Przeczytaj

Z własności potęgowania wynika, że jeśli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ i $c$ jest liczbą rzeczywistą, to w sposób jednoznaczny możemy obliczyć potęgę $a^{c}$ , czyli znaleźć taką liczbę $b$ , że $a^{c} = b$ .

Zastanowimy się teraz, czy można w sposób jednoznaczny określić wykładnik potęgi $a^{c}$ , gdy znana jest podstawa $a$ i wartość $b$ potęgi.

W niektórych przypadkach odpowiedź na to pytanie jest łatwa.

Na przykład jeśli $5^{c} = 25$ , to od razu odpowiemy, że $c = 2$ .

Podobnie, jeśli $4^{c} = \frac{1}{4}$ , to $c = - 1$ .

Znacznie trudniej jest odgadnąć liczbę $c$ , gdy liczba ta nie jest liczbą całkowitą.

Na przykład jeśli $27^{c} = 9$ , czyli gdy $c = \frac{2}{3}$ .

Sytuacja się jeszcze bardziej komplikuje, gdy $c$ jest liczbą niewymierną.

Na przykład, jeśli $5^{c} = 2$ .

Określenie przybliżonej wartości takiego wykładnika ułatwią nam logarytmy.

Logarytmowanie jest zatem działaniem polegającym na obliczaniu wykładnika potęgi, gdy dana jest podstawa oraz wartość tej potęgi.

Przykład 1

Wykładnik $c$ spełniający równanie $6^{c} = 10$ nazywamy logarytmem liczby $10$ przy podstawie $6$ .

Wykładnik $x$ spełniający równanie $4^{x} = \frac{1}{2}$ nazywamy logarytmem liczby $\frac{1}{2}$ przy podstawie $4$ .

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

LogarytmlogarytmLogarytm oznaczamy symbolem $\log_{a} b$ .

Liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu, liczbę $b$ – liczbą logarytmowaną.

Zapis $\log_{a} b = c$ oznacza, że $a^{c} = b$ .

Szukanie rozwiązania równania $a^{c} = b$ , gdy $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq 1$ , jest więc szukaniem logarytmu liczby $b$ przy podstawie $a$ .

c = \log_{a} b

Przykład 2

Rozwiązaniem równania $9^{c} = 9$ jest $c = 1$ , zatem $\log_{9} 9 = 1$ .

Rozwiązaniem równania $10^{c} = 1000$ jest $c = 3$ , zatem $\log_{10} 1000 = 3$ .

Rozwiązaniem równania $7^{c} = 1$ jest $c = 0$ , zatem $\log_{7} 1 = 0$ .

Rozwiązaniem równania ${\sqrt{2}}^{c} = 8$ jest $c = 6$ , zatem $\log_{\sqrt{2}} 8 = 6$ .

Przykład 3

Zapiszemy potęgowanie za pomocą logarytmowania.

$2^{4} = 16$ możemy zapisać jako $\log_{2} 16 = 4$

$8^{\frac{1}{3}} = 2$ możemy zapisać jako $\log_{8} 2 = \frac{1}{3}$

$9^{- 1} = \frac{1}{9}$ możemy zapisać jako $\log_{9} \frac{1}{9} = - 1$

Ważne!

Każda liczba dodatnia ma dokładnie jeden logarytmlogarytmlogarytm przy danej podstawie dodatniej i różnej od $1$ . Dla liczb ujemnych i zera logarytmów nie określamy.

Podamy teraz przykłady wyznaczania wartości logarytmów, korzystając z definicji.

Przykład 4

Obliczamy $\log_{4} 64$ .

Oznaczamy:

$\log_{4} 64 = x$

Stąd $4^{x} = 64$ , czyli $x = 3$ .

Odpowiedź:

$\log_{4} 64 = 3$

Obliczamy $\log_{10} 0,01$ .

Oznaczamy:

$\log_{10} 0,01 = x$

Stąd $10^{x} = 0,01$ , czyli $x = - 2$ .

Odpowiedź:

$\log_{10} 0,01 = - 2$

Obliczamy $\log_{36} 6$ .

Oznaczamy:

$\log_{36} 6 = x$ .

Stąd $36^{x} = 6$ , czyli $x = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź:

$\log_{36} 6 = \frac{1}{2}$

Obliczamy $\log_{27} \frac{1}{3}$ .

Oznaczamy:

$\log_{27} \frac{1}{3} = x$ .

Stąd $27^{x} = \frac{1}{3}$ , czyli $x = - \frac{1}{3}$ .

Odpowiedź:

$\log_{27} \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$

Przykład 5

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $W = \frac{\log_{3} 81 - 2 \cdot \log_{16} 4}{\sqrt{\log_{2} 512}}$ .

Obliczamy najpierw każdy z logarytmów.

$\log_{3} 81 = 4$ , bo $3^{4} = 81$

$\log_{16} 4 = \frac{1}{2}$ , bo $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

$\sqrt{\log_{2} 512} = \sqrt{9} = 3$ , bo $2^{9} = 512$

Wyznaczamy teraz wartość danego wyrażenia

$W = \frac{4 - 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} = 1$

Słownik

logarytm

liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, to wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik