Przeczytaj

Średnie w badaniach statystycznych zaliczane są do miar tendencji centralnej. Można powiedzieć, że wskazują w pewien sposób „środek” zestawu danych. Ponieważ „środek” jest pojęciem mało precyzyjnym, zatem i średnie można definiować różnymi sposobami. Przykłady znanych nam już średnich to mediana i średnia arytmetyczna.

Poznamy teraz niektóre z mniej znanych średnich.

Średnia geometryczna

Za pomocą średniej geometrycznej dokonuje się charakterystyki podobieństw zbiorowości statystycznych ze względu na wyróżnioną cechę. Do pomiaru wykorzystywane są wszystkie wartości szeregu. Pozwala to na uzyskanie przeciętnej cechy mierzalnej w danym zestawie.

Zaletą średniej geometrycznej jest to, że słabiej reaguje na wartości ekstremalne (czasem przypadkowe wartości) od średniej arytmetycznej.

Średnia geometryczna

Definicja: Średnia geometryczna

Średnią geometryczną $n$ dodatnich liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ nazywamy liczbę

G = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}

Przykład 1

Średnia geometryczna liczb $2$ , $4$ , $8$ jest równa $\sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt[3]{64} = 4$ .

Średnia geometrycznaśrednia geometrycznaŚrednia geometryczna jest liczbą mianowaną. Jej miano jest takie samo, jak to, które posiadają dane, z których jest obliczana.

Ma zastosowanie w przypadku wielkości zmieniających się w postępie geometrycznym (np. w demografii, przy obliczaniu przeciętnego tempa wzrostu dochodu narodowego, w obliczeniach związanych z ciągiem geometrycznym).

Przykład 2

Znajdziemy dodatnią liczbę $x$ , dla której liczby $4$ , $x + 1$ , $9$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego rosnącego.

Rozwiązanie:

Wiemy, że w ciągu geometrycznym wyraz środkowy jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych.

Zatem:

$x + 1 = \sqrt{4 \cdot 9}$

$x + 1 = \sqrt{36}$

$x + 1 = 6$

$x = 5$

Otrzymany ciąg ( $4$ , $6$ , $9$ ) jest ciągiem rosnącym, zatem liczba $5$ spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $5$ .

Średnia harmoniczna

Definicja: Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną $n$ dodatnich liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ nazywamy liczbę

H = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}

Przykład 3

Obliczymy średnią harmoniczną liczb $2$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $10$ .

$H = \frac{6}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{6}{\frac{10 + 10 + 5 + 4 + 2 + 2}{20}}$

$H = \frac{120}{33} = \frac{40}{11} = 3 \frac{7}{11}$

Z obliczeniami związanymi ze średnią harmonicznąśrednia harmonicznaśrednią harmoniczną, spotykamy się najczęściej w przypadku problemów wymagających uśrednienia wielkości względnych, czyli wówczas, gdy zmienne wyrażone są w jednostkach względnych, np. $\frac{km}{h}$ (prędkość), $\frac{osoba}{{km}^{2}}$ (gęstość zaludnienia), obliczenia średniej prędkości pojazdów czy wyznaczenia czasu pracy danej grupy osób.

Przykład 4

Pan Tadeusz napełnia ogrodowy basen w ciągu $2$ godzin, a pan Wacław napełnia ten sam basen w ciągu $40$ minut. W ciągu ilu minut napełnią basen obaj panowie pracując wspólnie?

Rozwiązanie:

W obliczeniach wykorzystamy średnią harmoniczną – wynik podamy w minutach.

$2 h = 120 \min$

Obliczamy średni czas potrzebny do napełnienia basenu przez jedną osobę.

$H = \frac{2}{\frac{1}{120} + \frac{1}{40}} = \frac{2}{\frac{4}{120}} = \frac{240}{4} = 60$

Ponieważ basen napełniać będą $2$ osoby, zatem na napełnienie basenu potrzebują $60 \min : 2 = 30 \min$ .

Odpowiedź:

Pracując razem panowie napełnią basen w ciągu $30$ minut.

Średnia kwadratowa

Przykładem średniej, która ma duże znaczenie praktyczne, jest średnia kwadratowa. W obliczeniach matematycznych związana jest z odchyleniem standardowym, w fizyce wykorzystywana jest np. w teorii kinetycznej gazów, obliczeniach związanych z wartością skuteczną natężenia prądu przemiennego.

Średnia kwadratowa

Definicja: Średnia kwadratowa

Średnią kwadratową $n$ liczb dodatnich $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ nazywamy pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb

K = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2}}{n}}

Przykład 5

Obliczymy średnią kwadratowąśrednia kwadratowaśrednią kwadratową liczb $2$ , $2$ , $4$ , $8$ .

$K = \sqrt{\frac{2^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 8^{2}}{4}} = \sqrt{22} \approx 4, 7$

Przykład 6

Pani Matylda ma trzy kwadratowe działki o bokach długości odpowiednio $110 m$ , $50 m$ i $10 m$ . Chce podzielić ziemię po równo między trójkę swoimi dzieci. W tym celu chce całość zamienić na trzy kwadratowe działki jednakowej wielkości. Jaka musi być długość boku każdej z tych działek?

Rozwiązanie:

$K = \sqrt{\frac{110^{2} + 50^{2} + 10^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{14700}{3}} = \sqrt{4900}$

$K = 70 m$

Długość boku każdej działki powinna wynosić $70 m$ .

Średnia potęgowa

Definicja: Średnia potęgowa

Średnią potęgową rzędu $k$ (inaczej średnią uogólnioną) $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ nazywamy liczbę

$P_{k} = \sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + . . . + a_{n}^{k}}{n}}$

Przykład 7

Obliczymy średnią potęgowąśrednia potęgowaśrednią potęgową rzędu $4$ liczb $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

$P_{k} = \sqrt[4]{\frac{1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + 4^{4}}{4}}$

$P_{k} = \sqrt[4]{\frac{354}{4}} \approx 3, 1$

Ważne!

Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy:

średnia harmoniczna to średnia potęgowa rzędu $(- 1)$ ,
średnia geometryczna to średnia potęgowa rzędu $0$ ,
średnia arytmetyczna to średnia potęgowa rzędu $1$ ,
średnia kwadratowa to średnia potęgowaśrednia potęgowaśrednia potęgowa rzędu $2$ .

Średnia winsorowska

Bardzo często, analizując zebrane dane, można zauważyć, że niektóre liczby są zdecydowanie większe lub dużo mniejsze od pozostałych. Nazywamy je obserwacjami odstającymi. Mogą one znacząco zaburzyć wyniki obliczeń. Zatem w wielu wypadkach usuwa się te „niepasujące” wyniki.

W podobny sposób ocenia się skoczków narciarskich, gdzie spośród $5$ ocen przyznanych przez sędziów, wybiera się trzy, odrzucając ocenę najwyższą i ocenę najniższą.

Jedną ze średnich odpornych na obecność obserwacji odstających jest średnia winsorowska.

Wyznacza się ją podobnie jak średnią arytmetyczną. Ale, po uporządkowaniu zbioru danych w sposób niemalejący, ucinamy ustaloną liczbę obserwacji (z prawej i lewej strony szeregu), a następnie dopisujemy tyle danych, ile ucięliśmy. Połowa spośród dopisanych obserwacji jest równa pierwszej (czyli najmniejszej), a połowa ostatniej (czyli największej) obserwacji z podzbioru, który pozostał po ucięciu.

Z reguły „ucina się” ok. $10$ – $25$ procent liczb z obu końców szeregu. Jeśli współczynnik „ucięcia” wynosi $0 %$ – średnia winsorowska jest równa średniej arytmetycznej.

Przykład 8

Obliczymy $10$ – procentową średnią winsorowską liczb: $6$ , $4$ , $10$ , $20$ , $8$ , $10$ , $7$ , $1$ , $3$ , $8$ .

Rozwiązanie:

Porządkujemy liczby w sposób rosnący: $1$ , $3$ , $4$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $10$ , $10$ , $20$ .

Zastępujemy $10 %$ liczb z każdego końca (czyli po jednej) najbliższą wartością spoza pozostałych.

Otrzymujemy: $3$ , $3$ , $4$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $10$ , $10$ , $10$ .

Obliczamy średnią arytmetyczną tak powstałego szeregu.

$\frac{3 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 8 + 10 + 10 + 10}{10} = \frac{69}{10} = 6, 9$

Odpowiedź:

Średnia winsorowska jest równa $6, 9$ .

Zależności między średnimi

Dla dodatnich liczb rzeczywistych $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ zachodzą następujące zależności:

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}} \leq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \leq \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2}}{n}}

Możemy zapisać:

H \leq G \leq \bar{x} \leq K

Przykład 9

Wykażemy, że dla liczb nieujemnych $a$ , $b$ prawdziwa jest nierówność:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 a + 2 b}$

Rozwiązanie:

Skorzystamy z zależności między średnią arytmetyczną, a średnią kwadratową dla liczb $\sqrt{a}$ , $\sqrt{b}$ .

Stąd:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2} \leq \sqrt{\frac{{(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2}}{2}}$

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2} \leq \sqrt{\frac{a + b}{2}}$

Mnożymy obie strony nierówności przez $2$ .

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2 \sqrt{\frac{a + b}{2}}$

Włączamy $2$ pod znak pierwiastka i otrzymujemy:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 a + 2 b}$

czyli nierówność, którą należało udowodnić.

Przykład 10

Wykażemy, że zachodzi nierówność

$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \leq \sqrt{3 \cdot (a + b + c)}$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są długościami boków trójkąta.

Rozwiązanie:

Liczby $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, zatem są to liczby dodatnie. Ponad to z nierówności trójkąta wynika, że:

$a + b > c$ , $b + c > a$ , $c + a > b$

Zatem również liczby $a + b - c$ , $b + c - a$ , $c + a - b$ są dodatnie.

Oznaczmy:

$x = a + b - c$

$y = b + c - a$

$z = c + a - b$

Wtedy dowodzona nierówność ma postać:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq \sqrt{3 \cdot (x + y + z)}$

Jej prawdziwość wynika z zależności miedzy średnią arytmetyczną, a średnią kwadratową.

Postępujemy podobnie, jak w przykładzie poprzednim:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3} \leq \sqrt{\frac{{(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} + {(\sqrt{z})}^{2}}{3}}$

Mnożymy obie strony nierówności przez $3$ i włączamy $3$ pod znak pierwiastka.

$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq \sqrt{3 \cdot (x + y + z)}$

A ta nierówność jest równoważna dowodzonej nierówności.

Stąd.

$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \leq \sqrt{3 \cdot (a + b + c)}$

Słownik

średnia geometryczna

$n$ dodatnich liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to liczba

G = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}

średnia harmoniczna

$n$ dodatnich liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to liczba

H = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}}

średnia kwadratowa

$n$ liczb dodatnich $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb

K = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2}}{n}}

średnia potęgowa

rzędu $k$ $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to liczba

$P_{k} = \sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + . . . + a_{n}^{k}}{n}}$

Wprowadzenie

Animacja

Średnia geometryczna

Średnia harmoniczna

Średnia kwadratowa

Średnia potęgowa

Średnia winsorowska

Zależności między średnimi

Słownik