , zatem otrzymujemy symbol nieoznaczony.

W przypadku, gdy liczymy granicę funkcji wymiernej, wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje ona w mianowniku – w tym przypadku $x^{2}$ .

Wyrażenie $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ zapisujemy zatem następująco:

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} (\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}})} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$ .

Ponieważ

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} = 0$ , $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} = 0$ i $\lim_{x \to \infty} 1 = 1$ ,to

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{1}{1} = 1$ .

Zauważmy, że dla $x$ dążącego do $- \infty$ nasze rozumowanie dotyczące granicy funkcji $f$ się powtórzy. Taką samą sytuację będziemy mieli w każdym przypadku, gdy stopień licznika i stopień mianownika funkcji wymiernej będą równe.

Wniosek

Jeśli stopnie licznika i mianownika funkcji wymiernej są równe, to granica tej funkcji, gdy $x$ dąży do $+ \infty$ i gdy $x$ dąży do $- \infty$ , jest równa ilorazowi współczynników przy zmiennych w najwyższej potędze.

Przykład 4

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = 3 x (\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{x^{2} + 1})$ w nieskończoności.

Rozwiązanie

Liczymy następującą granicęgranica funkcjigranicę $\lim_{x \to \infty} 3 x (\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{x^{2} + 1})$ .

Ponieważ obliczenie na tym etapie granicy jest niemożliwe, bo otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, mnożymy i dzielimy funkcję $f (x)$ przez $\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}$ i stosujemy wzór $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .

Mamy zatem:

$\frac{(\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{x^{2} + 1}) \cdot (\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{(\sqrt{x^{2} + 2})}^{2} - {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}} =$

$= \frac{x^{2} + 2 - x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}}$

i stąd:

$\lim_{x \to \infty} 3 x (\sqrt{x^{2} + 2} - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} 3 x \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Ponownie otrzymaliśmy symbol nieoznaczony, dlatego wyrażenie przekształcamy dalej i wyłączamy $x$ z licznika i mianownika:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} \cdot \frac{3}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}} =$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$ .

Słownik

granica niewłaściwa funkcji

funkcja $f$ ma dla $x$ dążącego do $+ \infty$ granicę niewłaściwą $+ \infty$ , jeżeli dla dowolnego ciągu $\{x_{n}\}$ argumentów funkcji $f$ rozbieżnego do $+ \infty$ odpowiadający mu ciąg $\{f (x_{n})\}$ wartości funkcji $f$ jest rozbieżny do $+ \infty$ , co zapisujemy następująco $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

granica funkcji

granicą funkcji $f$ dla $x$ dążącego do $+ \infty$ jest liczba $g$ , jeżeli dla każdego ciągu $\{x_{n}\}$ argumentów funkcji $f$ rozbieżnego do $+ \infty$ odpowiadający mu ciąg $\{f (x_{n})\}$ wartości funkcji $f$ jest zbieżny do liczby $g$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik