Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Rodzaje przekrojów ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Poniżej przedstawimy przykłady przekrojów ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Zwróćmy uwagę na część wspólną bryły i płaszczyzny przechodzącej przez ostrosłup.

  1. Przekrój wyznaczony przez przeciwległe krawędzie boczne.

RjJILzZuqmcAn

Zauważmy, że przekrójprzekrój bryłyprzekrój ten jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa ma długość równą długości przekątnej kwadratu (czyli podstawy ostrosłupa) i ramionach, które pokrywają się z krawędziami bocznymi ostrosłupa.

  1. Przekrój wyznaczony przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.

R3phwfxJW30Md

Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem równoramiennym o długości podstawy równej długości krawędzi kwadratu (czyli podstawy ostrosłupa) i ramionach, które pokrywają się z wysokościami ścian bocznych ostrosłupa.

  1. Przekrój płaszczyznąprzekrój bryłyPrzekrój płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i punkty należące do przeciwległych krawędzi bocznych będące w równej odległości od podstawy.

RH0djCoHsAgUE

Zauważmy, że przekrój ten za każdym razem będzie trapezem równoramiennym.

  1. Przekrój wyznaczony przez punkty leżące na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka podstawy.

R6KTJ2E8sKYPz

Przekrój ten jest trójkątem.

  1. Przekrój wyznaczony przez krawędź boczną, wierzchołek oraz środek przeciwległej krawędzi podstawy.

R1JfW2AQKpLFC

Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem, ale tym razem nie jest to trójkąt równoramienny. Długość jednego z jego boków to długość krawędzi bocznej, a długość drugiego z boków jest równa wysokości ściany bocznej.

  1. Przekrój poprzecznyprzekrój poprzeczny bryłyPrzekrój poprzeczny wyznaczony przez środki krawędzi bocznych.

RsJ2rPVoCflSg

Przekrój ten jest kwadratem. Jest to płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy. Zauważmy, że gdybyśmy przesunęli nasz przekrój w górę lub w dół równolegle do płaszczyzny podstawy, nadal byłby on kwadratem.

Przykład 1

Kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych wynosi 60°. Obliczmy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych i wysokość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 6 cm.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek.

R3utMr16t6NwY

Skoro kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych wynosi 60°, to znaczy, że przekrój jest trójkątem równobocznym o krawędzi długości 6 cm.

Policzmy jego pole:

P=6234=93 cm2.

Przykład 2

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkątami równobocznymi o boku długości 18 cm. Obliczmy pole przekroju wyznaczonego przez przekątną podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek.

R1Ula3tXgNq1x

Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego ramiona są wysokościami trójkątów równobocznych, jakimi są ściany boczne.

x=1832=93

Do policzenia pola trójkąta brakuje nam jego wysokości, nazwijmy ją h. Policzymy ją wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

R80HzYhDQ7Bzl

h2=(93)2-(92)2

h2=81

h=9

Zatem pole przekroju wynosi: P=121829=812 cm2.

Przykład 3

Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy i środki dwóch sąsiednich krawędzi bocznych. Obliczmy pole tego przekroju, wiedząc, że wszystkie krawędzie ostrosłupa mają długość 16 cm.

Rozwiązanie

Przekrój jest trapezem równoramiennym. Górna podstawa trapezu oraz jego ramiona mają długość 8 cm (wynika to z podobieństwa trójkątów SGHSDC, CGFCSB o skali k=12).

R127oCFiFNAGZ
RCWZqk4US3Sk5

Trójkąt GIE jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że

h2=82-42

h2=48

h=48

h=43

Pole przekroju wynosi więc: P=16+8243=483 cm2.

Przykład 4

Rysunek przedstawia przekrój poprzeczny ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu równym S2. Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa ABCDS, jeśli wiadomo, że wierzchołki przekroju podzieliły krawędzie boczne w stosunku 7:3.

R92Bq6N4FTQux

Rozwiązanie

Przekrój jest kwadratem. Skoro jego pole wynosi S2, co oznacza, że A'B'=S2=S.

Trójkąty ABSABS są podobne (na mocy cechy podobieństwa trójkątów kkk).

Z treści zadania wiemy, że |SB'||B'B|=73 lub SB'B'B=37. Rozpatrzmy obydwa przypadki.

Przypadek 1

Jeśli SB'B'B=73, to |SB'||SB|=710. Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc 710.

Zatem mamy równość:

A'B'AB=710,

SAB=710,

7AB=10S,

AB=107S.

Jeśli SB'B'B=73, to krawędź podstawy ostrosłupa ABCDS ma długość 107S.

Przypadek 2

Jeśli zaś |SB||BB|=37, to |SB||SB|=310. Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc 310.

Zatem mamy równość:

|AB||AB|=310,

S|AB|=310,

3|AB|=10S,

|AB|=103S.

Jeśli | S B | | B B | = 3 7 , to krawędź podstawy ostrosłupa ABCDS ma długość 103S.

Przykład 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a, w którym tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 54. Obliczmy pole przekroju tego ostrosłupa wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RAetFs0u3XpZ4

Wiemy, że tgα=54, więc wykorzystując trójkąt prostokątny SOE otrzymujemy równanie:

H12a=54.

Stąd otrzymujemy:

4H=52a,

H=58a.

Naszym zadaniem jest obliczenie pola przekroju ostrosłupa, czyli pola trójkąta SFE. Ze wzoru na pole trójkąta mamy:

P=12a·H=12a·58a=516a2.

Słownik

przekrój bryły
przekrój bryły

figura płaska powstająca przy przecięciu bryły płaszczyzną

przekrój poprzeczny bryły
przekrój poprzeczny bryły

obraz przedmiotu widziany po jego przecięciu w poprzek, np. obraz słojów wewnątrz ściętego pnia drzewa