Równaniem wielomianowym stopnia $n, n\in N$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$. Rozwiązaniem równania $W\left(x\right)=0$ są wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)$.

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu $W\left(x\right)$.

Wyznaczymy taką wartość parametru $a$, aby liczba $\left(-1\right)$ była pierwiastkiem równania $x^4+\left(4a-2\right)x^3-x^2-2x=0$ . Dla ustalonej wartości parametru  $a$ obliczymy pozostałe rozwiązania równania.
Ponieważ liczba $\left(-1\right)$ jest rozwiązaniem równania, więc zgodnie z definicją mamy:

${\left(-1\right)}^4+\left(4a-2\right)·{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)=0$

$1-4a+2-1+2=0$

$4a=4$

$a=1$

Dla parametru $a=1$ liczba $\left(-1\right)$ jest rozwiązaniem równania. Wtedy równanie przyjmuje postać $x^4+2x^3-x^2-2x=0$.
Obliczymy teraz pozostałe rozwiązania tego równania. Wykorzystamy metodę grupowania wyrazów.

$x^3(x+2)-x(x+2)=0$

$(x+2)(x^3-x)=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)·x=0$

$x+2=0$ lub $x-1=0$ lub $x+1=0$ lub $x=0$

$x=-2$ lub $x=1$ lub $x=-1$ lub $x=0$

Równanie ma cztery rozwiązaniarozwiązanie równania $W\left(x\right)=0$rozwiązania: $x=-2$, $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

Liczby $\left(-1\right)$ i $3$ są rozwiązaniami równania $x^3-\left(a+2\right)x^2+bx+15=0$. Obliczymy wartości współczynników $a$ i $b$. Ponieważ liczby $\left(-1\right)$ i $3$ są rozwiązaniami równania więc możemy zapisać zależności:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(-1\right)}^3-\left(a+2\right){\left(-1\right)}^2+b\left(-1\right)+15=0\\ 3^3-\left(a+2\right)·3^2+3b+15=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-1-a-2-b+15=0\\ 27-9a-18+3b+15=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-a-b=-12\\ -9a+3b=-24\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+b=12\\ -3a+b=-8\end{array}\right.$

Rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy:

$4a=20$
$a=5$

$5+b=12$

$b=7$

Szukane współczynniki to $a=5$ i $b=7$.

Wyznaczymy wartości parametrów $n$ i $k$ wiedząc, że równanie $8x^3+3n{x}^2+6k^{2}x+8=0$ ma trzykrotny pierwiastek. Obliczymy ten pierwiastekpierwiastek wielomianu $W\left(x\right)$pierwiastek.
Jeżeli $p$ jest trzykrotnym pierwiastkiem równania, to ponieważ równanie jest trzeciego stopnia, możemy równanie zapisać w postaci $8{\left(x-p\right)}^3=0$. Następnie zastosujemy  wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

$8\left(x^3-3x^{2}p+3x{p}^2-p^3\right)=0$

$8x^3-24p{x}^2+24p^{2}x-8p^3=0$

Porównując współczynniki równania otrzymujemy:

$\left\{\begin{array}{l}3n=-24p\\ 6k^2=24p^2\\ 8=-8p^3\end{array}\right.$

Z ostatniego równania otrzymujemy $p=-1$.

$3n=24$

$n=8$

$6k^2=24$

$k^2=4$

$k=2$ lub $k=-2$

Trzykrotny pierwiastek równania to $p=-1$, natomiast $n=8$, $k=-2$ lub $k=2$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $k$, dla których jedno z rozwiązań równania $4x^3+\left(k-3\right)x^2-x=0$ jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań równania.
Najpierw wyłączymy przed nawias wspólny czynnik.

$x\left[4x^2+\left(k-3\right)x-1\right]=0$

$x=0$ lub $4x^2+\left(k-3\right)x-1=0$

$4x^2+\left(k-3\right)x-1=0$

$∆={\left(k-3\right)}^2+16>0$ dla dowolnego $k$, zatem równanie ma dwa rozwiązania $x_1$ i $x_2$.

Ze wzorów Viete’a otrzymamy:

$x_1·x_2=-\frac{1}{4}<0$,

czyli rozwiązania równania mają różne znaki.

Zatem musi zachodzić warunek $\frac{x_1+x_2}{2}=0$.

Ze wzoru na sumę pierwiastków otrzymujemy:

$x_1+x_2=\frac{-(k-3)}{4}$

$\frac{-(k-3)}{8}=0$

$k-3=0$

$k=3$.

Aby rozwiązania równania spełniały warunek parametr $k=3$.

Obliczymy, dla jakich wartości współczynnika $z$ równanie $x^4-4z^2-x^2+2z=0$ ma $4$ rozwiązania.

$x^4-4z^2-x^2+2z=0$

$(x^2-2z)(x^2+2z)-(x^2-2z)=0$

Wyłączymy przed nawias wyrażenie $\left(x^2-2z\right)$.

$(x^2-2z)(x^2+2z-1)=0$

$x^2-2z=0$ lub $x^2+2z-1=0$

$x^2=2z$ lub $x^2=-2z+1$

Aby równanie $x^2=2z$ miało dwa rozwiązania $2z>0$.

$z>0$

Równanie $x^2=-2z+1$ będzie miało dwa rozwiązania dla $-2z+1>0$.

$-2z>-1$

$z<\frac{1}{2}$

Uwzględniając oba warunki $z\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$. Aby równanie miało $4$ rozwiązania $z\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$.

wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)$

liczba rzeczywista $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$