Przeczytaj

Na początek przypomnijmy sobie definicję granicy funkcji w punkcie według Heinego. Niech $f : D_{f} \to ℝ$ oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór $D_{f} \subset ℝ$ . Liczbę $g \in ℝ$ nazywamy granicą funkji $f$ według Heinego w punkcie $x_{0} \in ℝ$ , jeśli dla dowolnego ciągu argumentówciąg argumentów funkcjiciągu argumentów funkcji $f$ o wyrazach różnych od $x_{0}$ oraz zbieżnego do $x_{0}$ , ciąg wartościciąg wartości funkcjiciąg wartości $f (x_{n})$ jes zbieżny do liczby $g$ .

Granica wielomianu w punkcie

Przykład 1

Obliczymy granicę wielomianu $W (x) = x^{3} - x^{2} + 3 x - 2$ w punkcie $x_{0} = 2$ . W tym celu bierzemy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ wielomianu $W$ zbieżny do liczby $2$ , którego wyrazy są różne od $2$ . Obliczymy granicę ciągu wartościciąg wartości funkcjiciągu wartości $(W (x_{n}))$ . Mamy

\lim_{n \to + \infty} W (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{3} - x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 2)

Korzystając z twierdzenia o iloczynie granic ciągów zbieżnych oraz faktu, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 2$ otrzymujemy kolejno

$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{3} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n} \cdot x_{n}) = 2^{3} = 8$ ,
$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{2} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) = 2^{2} = 4$ ,
$\lim_{n \to + \infty} (3 x_{n}) = 3 \cdot \lim_{n \to + \infty} x_{n} = 3 \cdot 2 = 6$ .

Z powyższych równości oraz z twierdzenia o sumie i różnicy granic ciągów zbieżnych mamy ostatecznie

\lim_{n \to + \infty} W (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{3} - x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 2) = 8 - 4 + 6 - 2 = 8

Z dowolności wyboru ciągu $(x_{n})$ zbieżnego do $2$ , otrzymujemy

\lim_{x \to 2} W (x) = 8

Zauważmy, że w powyższym przykładzie granica wielomianu $W (x)$ w punkcie $2$ jest równa wartości tego wialomianu w tym punkcie. Okazuje się, że nie jest to przypadek i własność ta jest prawdziwa dla granicy dowolnego wielomainu w dowolnym punkcie. Możemy to sformułować następująco

Granica wielomianu w punkcie

Własność: Granica wielomianu w punkcie

Jeżeli $W : ℝ \to ℝ$ jest wielomianem stopnia $n \in ℕ$ oraz $x_{0} \in ℝ$ , to

\lim_{x \to x_{0}} W (x) = W (x_{0})

Dowód powyższej własności opiera się na wykorzystaniu twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych i przebiega analogicznie do sposobu w jaki obliczyliśmy granicę w przykładzie 1.

Ciekawostka

Wielomiany nie są jedynymi funkcjami o powyższej własności. Funkcje, które posiadają granicę w punkcie $x_{0}$ równą $f (x_{0})$ (tzn. równą wartości funkcji w tym punkcie) nazywamy funkcjami ciągłymi w punkcie $x_{0}$ .

Przykład 2

Obliczymy granicę

\lim_{x \to - 2} W (x)

gdzie

W (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x - 5

Na mocy powyższej własności

\lim_{x \to - 2} W (x) = W (- 2) = 16 - 16 + 6 - 5 = 1

Granica funkcji wymiernej w punkcie

Przykład 3

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x + 2}$ w punkcie $x_{0} = 1$ . Zgodnie z definicją Heinego weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $1$ , którego wyrazy są różne od $1$ . Obliczymy granicę ciągu wartościciąg wartości funkcjiciągu wartości $f (x_{n})$ . Z twierdzenia o iloczynie granic ciągów zbieżnych oraz faktu, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ mamy kolejno

$\lim_{n \to + \infty} x_{n}^{2} = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) = 1 \cdot 1 = 1$ ,
$\lim_{n \to + \infty} (3 x_{n}) = 3 \lim_{n \to + \infty} (x_{n}) = 3 \cdot 1 = 3$ .

Stąd oraz z twierdzenia o sumie i różnicy ciągów zbieżnych

\lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 4) = 1 + 3 - 4 = 0

Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} (x_{n} + 2) = \lim_{n \to + \infty} x_{n} + 2 = 1 + 2 = 3

więc z twierdzenia o ilorazie ciągów zbieżnych otrzymujemy ostatecznie

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 4}{x_{n} + 2} = \frac{0}{3} = 0

Ponieważ ciąg $(x_{n})$ był dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów zbieżnym do $1$ więc z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

\lim_{x \to 1} f (x) = 0

Punkt w którym obliczamy granicę funkcji, nie musi należec do dziedziny tej funkcji. Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 4

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{x + 3}$ w punkcie $x_{0} = - 3$ , który nie należy do dziedziny tej funkcji. Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $(- 3)$ . Z faktu, że jest to ciąg argumentów wynika wprost, że wyrazy tego ciągu są różne od $(- 3)$ . Wyznaczymy pierwiastki licznika funkcji $f$ . Ponieważ $∆ = 1 + 24 = 25$ , więc

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2

Licznik funkcji $f$ możemy zatem zapisać w postaci iloczynowej

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

Stąd

f (x_{n}) = \frac{x_{n}^{2} + x_{n} - 6}{x_{n} + 3} = \frac{(x_{n} + 3) (x_{n} - 2)}{x_{n} + 3} = x_{n} - 2

Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 3$ , więc

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} - 2) = - 3 - 2 = - 5

Z definicji Heinego granicy fumkcji w punkcie wynika zatem, że

\lim_{x \to - 3} f (x) = - 5

Granice innych typów funkcji w punkcie

Prawdziwa jest poniższa własność.

Granica ciągu

\sqrt{x_{n}}

Własność: Granica ciągu

\sqrt{x_{n}}

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do granicy $g \in ⟨0, + \infty)$ oraz $x_{n} ⩾ 0$ dla każdego $n \in ℕ$ , to wówczas ciąg $(\sqrt{x_{n}})$ jest zbeżny do granicy $\sqrt{g}$ .

Powyższą własność można uogólnić na pierwiastek stopnia trzeciego

Granica ciągu

\sqrt[3]{x_{n}}

Własność: Granica ciągu

\sqrt[3]{x_{n}}

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest zbieżny do granicy $g \in ℝ$ , to wówczas ciąg $(\sqrt[3]{x_{n}})$ jest zbeżny do granicy $\sqrt[3]{g}$ .

Ciekawostka

Powyższe własności możemy uogólnić na pierwiastki dowolnych stopni pamiętając, że pierwiastki stopni parzystych możemy obliczyć jedynie dla liczb większych lub równych zero a pierwiastki stopni nieparzystych możemy obliczyć dla każdej liczby rzeczywistej.

Przykład 5

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2} - 9}}$ w punkcie $x_{0} = - 1$ , korzystając z definicji Heinego. Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{- 3, 3\}$ . Weźmy dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ zbieżny do $(- 1)$ , którego wszystkie wyrazy są różne od $(- 1)$ . Stąd i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} (x_{n}^{2} - 9) = \lim_{n \to + \infty} (x_{n} \cdot x_{n}) - 9 = 1 - 9 = - 8

Zatem

\lim_{n \to + \infty} \sqrt[3]{x_{n}^{2} - 9} = \sqrt[3]{- 8} = - 2

Ostatecznie z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów zbieżnych mamy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{\sqrt[3]{x_{n}^{2} - 9}} = \frac{6}{- 2} = - 3

Ponieważ ciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcjiciąg wartości funkcji jest zbieżny do tej samej granicy niezależnie od wyboru ciągu $(x_{n})$ , więc na mocy definicji granicy Heinego funkcji w punkcie otrzymujemy, że

\lim_{x \to - 1} \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2} - 9}} = - 3

Słownik

ciąg argumentów funkcji

Ciąg $(x_{n})$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$ , tzn. ciąg spełniający warunek

\forall_{x \in ℕ} x_{n} \in D_{f}

ciąg wartości funkcji

Jeżeli ciąg $(x_{n})$ jest ciągiem argumentów funkcji $f : D_{f} \to ℝ$ , to ciąg $(f (x_{n}))$ nazywamy ciągiem wartości funkcji $f$ .

Wprowadzenie

Animacja

Granica wielomianu w punkcie

Granica funkcji wymiernej w punkcie

Granice innych typów funkcji w punkcie

Słownik