Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

W tym e‑materiale przedstawimy rozwiązania kilku przykładowych zagadnień związanych z tematyką pracy i mocy. Praca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:

1. Jest to sposób zamiany jednego rodzaju energii w inny (a zatem pewien proces);

2. Jest to wielkość fizyczna, która opisuje powyższy proces, czyli mówi, ile energii zostało zamienione z jednej formy w drugą.

Definicja pracy jako wielkości fizycznej jest następująca:

W=FΔrcosθ,

gdzie F i Δr są wartościami wektorów siły i przemieszczenia, a θ – kątem pomiędzy tymi wektorami. W przypadku, gdy ruch jest prostoliniowy (a tylko takimi sytuacjami będziemy zajmowali się w tym e‑materiale), wartość wektora przemieszczenia jest równa przebytej drodze Δr = s. Jednostką pracy jest dżul (J).

Moc z kolei określa szybkość wykonywania pracy:

P=Wt.

Jednostką mocy jest wat (W). Więcej informacji dotyczących pracy i mocy znajdziesz w e‑materiałach “Praca mechaniczna i jej jednostka” oraz “Moc i jej jednostka”. Tymczasem, przejdźmy do typowych zadań dotyczących tych zagadnień.

Przykład 1: praca kilku sił działających na ciało (dla zakresu rozszerzonego)

Treść zadania:

Kasia wraz ze swoim tatą ciągną sanki o masie m = 10 kg po płaskiej, pokrytej śniegiem polanie w sposób przedstawiony na rysunku. Sanki poruszają się ruchem jednostajnym. Oblicz: a) całkowitą pracę wykonaną przez przyłożone siły, jeśli sanki zostały przesunięte na odległość s = 35 m, b) współczynnik tarcia sanek o śnieg.

R1CE08L29ZHHA
Rys. 1. Sytuacja opisana w przykładzie 1.

Dane:

Masa sanek: m = 10 kg

Siła przyłożona przez Kasię: FIndeks dolny 1 = 2 N

Siła przyłożona przez tatę: FIndeks dolny 2 = 10 N

Kąt siły przyłożonej przez Kasię względem poziomu: θIndeks dolny 1 = 30°

Kąt siły przyłożonej przez tatę względem poziomu: θIndeks dolny 2 = 45°

Odległość jaką przebyły sanki: s = 35 m

Przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 2

Szukane:

Praca wykonana przez siły: W = ?

Współczynnik tarcia sanek o śnieg: f = ?

Analiza zadania:

Kasia i tata działają na sanki pewnymi siłami. Siły te można rozłożyć na składową równoległą F (tutaj: poziomą) oraz prostopadłą F do ruchu (pionową). Dodatkowo na sanki działa siła tarcia T (skierowana poziomo) oraz siły: ciężkości mg i reakcji podłoża FIndeks dolny R (skierowane pionowo). Wszystkie siły zaznaczyliśmy na rysunku.

R15l4iG8qYy87
Rys. 2. Rozkład sił przyłożonych przez Kasię i tatę do sanek na wektory składowe równoległe i prostopadłe do przemieszczenia sanek.

W kierunku poziomym, sanki poruszają się ruchem jednostajnym – siły w tym kierunku muszą się więc równoważyć. Dzięki temu będziemy w stanie wyznaczyć nieznaną siłę tarcia T.

Ponadto, sanki nie wykonują ruchu w kierunku pionowym, a zatem siły w tym kierunku również muszą się równoważyć. Siła FIndeks dolny R jest co do wartości równa sile nacisku sanek na podłoże FIndeks dolny N. Siła FIndeks dolny N występuje we wzorze na siłę tarcia posuwistego: T=fFN. Wartość siły FIndeks dolny N jest równa sile ciężkości pomniejszonej o pionowe składowe sił przyłożonych przez tatę i Kasię. W połączeniu z wyznaczoną poprzednio siłą T, znajomość siły FIndeks dolny N umożliwi nam wyznaczenie współczynnika tarcia f.

Rozwiązanie:

a) Praca wykonana przez siły:

Praca mechaniczna dana jest wzorem:

W=FΔrcosθ=Fscosθ.

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy pracę:

[W]=Nm=J.

Praca siły FIndeks dolny 1 (przyłożonej przez Kasię) wynosi zatem:

W1=F1scosθ1=2N35mcos3060,6J.

Praca siły FIndeks dolny 2 (przyłożonej przez tatę) wynosi:

W2=F2scosθ2=10N35mcos45247,5J.

Całkowita praca jest sumą wszystkich prac „cząstkowych”:

W=W1+W2=308,1J.

b) Wyznaczanie współczynnika tarcia:

Siły działające w kierunku poziomym równoważą się, więc możemy zapisać:

T=F1+F2,
T=F1cosθ1+F2cosθ2.

Siły działające w kierunku pionowym również równoważą się, możemy zatem zapisać:

mg=F1+F2+FR.

Ponieważ FIndeks dolny R = FIndeks dolny N, to:

mg=F1sinθ1+F2sinθ2+FN,
FN=mgF1sinθ1F2sinθ2.

Wykorzystajmy teraz wzór na siłę tarcia i podstawmy otrzymane wcześniej wyrażenia na T oraz FIndeks dolny N:

T=fFN,
F1cosθ1+F2cosθ2=f(mgF1sinθ1F2sinθ2),
f=F1cosθ1+F2cosθ2mgF1sinθ1F2sinθ2.

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy współczynnik tarcia:

[f]=NN=1

(współczynnik tarcia jest wielkością bezwymiarową).

f=2Ncos30+10Ncos4510kg9,81ms22Nsin3010Nsin458,8N90,03N0,083.

Odpowiedź:

Łączna wykonana przez siły praca W wynosi ok. 308,1 J. Współczynnik tarcia sanek o śnieg f wynosi ok. 0,083.

Przykład 2: praca sił tarcia (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania:

Pocisk o masie m = 20 g porusza się z prędkością v = 400 m/s i trafia w kamizelkę kuloodporną i zatrzymuje się po przebyciu odległości s = 5 cm. Oblicz średnią siłę oporów ruchu działającą na pocisk w kamizelce.

Dane:

Masa pocisku: m = 20 g = 2·10Indeks górny –2 kg

Prędkość pocisku: v = 400 m/s = 4·10Indeks górny 2 m/s

Odległość, jaką przebywa pocisk: s = 5 cm = 5·10Indeks górny –2 m

Szukane:

Średnia siła oporów ruchu: FIndeks dolny O = ?

Analiza zadania:

Poruszający się pocisk ma pewną energię kinetyczną. Gdy trafi on w kamizelkę kuloodporną, energia ta, na skutek pracy sił oporu zamieniana jest na ciepło oraz pracę przy deformacji kamizelki (które tutaj pominiemy). Aby pocisk zatrzymał się w kamizelce, praca sił oporów ruchu WO musi być równa początkowej energii kinetycznej pocisku Ek. Innymi słowy, energia kinetyczna jest “rozpraszana” na pracę sił oporu.

Rozwiązanie:

Ek=WO,
mv22=FOs,
FO=mv22s.

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy siłę:

[FO]=kgm2s2m=kgms2=N,
FO=2102kg(4102m/s)225102 m=3,2104N=32000N.

Odpowiedź:

Średnia siła oporów ruchu FIndeks dolny O w kamizelce wynosi 32 000 N.

Przykład 3: praca sił ciężkości (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania:

Jaką pracę wykonała siła ciężkości działająca na swobodnie spadającą kulę o masie m = 1 kg w drugiej sekundzie jej lotu? Ruch zachodzi w pobliżu Ziemi.

Dane:

Masa kuli: m = 1 kg

Przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 2

tIndeks dolny 1 = 1 s

tIndeks dolny 2 = 2 s

Szukane:

Praca siły ciężkości wykonana w drugiej sekundzie ruchu: W = ?

Analiza zadania:

Siła ciężkości powodująca ruch ciał w kierunku środka Ziemi wykonuje pewną pracę. Zarówno wektor siły ciężkości, jak i przemieszczenia skierowane są pionowo w dół. Praca siły ciężkości wynosi więc W=FΔr=mgs. Przemieszczenie ciała w drugiej sekundzie możemy wyznaczyć, korzystając z zależności drogi od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Rozwiązanie:

Przemieszczenie ciała w drugiej sekundzie równe drodze sIndeks dolny 2 wynosi:

s2=ss1=gt222gt122=g2(t22t12),

gdzie s jest przemieszczeniem po dwóch sekundach ruchu, a sIndeks dolny 1 – przemieszczeniem po pierwszej sekundzie. Praca siły ciężkości wynosi zatem:

W=mgs2=12mg2(t22t12).

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy pracę:

[W]=kgm2s4s2=kgm2s2=J,
W=121kg(9,81ms2)2(4s21s2)144,4J.

Odpowiedź:

Praca siły ciężkości w drugiej sekundzie wyniosła ok. 144,4 J.

Przykład 4: moc samochodu w ruchu poziomym (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania: Samochód o masie m = 1,5 t ruszył z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym i w czasie tIndeks dolny c = 2,5 s przejechał drogę sIndeks dolny c = 25 m. Oblicz średnią moc silnika tego samochodu, zakładając, że nie występowały żadne opory jego ruchu.

Dane:

Masa samochodu: m = 1,5 t = 1 500 kg

Czas ruchu: tIndeks dolny c = 2,5 s

Droga przebyta podczas ruchu: sIndeks dolny c = 25 m

Szukane:

Średnia moc silnika samochodu: P = ?

Analiza zadania:

Na skutek działania silnika o określonej mocy pojawiła się pewna niezrównoważona siła ciągu działająca na samochód, która spowodowała jego ruch z przyspieszeniem. Średnią moc samochodu możemy obliczyć ze wzoru P=Fv. Prędkość w tym wzorze jest średnią prędkością samochodu. Nasz pojazd porusza się jednak ruchem jednostajnie przyspieszonym – jego prędkość cały czas się zmienia. Aby wyznaczyć średnią moc, musimy najpierw wyznaczyć średnią prędkość pojazdu vsr oraz siłę ciągu wytworzoną przez silnik F.

Rozwiązanie:

Średnia prędkość samochodu jest równa:

vsr=sctc.

Musimy jeszcze określić nieznaną wartość siły działającej na samochód. W tym celu wyznaczmy jego przyspieszenie. Samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. Zależność drogi od czasu ma wtedy postać:

sc=atc22.

Stąd możemy wyznaczyć przyspieszenie:

a=2sctc2.

Wyprowadźmy wzór na moc silnika:

P=Fvsr=mavsr=m2sctc2sctc=2msc2tc3.

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy moc:

[P]=kgm2s3=kgm2s2s=Js=W,
P=21500kg(25m)2(2,5s)3=120000W=120kW.

Odpowiedź:

Moc silnika samochodu wynosi 120 kW.

Komentarz:

Może się wydawać, że 120 kW to bardzo duża wartość. Jeśli przeliczymy ją na wartość w koniach mechanicznych, otrzymamy wynik ok. 160 KM, co jest typową wartością dla samochodów.

Przykład 5: moc lokomotywy w ruchu pod górę (dla zakresu rozszerzonego)

Treść zadania:

Lokomotywa ciągnie pociąg o ciężarze Q = 2100 kN pod górę o nachyleniu α = 3°. Maksymalna moc jej silnika wynosi P = 0,5 MW. Z jaką największą prędkością pociąg może wjeżdżać na tę górę, jeśli siła tarcia kół o szyny wynosi FIndeks dolny T = 30 kN?

Dane:

Ciężar lokomotywy: Q = 2 100 kN = 2,1·10Indeks górny 6 N

Nachylenie górki: α = 3°

Maksymalna moc silnika lokomotywy: P = 0,5 MW = 5·10Indeks górny 5 W

Siła tarcia: FIndeks dolny T = 30 kN = 3·10Indeks górny 4 N

Szukane:

Maksymalna prędkość pociągu: v = ?

Analiza zadania:

Na skutek działania silnika o określonej mocy pojawia się pewna siła ciągu działająca na pojazd. Pociąg będzie poruszał się z największą prędkością, gdy moc silnika będzie maksymalna (a zatem maksymalna będzie również siła ciągu silnika). Aby znaleźć tę prędkość, musimy sprawdzić, dla jakiej siły ciągu zachodzi równowaga wszystkich sił działających na pociąg w kierunku ruchu. Siły działające na pociąg zaznaczono na rysunku. Są to: ciężar lokomotywy Q (który można rozłożyć na składową nacisku na podłoże górki FIndeks dolny N oraz składową zsuwającą z górki FIndeks dolny s), siła tarcia FIndeks dolny T oraz siła ciągu lokomotywy FIndeks dolny c.

R17cG1ieVOJEZ
Rys. 3. Siły działające na lokomotywę.

Rozwiązanie:

Lokomotywa będzie poruszać się ruchem jednostajnym o maksymalnej prędkości, gdy zajdzie następujący warunek:

Fc=Fs+FT,
Fc=Qsinα+FT.

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy siłę ciągu lokomotywy:

[Fc]=N,
Fc=2,1106Nsin3+3104N14104N.

Aby określić prędkość lokomotywy w tym przypadku, korzystamy z definicji średniej mocy. Wykonajmy ponadto rachunek jednostek:

P=Fcv,
v=PFc,
[v]=WN=kgm2s3kgms2=ms,
v=5105 W14104N3,6ms.

Odpowiedź:

Maksymalna prędkość pociągu wynosi ok. 3,6 m/s.