Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Różne spojrzenia na pole trójkąta

Trójkąt jest figurą, która „cieszy się szczególnymi względami” wśród autorów programów szkolnych. Pomyślcie bowiem, gdy nauczyciel w szkole poprosi o podanie wzoru na pole prostokąta jest niemal pewne, że przywołany zostanie tylko jeden – ten, w którym liczymy iloczyn długości boków: a·b. Raczej nikt nie powie, że pole prostokąta wyraża się np. wzorem 12·d2·sinφ, gdzie d jest długością przekątnej, a φ kątem między przekątnymi. Tymczasem swoistym elementarzem, w odniesieniu do trójkąta, jest nie tylko wzór, w którym liczymy połowę iloczynu długości podstawy i wysokości, ale także ten, często przywoływanym przy konstruowaniu zadań zamkniętych na maturę z matematyki, gdzie wykorzystujemy kąt między bokami, tj.: 12ab·sina,b, czy ten najkrótszy i często nieuświadomiony: p·r, który łączy promień okręgu wpisanego i obwód trójkąta. Ale teraz nadszedł czas, by te wzory wykorzystać.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt o bokach długości 5, 6, 7 i zastanówmy się jak wiele dodatkowych informacji, związanych z tym trójkątem, da się otrzymać, przy wykorzystaniu poznanych dotychczas twierdzeń i zależności i tych, których zasoby znajdują się w dostępnym na egzaminie maturalnym zestawie wybranych wzorów matematycznych.

Zacznijmy od zastosowania wzoru Heronawzór Heronawzoru Herona. Zgodnie z przypisywaną Heronowi zależnością, pole dowolnego trójkąta opisuje wzór

P=pp-ap-bp-c, gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, a p jest połową jego obwodu.

W naszym przypadku mamy p=5+6+72=9 oraz P=99-59-69-7=66.

Znajomość pola trójkąta i parametru p – opisującego połowę jego obwodu – pozwala łatwo obliczyć promień r okręgu wpisanego w ten trójkąt. Skorzystamy ze wzoru

P=p·r,

który także cytowany jest w przywołanym zestawie wzorów. Mamy zatem:

66=9·r, stąd r=669=263.

Ponieważ pole trójkąta o bokach długości a, b, c i promieniu R okręgu opisanego na trójkącie opisuje wzór

P=abc4R,

więc R=abc4P
W naszym przypadku otrzymujemy: R=5·6·74·66=3546.

Przed nami jest wyznaczenie miar kątów naszego trójkąta. Ponieważ

asinα=2R,

więc w szczególności: 5sinα=2·3546.

Stąd sinα=10635=2670,6999, zatem α44°
Podobnie 6sinβ=2·3546, zatem sinβ=126350,8398 oraz β57°. Z bilansu kątów w trójkącie wynika, że trzeci z kątów ma przybliżona miarę równą: 180°-44°-57°=79°.

Uwaga

Niebawem wyznaczenie miar kątów trójkąta o danych bokach będzie możliwe bez wyznaczania jego pola – przydatne będzie twierdzenie cosinusówtwierdzenie Carnotatwierdzenie cosinusów – tymczasem jednak to właśnie pole stanowi punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Warto jednak nadmienić, że aby wyznaczyć miary kątów nie ma potrzeby wyznaczać promienia okręgu opisanego – wystarczy zastosować inny wzór na pole trójkąta: P=12absinγ, gdzie oczywiście a, b są długościami boków, a γ jest miarą kąta leżącego między tymi bokami.
Rozwiążemy teraz zadanie, w którym wyznaczeniu polu czworokąta będzie towarzyszyło zastosowanie twierdzenia sinusówtwierdzenie Snelliusatwierdzenia sinusów, a sam czworokąt potraktujemy jako „sumę” dwóch trójkątów (użycie cudzysłowu w słowie suma nie jest konieczne, bowiem czworokąt jest w istocie sumą mnogościową dwóch trójkątów).

Przykład 2

Rozważmy analogiczny problem jak w przykładzie 1, ale przygotowaniem do zastosowania twierdzenia sinusów będą jedynie definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i twierdzenie Pitagorasa (unikniemy tym samym sięgania do wzoru Herona).

Rozważmy trójkąt o bokach długości 16, 20, 24. Wyznaczymy jego pole, promień okręgu opisanego i wartości sinusów kątów tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, gdzie h jest wysokością poprowadzoną na bok b, a xy są długościami odcinków, na jakie spodek tej wysokości podzielił podstawę. Mamy wówczas, że x+y=24.

R1TF5wVKS4a3Q

Trójkąty o bokach x, h, c oraz y, h, a są oczywiście prostokątne, dlatego możemy zapisać równości

h2=c2-x2 oraz h2=a2-y2.

Stąd mamy c2-x2=a2-y2, czyli 162-x2=202-y2

Pozwala to zbudować układ równań x+y=24256-x2=400-y2.

Ponieważ y=24-x, więc możemy drugą równość zapisać w postaci 256-x2=400-24-x2.

Po uproszczenie przyjmuje ona postać 256-400+576=48x.

Stąd x=9 oraz h2=256-81=175. Zatem h=57 oraz sinα=5716.

Pole trójkąta jest więc równe: P=12·24·57=607.

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: R=202·5716=327.

Korzystając ponownie z twierdzenia sinusów możemy wyznaczyć sinusy pozostałych kątów tego trójkąta:

sinβ=5716·2420=378, sinγ=5716·1620=74.

Przykład 3

Rozważmy trapez wpisany w okrąg o promieniu R=12, którego kąt ma miarę 75°, a jego przekątna tworzy z podstawą kąt o mierze 30°. Naszym zadaniem jest obliczenie pola tego trapezu. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1UJZHV0dh6B5

Na początku musimy przypomnieć, że każdy trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, zatem możemy rozważać dowolną z jego dwóch przekątnych, np. BD. Należy także zauważyć, że trójkąt ABD jest wpisany w ten sam okrąg, co dany trapez, zatem

ADsin30°=2R=24,

a ramię trapezu ma długość AD=24·12=12.

Ponieważ ADB=180°75°30°=75°, więc ABsin75°=24.

Stąd AB=BD=24·sin75°.

Oczywiście moglibyśmy wyznaczać długość wysokości trapezu i jego krótszej podstawy, ale dla ułatwienia skorzystamy z faktu, że pole trapezu jest równe sumie pól trójkątów ABDBCD.

Zatem PABCD=PABD+PBCD=12·AB·BD·sin30°+12·BC·BD·sin45°.

Stąd PABCD=1224sin75°24·sin75°12+1222=
=12sin75°12sin75°+62.

Jeśli „przeszkadza” nam zapis sin75°, jako oznaczenie pewnej liczby, to możemy podstawić przybliżoną wartość z tablic 0,9659 lub uwierzyć (przy zagadnieniach z trygonometrii będzie to wyjaśnione), że sin75°=6+24.

Słownik

wzór Herona
wzór Herona

wzór pozwalający obliczyć pole trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków; niech p=a+b+c2 oznacza połowę obwodu trójkąta – wtedy pole S wynosi: S=pp-ap-bp-c

twierdzenie Snelliusa
twierdzenie Snelliusa

w matematyce zamienna nazwa twierdzenia sinusów, określającego związek między bokami i kątami w trójkącie.

twierdzenie Carnota
twierdzenie Carnota

w matematyce zamienna nazwa twierdzenia cosinusów, określającego związek między kątem i bokami w trójkącie