Poniżej przedstawimy przykłady przekrojów ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Zwróćmy uwagę na część wspólną bryły i płaszczyzny przechodzącej przez ostrosłup.
Przekrój wyznaczony przez przeciwległe krawędzie boczne.
RjJILzZuqmcAn
Zauważmy, że przekrójprzekrój bryłyprzekrój ten jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa ma długość równą długości przekątnej kwadratu (czyli podstawy ostrosłupa) i ramionach, które pokrywają się z krawędziami bocznymi ostrosłupa.
Przekrój wyznaczony przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.
R3phwfxJW30Md
Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem równoramiennym o długości podstawy równej długości krawędzi kwadratu (czyli podstawy ostrosłupa) i ramionach, które pokrywają się z wysokościami ścian bocznych ostrosłupa.
Przekrój płaszczyznąprzekrój bryłyPrzekrój płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i punkty należące do przeciwległych krawędzi bocznych będące w równej odległości od podstawy.
RH0djCoHsAgUE
Zauważmy, że przekrój ten za każdym razem będzie trapezem równoramiennym.
Przekrój wyznaczony przez punkty leżące na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka podstawy.
R6KTJ2E8sKYPz
Przekrój ten jest trójkątem.
Przekrój wyznaczony przez krawędź boczną, wierzchołek oraz środek przeciwległej krawędzi podstawy.
R1JfW2AQKpLFC
Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem, ale tym razem nie jest to trójkąt równoramienny. Długość jednego z jego boków to długość krawędzi bocznej, a długość drugiego z boków jest równa wysokości ściany bocznej.
Przekrój poprzecznyprzekrój poprzeczny bryłyPrzekrój poprzeczny wyznaczony przez środki krawędzi bocznych.
RsJ2rPVoCflSg
Przekrój ten jest kwadratem. Jest to płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy. Zauważmy, że gdybyśmy przesunęli nasz przekrój w górę lub w dół równolegle do płaszczyzny podstawy, nadal byłby on kwadratem.
Przykład 1
Kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych wynosi . Obliczmy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych i wysokość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość .
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek.
R3utMr16t6NwY
Skoro kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych wynosi , to znaczy, że przekrój jest trójkątem równobocznym o krawędzi długości .
Policzmy jego pole:
.
Przykład 2
Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkątami równobocznymi o boku długości . Obliczmy pole przekroju wyznaczonego przez przekątną podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek.
R1Ula3tXgNq1x
Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego ramiona są wysokościami trójkątów równobocznych, jakimi są ściany boczne.
Do policzenia pola trójkąta brakuje nam jego wysokości, nazwijmy ją . Policzymy ją wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.
R80HzYhDQ7Bzl
Zatem pole przekroju wynosi: .
Przykład 3
Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy i środki dwóch sąsiednich krawędzi bocznych. Obliczmy pole tego przekroju, wiedząc, że wszystkie krawędzie ostrosłupa mają długość .
Rozwiązanie
Przekrój jest trapezem równoramiennym. Górna podstawa trapezu oraz jego ramiona mają długość (wynika to z podobieństwa trójkątów i , i o skali ).
R127oCFiFNAGZ
RCWZqk4US3Sk5
Trójkąt jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że
Pole przekroju wynosi więc: .
Przykład 4
Rysunek przedstawia przekrój poprzeczny ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu równym . Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa , jeśli wiadomo, że wierzchołki przekroju podzieliły krawędzie boczne w stosunku .
R92Bq6N4FTQux
Rozwiązanie
Przekrój jest kwadratem. Skoro jego pole wynosi , co oznacza, że .
Trójkąty i są podobne (na mocy cechy podobieństwa trójkątów ).
Z treści zadania wiemy, że lub . Rozpatrzmy obydwa przypadki.
Przypadek 1
Jeśli , to . Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc .
Zatem mamy równość:
,
,
,
.
Jeśli , to krawędź podstawy ostrosłupa ma długość .
Przypadek 2
Jeśli zaś , to . Skala podobieństwa trójkątów wynosi więc .
Zatem mamy równość:
,
,
,
.
Jeśli , to krawędź podstawy ostrosłupa ma długość .
Przykład 5
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości , w którym tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi . Obliczmy pole przekroju tego ostrosłupa wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych.
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
RAetFs0u3XpZ4
Wiemy, że , więc wykorzystując trójkąt prostokątny otrzymujemy równanie:
.
Stąd otrzymujemy:
,
.
Naszym zadaniem jest obliczenie pola przekroju ostrosłupa, czyli pola trójkąta . Ze wzoru na pole trójkąta mamy:
.
Słownik
przekrój bryły
przekrój bryły
figura płaska powstająca przy przecięciu bryły płaszczyzną
przekrój poprzeczny bryły
przekrój poprzeczny bryły
obraz przedmiotu widziany po jego przecięciu w poprzek, np. obraz słojów wewnątrz ściętego pnia drzewa