$\sin \left(x+y\right)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$, dla $x,y\in \mathrm{ℝ}$.

Obliczymy $\sin 6°\cos 24°+\cos 6°\sin 24°$.

Korzystając ze wzoru $\sin \left(x+y\right)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$

otrzymujemy:

$\sin 6°\cos 24°+\cos 6°\sin 24°=\sin \left(6°+24°\right)=\sin 30°=\frac{1}{2}$.

$\sin \left(x-y\right)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$, dla $x,y\in \mathrm{ℝ}$.

$\cos \left(x+y\right)=\cos x·\cos y-\sin x·\sin y$, dla $x,y\in \mathrm{ℝ}$.

$\cos \left(x-y\right)=\cos x·\cos y+\sin x·\sin y$, dla $x,y\in \mathrm{ℝ}$.

Obliczymy $\cos 13°\cos 73°+\sin 167°\sin 433°$.

Rozwiązanie

$\cos 13°\cos 73°+\sin 167°\sin 433°=$

$=\cos 13°\cos 73°+\sin 13°\sin 73°=$

$=\cos \left(13°-73°\right)=\cos 60°=\frac{1}{2}$.

Obliczymy, jaki zbiór wartości ma funkcja $f\left(x\right)=2\cos x+\sin x$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla każdej wartości rzeczywistej $x$ zachodzi równość

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ oraz że $\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}$.

Zapiszmy wyrażenie $y=2\cos x+\sin x$ jako:

$\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{5}}\sin x\right)$.

Zauważmy, że liczby $\frac{2}{\sqrt{5}}$ i $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mają tę własność, że suma ich kwadratów jest równa $1$. Zatem liczby te są odpowiednio sinusem i cosinusem pewnego argumentu $\alpha$. Wobec tego wzór funkcji można zapisać następująco:

$y=\sqrt{5}\left(\sin \alpha ·\cos x+\cos \alpha ·\sin x\right)$,

czyli $y=\sqrt{5}\sin \left(\alpha +x\right)$.

Zatem zbiorem ich wartości funkcji $y=2\cos x+\sin x$ jest przedział $⟨-\sqrt{5},\sqrt{5}⟩$.

Załóżmy, że $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $x+y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wówczas: $\mathrm{tg}\left(x+y\right)=\frac{{\displaystyle \mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y}}{{\displaystyle 1-\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}y}}$.

Dowód

$\mathrm{tg}\left(x+y\right)=\frac{{\displaystyle \sin \left(x+y\right)}}{{\displaystyle \cos \left(x+y\right)}}=$ $\frac{{\displaystyle \sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y}}{{\displaystyle \cos x\cos y-\sin x\sin y}}=$

$=\frac{{\displaystyle \sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y}}{{\displaystyle \cos x\cos y-\sin x\sin y}}$$\cdot \frac{{\displaystyle \frac{1}{\cos x\cos y}}}{\frac{1}{{\displaystyle \cos x\cos y}}}$$\frac{{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}}}{{\displaystyle 1+\frac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}}$$\frac{{\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{t}\mathrm{g}y}}{{\displaystyle 1-\mathrm{t}\mathrm{g}x\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}y}}$.

Załóżmy, że $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $x-y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wówczas $\mathrm{tg}\left(x-y\right)=\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}y}{1+\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}$.

Dowód

$\mathrm{tg}\left(x-y\right)=\mathrm{tg}\left(x+\left(-y\right)\right)=$$\frac{{\displaystyle \mathrm{tg}x+\mathrm{tg}\left(-y\right)}}{{\displaystyle 1-\mathrm{tg}x\mathrm{tg}\left(-y\right)}}=$$\frac{{\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{g}x-\mathrm{t}\mathrm{g}y}}{{\displaystyle 1+\mathrm{t}\mathrm{g}x\cdot \mathrm{t}\mathrm{g}y}}$

Obliczymy $\frac{\mathrm{tg}130°-tg70°}{1+\mathrm{tg}130°\mathrm{tg}70°}$.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na tangens sumy argumentów otrzymujemy:

$\frac{\mathrm{tg}130°-\mathrm{tg}70°}{1+\mathrm{tg}130°\mathrm{tg}70°}=\mathrm{tg}\left(130°-70°\right)=\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$.

Uzasadnimy, że $\frac{\mathrm{tg}15°-1}{1+\mathrm{tg}15°}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiązanie

Wykorzystamy fakt, że $\mathrm{tg}45°=1$. Wówczas zachodzi równość:

$\frac{\mathrm{tg}15°-1}{1+\mathrm{tg}15°}=\frac{\mathrm{tg}15°-\mathrm{tg}45°}{1+\mathrm{tg}15°\mathrm{tg}45°}=$$\mathrm{tg}\left(15°-45°\right)=\mathrm{tg}\left(-30°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

wzór na sinus sumy argumentów, na podstawie którego można wyprowadzić wszystkie wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów.