Przeczytaj

Warto przeczytać

W tym e‑materiale przedstawimy rozwiązania kilku przykładowych zagadnień związanych z tematyką pracy i mocyMocmocy. Praca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:

1. Jest to sposób zamiany jednego rodzaju energii w inny (a zatem pewien proces);

2. Jest to wielkość fizyczna, która opisuje powyższy proces, czyli mówi, ile energii zostało zamienione z jednej formy w drugą.

Definicja pracy jako wielkości fizycznej jest następująca:

W = F Δ r c o s θ

gdzie F i deltar są wartościami wektorów siły i przemieszczenia, a theta – kątem pomiędzy tymi wektorami. W przypadku, gdy ruch jest prostoliniowy (a tylko takimi sytuacjami będziemy zajmowali się w tym e‑materiale), wartość wektora przemieszczenia jest równa przebytej drodze deltar = s. Jednostką pracy jest dżul (J).

MocMocMoc z kolei określa szybkość wykonywania pracy:

P = \frac{W}{t}

Jednostką mocyMocmocy jest wat (W). Więcej informacji dotyczących pracy i mocy znajdziesz w e‑materiałach “Praca mechaniczna i jej jednostka” oraz “Moc i jej jednostka”. Tymczasem, przejdźmy do typowych zadań dotyczących tych zagadnień.

Przykład 1: praca kilku sił działających na ciało (dla zakresu rozszerzonego)

Treść zadania:

Kasia wraz ze swoim tatą ciągną sanki o masie m = 10 kg po płaskiej, pokrytej śniegiem polanie w sposób przedstawiony na rysunku. Sanki poruszają się ruchem jednostajnym. Oblicz: a) całkowitą pracę wykonaną przez przyłożone siły, jeśli sanki zostały przesunięte na odległość s = 35 m, b) współczynnik tarcia sanek o śnieg.

R1CE08L29ZHHA

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono dwie postacie ciągnące sanki po poziomej powierzchni. Na rysunku widoczna jest pozioma i płaska powierzchnia, narysowana w postaci poziomej, czarnej linii. Na powierzchni znajdują się sanki, widoczne jako czarny, poziomy prostokąt. Obok sanek, po prawej stronie widoczne są dwie czarne postacie obok siebie, z których jedna jest mniejsza a druga nieco większa. Obie postacie zwrócone są w kierunku sanek i mają wyciągnięte ręce, tak jakby je ciągnęły. Do prawego boku sanek przyłożono dwa wektory sił z jakimi, czarne postaci je ciągną. Wektory sił narysowano w postaci czarnych strzałek, skierowanych w prawo i w górę pod różnymi kątami w stosunku do kierunku poziomego. Jeden z wektorów sił jest krótszy i podpisany, jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden równa dwa niutony. Wektor ten jest nachylony do kierunku poziomego pod kątem trzydziestu stopni. Drugi wektor siły jest dłuższy i opisany, jako wielka litera F z indeksem dolnym dwa równy dziesięć niutonów. Wektor ten jest nachylony do kierunku poziomego pod kątem czterdziestu pięciu stopni. — Rys. 1. Sytuacja opisana w przykładzie 1.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Dane: Masa sanek: m = 10 kg Siła przyłożona przez Kasię: FIndeks dolny 1 = 2 N Siła przyłożona przez tatę: FIndeks dolny 2 = 10 N Kąt siły przyłożonej przez Kasię względem poziomu: thetaIndeks dolny 1 = 30° Kąt siły przyłożonej przez tatę względem poziomu: thetaIndeks dolny 2 = 45° Odległość jaką przebyły sanki: s = 35 m Przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 2	Szukane: Praca wykonana przez siły: W = ? Współczynnik tarcia sanek o śnieg: f = ?

Dane:

Masa sanek: m = 10 kg

Siła przyłożona przez Kasię: FIndeks dolny 1 = 2 N

Siła przyłożona przez tatę: FIndeks dolny 2 = 10 N

Kąt siły przyłożonej przez Kasię względem poziomu: thetaIndeks dolny 1 = 30°

Kąt siły przyłożonej przez tatę względem poziomu: thetaIndeks dolny 2 = 45°

Odległość jaką przebyły sanki: s = 35 m

Przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 2

Szukane:

Praca wykonana przez siły: W = ?

Współczynnik tarcia sanek o śnieg: f = ?

Analiza zadania:

Kasia i tata działają na sanki pewnymi siłami. Siły te można rozłożyć na składową równoległą $F_{∥}$ (tutaj: poziomą) oraz prostopadłą $F_{⊥}$ do ruchu (pionową). Dodatkowo na sanki działa siła tarcia T (skierowana poziomo) oraz siły: ciężkości mg i reakcji podłoża FIndeks dolny R (skierowane pionowo). Wszystkie siły zaznaczyliśmy na rysunku.

R15l4iG8qYy87

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano rozkład sił działających na ciągnięte sanki. Na ilustracji widoczna jest pozioma i płaska powierzchnia, narysowana w postaci czarnej, poziomej linii. Na powierzchni tej znajdują się sanki, widoczne w postaci poziomego prostokąta o czarnych krawędziach. Do dolnej krawędzi sanek przyłożono wektor siły ciężkości, narysowany w postaci pionowej, czarnej strzałki, skierowanej w dół i opisanej jako iloczyn masy, mała litera m i przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g. Do prawego boku sanek przyłożono wektory sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Wektory tych sił narysowano w postaci czarnych strzałek, skierowanych w prawo i w górę. Wektor siły pierwszej jest krótszy i nachylony do kierunku poziomego pod mniejszym kątem, niż wektor siły drugiej. W punkcie przyłożenia wektorów sił pierwszej i drugiej przyłożono również wektory składowe tych sił, działające w kierunku poziomym. Składowe poziome narysowano jako czarne, poziome strzałki, skierowane w prawo i będące rzutami wektorów sił pierwszej i drugiej na kierunek poziomy. Opisano je odpowiednio, jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i znakiem równoległości oraz wielka litera F z indeksem dolnym dwa i znakiem równoległości. Znak równoległości oznacza kierunek równoległy względem ruchu sanek po poziomej, płaskiej powierzchni. Składowa pozioma siły drugiej jest dłuższa niż składowa pozioma siły pierwszej. Do górnej krawędzi sanek przyłożono trzy wektory sił. Narysowano je w postaci czarnych, pionowych strzałek, skierowanych w górę. Dwie z tych sił to składowe pionowe sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Oznaczono je jako wielka litera F z indeksem dolnym jeden i symbolem prostopadłości i wielka litera F z indeksem dolnym dwa i znakiem prostopadłości. Znak prostopadłości oznacza kierunek prostopadły względem ruchu sanek po płaskie i poziomej powierzchni. Składowa pionowa siły drugiej jest dłuższa niż składowa pionowa siły pierwszej. Do tego samego punktu przyłożono również wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera R. jest to siła reakcji, rozumiana jako siła sprężystości podłoża będąca odpowiedzią na nacisk sanek na powierzchnię, po której się poruszają. Do lewego i dolnego rogu sanek przyłożono wektor siły tarcia, wielka litera T. Narysowano go w postaci czarnej, poziomej strzałki, skierowanej w lewo, przeciwnie do kierunku ruchu. — Rys. 2. Rozkład sił przyłożonych przez Kasię i tatę do sanek na wektory składowe równoległe i prostopadłe do przemieszczenia sanek.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

W kierunku poziomym, sanki poruszają się ruchem jednostajnym – siły w tym kierunku muszą się więc równoważyć. Dzięki temu będziemy w stanie wyznaczyć nieznaną siłę tarcia T.

Ponadto, sanki nie wykonują ruchu w kierunku pionowym, a zatem siły w tym kierunku również muszą się równoważyć. Siła FIndeks dolny R jest co do wartości równa sile nacisku sanek na podłoże FIndeks dolny N. Siła FIndeks dolny N występuje we wzorze na siłę tarcia posuwistego: $T = f F_{N}$ . Wartość siły FIndeks dolny N jest równa sile ciężkości pomniejszonej o pionowe składowe sił przyłożonych przez tatę i Kasię. W połączeniu z wyznaczoną poprzednio siłą T, znajomość siły FIndeks dolny N umożliwi nam wyznaczenie współczynnika tarcia f.

Rozwiązanie:

a) Praca wykonana przez siły:

Praca mechaniczna dana jest wzorem:

W = F Δ r cos θ = F s cos θ

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy pracę:

[W] = N \cdot m = J

Praca siły FIndeks dolny 1 (przyłożonej przez Kasię) wynosi zatem:

W_{1} = F_{1} s cos θ_{1} = 2 N \cdot 35 m \cdot cos 30^{\circ} \approx 60, 6 J

Praca siły FIndeks dolny 2 (przyłożonej przez tatę) wynosi:

W_{2} = F_{2} s cos θ_{2} = 10 N \cdot 35 m \cdot cos 45^{\circ} \approx 247, 5 J

Całkowita praca jest sumą wszystkich prac „cząstkowych”:

W = W_{1} + W_{2} = 308, 1 J

b) Wyznaczanie współczynnika tarcia:

Siły działające w kierunku poziomym równoważą się, więc możemy zapisać:

T = F_{1 ∥} + F_{2 ∥}

T = F_{1} cos θ_{1} + F_{2} cos θ_{2}

Siły działające w kierunku pionowym również równoważą się, możemy zatem zapisać:

m g = F_{1 ⊥} + F_{2 ⊥} + F_{R}

Ponieważ FIndeks dolny R = FIndeks dolny N, to:

m g = F_{1} sin θ_{1} + F_{2} sin θ_{2} + F_{N}

F_{N} = m g - F_{1} sin θ_{1} - F_{2} sin θ_{2}

Wykorzystajmy teraz wzór na siłę tarcia i podstawmy otrzymane wcześniej wyrażenia na T oraz FIndeks dolny N:

T = f F_{N}

F_{1} cos θ_{1} + F_{2} cos θ_{2} = f (m g - F_{1} sin θ_{1} - F_{2} sin θ_{2})

f = \frac{F_{1} cos θ_{1} + F_{2} cos θ_{2}}{m g - F_{1} sin θ_{1} - F_{2} sin θ_{2}}

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy współczynnik tarcia:

[f] = \frac{N}{N} = 1

(współczynnik tarcia jest wielkością bezwymiarową).

f = \frac{2 N \cdot cos 30^{\circ} + 10 N \cdot cos 45^{\circ}}{10 k g \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} - 2 N \cdot sin 30^{\circ} - 10 N \cdot sin 45^{\circ}} \approx \frac{8, 8 N}{90, 03 N} \approx 0, 083

Odpowiedź:

Łączna wykonana przez siły praca W wynosi ok. 308,1 J. Współczynnik tarcia sanek o śnieg f wynosi ok. 0,083.

Przykład 2: praca sił tarcia (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania:

Pocisk o masie m = 20 g porusza się z prędkością v = 400 m/s i trafia w kamizelkę kuloodporną i zatrzymuje się po przebyciu odległości s = 5 cm. Oblicz średnią siłę oporów ruchu działającą na pocisk w kamizelce.

Dane: Masa pocisku: $m = 20 g = 2 \cdot 10^{- 2} k g$ Prędkość pocisku: $v = 400 \frac{m}{s} = 4 \cdot 10^{2} \frac{m}{s}$ Odległość, jaką przebywa pocisk: $s = 5 c m = 5 \cdot 10^{-2} m$	Szukane: Średnia siła oporów ruchu: FIndeks dolny O = ?

Analiza zadania:

Poruszający się pocisk ma pewną energię kinetyczną. Gdy trafi on w kamizelkę kuloodporną, energia ta, na skutek pracy sił oporu zamieniana jest na ciepło oraz pracę przy deformacji kamizelki (które tutaj pominiemy). Aby pocisk zatrzymał się w kamizelce, praca sił oporów ruchu $W_{O}$ musi być równa początkowej energii kinetycznej pocisku $E_{k}$ . Innymi słowy, energia kinetyczna jest “rozpraszana” na pracę sił oporu.

Rozwiązanie:

E_{k} = W_{O}

\frac{m v^{2}}{2} = F_{O} s

F_{O} = \frac{m v^{2}}{2 s}

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy siłę:

[F_{O}] = \frac{k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{2}}}{m} = k g \cdot \frac{m}{s^{2}} = N

F_{O} = \frac{2 \cdot 10^{- 2} k g \cdot {(4 {\cdot 10}^{2} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 10^{- 2} m} = 3, 2 \cdot 10^{4} N = 32 000 N

Odpowiedź:

Średnia siła oporów ruchu FIndeks dolny O w kamizelce wynosi 32 000 N.

Przykład 3: praca sił ciężkości (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania:

Jaką pracę wykonała siła ciężkości działająca na swobodnie spadającą kulę o masie m = 1 kg w drugiej sekundzie jej lotu? Ruch zachodzi w pobliżu Ziemi.

Dane: Masa kuli: m = 1 kg Przyspieszenie ziemskie: g = 9,81 m/sIndeks górny 2 tIndeks dolny 1 = 1 s tIndeks dolny 2 = 2 s	Szukane: Praca siły ciężkości wykonana w drugiej sekundzie ruchu: W = ?

Analiza zadania:

Siła ciężkości powodująca ruch ciał w kierunku środka Ziemi wykonuje pewną pracę. Zarówno wektor siły ciężkości, jak i przemieszczenia skierowane są pionowo w dół. Praca siły ciężkości wynosi więc $W = F Δ r = m g s$ . Przemieszczenie ciała w drugiej sekundzie możemy wyznaczyć, korzystając z zależności drogi od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego.

Rozwiązanie:

Przemieszczenie ciała w drugiej sekundzie równe drodze sIndeks dolny 2 wynosi:

s_{2} = s - s_{1} = \frac{g t_{2}^{2}}{2} - \frac{g t_{1}^{2}}{2} = \frac{g}{2} (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})

gdzie s jest przemieszczeniem po dwóch sekundach ruchu, a sIndeks dolny 1 – przemieszczeniem po pierwszej sekundzie. Praca siły ciężkości wynosi zatem:

W = m g s_{2} = \frac{1}{2} m g^{2} (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy pracę:

[W] = k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{4}} \cdot s^{2} = k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{2}} = J

W = \frac{1}{2} \cdot 1 k g \cdot {(9, 81 \frac{m}{s^{2}})}^{2} (4 s^{2} - 1 s^{2}) \approx 144, 4 J

Odpowiedź:

Praca siły ciężkości w drugiej sekundzie wyniosła ok. 144,4 J.

Przykład 4: mocMocmoc samochodu w ruchu poziomym (dla zakresu podstawowego i rozszerzonego)

Treść zadania: Samochód o masie m = 1,5 t ruszył z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym i w czasie tIndeks dolny c = 2,5 s przejechał drogę sIndeks dolny c = 25 m. Oblicz średnią moc silnika tego samochodu, zakładając, że nie występowały żadne opory jego ruchu.

Dane: Masa samochodu: m = 1,5 t = 1 500 kg Czas ruchu: tIndeks dolny c = 2,5 s Droga przebyta podczas ruchu: sIndeks dolny c = 25 m	Szukane: Średnia moc silnika samochodu: P = ?

Analiza zadania:

Na skutek działania silnika o określonej mocy pojawiła się pewna niezrównoważona siła ciągu działająca na samochód, która spowodowała jego ruch z przyspieszeniem. Średnią mocMocmoc samochodu możemy obliczyć ze wzoru $P = F v$ . Prędkość w tym wzorze jest średnią prędkością samochodu. Nasz pojazd porusza się jednak ruchem jednostajnie przyspieszonym – jego prędkość cały czas się zmienia. Aby wyznaczyć średnią mocMocmoc, musimy najpierw wyznaczyć średnią prędkość pojazdu $v_{sr}$ oraz siłę ciągu wytworzoną przez silnik $F$ .

Rozwiązanie:

Średnia prędkość samochodu jest równa:

v_{sr} = \frac{s_{c}}{t_{c}}

Musimy jeszcze określić nieznaną wartość siły działającej na samochód. W tym celu wyznaczmy jego przyspieszenie. Samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. Zależność drogi od czasu ma wtedy postać:

s_{c} = \frac{a {t_{c}}^{2}}{2}

Stąd możemy wyznaczyć przyspieszenie:

a = \frac{2 s_{c}}{t_{c}^{2}}

Wyprowadźmy wzór na mocMocmoc silnika:

P = F v_{sr} = m a v_{sr} = m \frac{2 s_{c}}{t_{c}^{2}} \frac{s_{c}}{t_{c}} = 2 m \frac{s_{c}^{2}}{t_{c}^{3}}

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy moc:

[P] = k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{3}} = \frac{k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{2}}}{s} = \frac{J}{s} = W

P = 2 \cdot 1500 k g \cdot \frac{{(25 m)}^{2}}{{(2, 5 s)}^{3}} = 120000 W = 120 k W

Odpowiedź:

Moc silnika samochodu wynosi 120 kW.

Komentarz:

Może się wydawać, że 120 kW to bardzo duża wartość. Jeśli przeliczymy ją na wartość w koniach mechanicznych, otrzymamy wynik ok. 160 KM, co jest typową wartością dla samochodów.

Przykład 5: moc lokomotywy w ruchu pod górę (dla zakresu rozszerzonego)

Treść zadania:

Lokomotywa ciągnie pociąg o ciężarze Q = 2100 kN pod górę o nachyleniu alfa = 3°. Maksymalna moc jej silnika wynosi P = 0,5 MW. Z jaką największą prędkością pociąg może wjeżdżać na tę górę, jeśli siła tarcia kół o szyny wynosi FIndeks dolny T = 30 kN?

Dane: Ciężar lokomotywy: $Q = 2100 k N = 2, 1 \cdot 10^{6} N$ Nachylenie górki: alfa = 3° Maksymalna moc silnika lokomotywy: $P = 0, 5 M W = 5 \cdot 10^{5} W$ Siła tarcia: $F_{T} = 30 k N = 3 \cdot 10^{4} N$	Szukane: Maksymalna prędkość pociągu: v = ?

Analiza zadania:

Na skutek działania silnika o określonej mocy pojawia się pewna siła ciągu działająca na pojazd. Pociąg będzie poruszał się z największą prędkością, gdy moc silnika będzie maksymalna (a zatem maksymalna będzie również siła ciągu silnika). Aby znaleźć tę prędkość, musimy sprawdzić, dla jakiej siły ciągu zachodzi równowaga wszystkich sił działających na pociąg w kierunku ruchu. Siły działające na pociąg zaznaczono na rysunku. Są to: ciężar lokomotywy Q (który można rozłożyć na składową nacisku na podłoże górki FIndeks dolny N oraz składową zsuwającą z górki FIndeks dolny s), siła tarcia FIndeks dolny T oraz siła ciągu lokomotywy FIndeks dolny c.

R17cG1ieVOJEZ

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono siły działające na lokomotywę wjeżdżającą po pochyłym zboczu pod górę. Na ilustracji widoczne jest wzniesienie, narysowane w postaci trójkąta prostokątnego, którego krótsza przyprostokątna jest pionowa, dłuższa przyprostokątna jest pozioma, a przeciwprostokątna biegnie w kierunku od lewego i dolnego rogu rysunku do prawego i górnego rogu ilustracji. Przeciwprostokątna symbolizuje zbocze wzniesienia, które jest pochylone względem kierunku poziomego pod kątem mała grecka litera alfa. Na zboczu widoczna jest lokomotywa z dwoma wagonami, które narysowane są w postaci czarnych prostokątów. Do środka składu przyłożono wektor jego siły ciężkości, wielka litera Q ze strzałką oznaczającą wektor, który jest narysowany w postaci niebieskiej, pionowej strzałki skierowanej w dół. Składowa siły ciężkości równoległa do zbocza, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą wektor, widoczna jest w postaci niebieskiej strzałki skierowanej równolegle do zbocza i kierowanej ku jego podstawie. Składowa prostopadła do zbocza, będąca siłą nacisku, wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera N i strzałką oznaczającą wektor, narysowana jest jako niebieska strzałka skierowana prostopadle do zbocza. Do czoła lokomotywy przyłożono wektor siły wciągającej ją na szczyt, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły widoczny jest w postaci zielonej strzałki, skierowanej równolegle do zbocza i wskazującej na jego szczyt. Do tylnego koła ostatniego wagonu przyłożono wektor siły tarcia, wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera T i strzałką oznaczającą wektor. Siłę tarcia narysowano, jako zieloną strzałkę skierowaną równolegle do zbocza i wskazującą ku jego podstawie. Długość wektora siły tarcia jest taka sama, jak długość wektora siły wciągającej. — Rys. 3. Siły działające na lokomotywę.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Rozwiązanie:

Lokomotywa będzie poruszać się ruchem jednostajnym o maksymalnej prędkości, gdy zajdzie następujący warunek:

F_{c} = F_{s} + F_{T}

F_{c} = Q sin α + F_{T}

Wykonajmy rachunek jednostek i obliczmy siłę ciągu lokomotywy:

[F_{c}] = N

F_{c} = 2, 1 \cdot 10^{6} N \cdot sin 3^{\circ} + 3 \cdot 10^{4} N \approx 14 \cdot 10^{4} N

Aby określić prędkość lokomotywy w tym przypadku, korzystamy z definicji średniej mocy. Wykonajmy ponadto rachunek jednostek:

P = F_{c} v

v = \frac{P}{F_{c}}

[v] = \frac{W}{N} = \frac{k g \cdot \frac{m^{2}}{s^{3}}}{k g \cdot \frac{m}{s^{2}}} = \frac{m}{s}

v = \frac{5 \cdot 10^{5} W}{14 \cdot 10^{4} N} \approx 3, 6 \frac{m}{s}

Odpowiedź:

Maksymalna prędkość pociągu wynosi ok. 3,6 m/s.

Słowniczek

Moc

(ang.: Power),

skalarna wielkość fizyczna określająca pracę wykonaną w jednostce czasu przez układ fizyczny.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek