Przeczytaj

Warto przeczytać

Wyobraźmy sobie układ odosobniony, złożony z dwojga łyżwiarzy. W pewnej chwili, para ta zaczyna się odpychać. Odpychając się, łyżwiarze działają na siebie siłami: ${\vec{F}}_{1}$ – siła z jaką pierwsza osoba odpychana jest od drugiej oraz ${\vec{F}}_{2}$ – siła z jaką osoba druga odpychana jest od pierwszej. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, siły te łączy relacja:

- {\vec{F}}_{1} = {\vec{F}}_{2}

Zatem w układzie suma sił wewnętrznych jest równa 0. Układ izolowany, to układ na który nie działają siły zewnętrzneSiła zewnętrznasiły zewnętrzne lub siły zewnętrzne równoważą się. Zgodnie z III zasadą dynamiki w układzie tym suma sił oddziałujących ze sobą ciał również jest równa zeru.

{\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} = 0

Możemy również wyobrazić sobie, że proces oddziaływania, w tym przypadku odpychania, nie jest nieskończenie krótki. Odbywa się on w pewnym czasie $\Delta t$ . Iloczyn siły oddziałującej na ciało oraz czasu, w którym oddziaływanie to następuje, nazywany jest popędem. Wartość popędu jest równa zmianie pędu ciała.

\vec{F} Δ t = Δ \vec{p}

Wykorzystując powyższe relacje możemy zapisać II zasadę dynamiki Newtona dla sił wewnętrznych działających w układzie izolowanym dwojga łyżwiarzy w postaci:

{\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} = 0 ⟶ \frac{Δ {\vec{p}}_{1}}{Δ t} + \frac{Δ {\vec{p}}_{2}}{Δ t} = 0

Zatem:

- \frac{Δ {\vec{p}}_{1}}{Δ t} = \frac{Δ {\vec{p}}_{2}}{Δ t}

Wymnażając powyższe równanie przez czas $\Delta t$ , w jakim następuje oddziaływanie, otrzymamy związek pomiędzy zmianami pędów dwojga osób:.

- Δ {\vec{p}}_{1} = Δ {\vec{p}}_{2}

Zmiany pędów $Δ \vec{p}$ poszczególnych łyżwiarzy rozumiane są jako różnica pomiędzy pędem końcowym i początkowych. Oznaczmy jako ${\vec{p}}_{1}^{p}$ – pęd początkowy pierwszej osoby z pary, natomiast jako ${\vec{p}}_{1}^{k}$ jej pęd końcowy, po odepchnięciu. Analogiczne, opiszmy pędy ${\vec{p}}_{2}^{p}$ początkowy oraz ${\vec{p}}_{2}^{k}$ końcowy dla drugiej osoby z pary. Wykorzystując proponowane oznaczenia, możemy zapisać relację wiążącą zmiany pędów łyżwiarzy, jako:

{\vec{p}}_{1}^{p} - {\vec{p}}_{1}^{k} = {\vec{p}}_{2}^{p} - {\vec{p}}_{2}^{k}

Równanie to po przekształceniu do postaci:

{\vec{p}}_{1}^{p} + {\vec{p}}_{2}^{p} = {\vec{p}}_{1}^{k} + {\vec{p}}_{2}^{k}

pozwala stwierdzić równość sum pędów początkowych oraz końcowych układu izolowanego.

{\vec{p}}^{p} = {\vec{p}}^{k}

Możemy zatem wysnuć wniosek, że:

W układzie odosobnionym całkowity pęd tego układuPęd układupęd tego układu pozostaje stały lub mówimy – jest zachowany.

Jest to treść zasady zachowania pędu. Z zasady tej nie wynika jednak brak możliwości zmiany pędów poszczególnych elementów układu. Pędy ciał, z których złożony jest układ mogą ulegać zmianie, ale ich suma wektorowa jest wartością stałą.

{\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} + . . . + {\vec{p}}_{n} = c o n s t

Przykład 1.

Rozpatrzmy prosty przykład, w którym mamy do czynienia z dwoma ciężarkami o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ połączonymi ściśniętą sprężyną i umieszczonych na płaskiej, bardzo gładkiej powierzchni (Rys. 2.). Ciężarki te początkowo połączone są również sznurkiem, który sprawia że pozostają one w spoczynku. Załóżmy, że masa $m_{1} \gt m_{2}$ .

R16nVW1xAYwqM

Rys. 2. Rysunek przedstawia dwa prostokątne ciężarki połączone ściśniętą sprężyną oraz sznurkiem przedstawionym w postaci przerywanej poziomej linii, ustawione na płaskiej i bardzo śliskiej powierzchni. Lewy ciężarek ma kolor czerwony i masę opisaną małą czarną literą m z indeksem dolnym jeden. Prawy ciężarek ma kolor zielony i masę opisaną małą czarną literą m z indeksem dolnym dwa. — Rys. 2. Ciężarki połączone ściśniętą sprężyną i umieszczone na płaskiej, bardzo gładkiej powierzchni
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Całkowity pęd układu, w sytuacji gdy ciężarki są nieruchome jest równy zero, ponieważ pęd każdego z nich jest równy zeru.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu wartość ta nie ulegnie zmianie nawet wtedy, gdy sznurek zostanie przepalony co spowoduje zwolnienie sprężyny (Rys. 3.).

Rq0OPYYMaCyMc

Rys. 3. Dwa prostokątne ciężarki połączone ściśniętą sprężyną oraz sznurkiem, są ustawione na płaskiej i bardzo śliskiej powierzchni. Lewy ciężarek ma kolor czerwony i masę opisaną małą czarną literą m z indeksem dolnym jeden. Prawy ciężarek ma kolor zielony i masę opisaną małą czarną literą m z indeksem dolnym dwa. Po przecięciu sznurka sprężyna rozpycha ciężarki na boki. Lewy ciężarek uzyskuje prędkość oznaczoną, poziomą czerwoną, skierowaną w lewo strzałką wektora oraz małą, czerwoną literą v z indeksem dolnym jeden i znaczkiem wektora ponad nią. Prawy ciężarek uzyskuje prędkość oznaczoną, poziomą zieloną, skierowaną w prawo strzałką wektora oraz małą, zieloną literą v z indeksem dolnym dwa i znaczkiem wektora ponad nią. Rysunek przedstawia ciężarki gdy są już rozepchnięte sprężyną. — Rys. 3. Ciężarki z luźną sprężyną
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Dzieje się tak, ponieważ w chwili zwolnienia układu złożonego z ciężarków oraz sprężyny nie działa żadna siła zewnętrzna. Siła sprężystości, która wywoła ruch ciężarków jest siłą wewnętrzną układu.

Zwolnienie sprężyny spowoduje ruch ciężarków z prędkościami ${\vec{v}}_{1}$ oraz ${\vec{v}}_{2}$ . Prędkości te będą różne, ponieważ masy ciężarków nie są jednakowe. Zapiszmy ponownie zasadę zachowania pędu dla poruszających się ciał:

{\vec{p}}_{1}^{k} + {\vec{p}}_{2}^{k} = 0

${\vec{p}}_{1}^{k}$ oraz ${\vec{p}}_{2}^{k}$ oznaczają pędy końcowe poszczególnych ciężarków. Wykorzystując masy oraz prędkości ciężarków, możemy zapisać powyższą zasadę jako:

m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2} = 0 ⟶ m_{1} {\vec{v}}_{1} = - m_{2} {\vec{v}}_{2}

Pozwala to na wyznaczenie relacji jaka wiąże ze sobą prędkości ${\vec{v}}_{1}$ i ${\vec{v}}_{2}$ .

{\vec{v}}_{1} = - \frac{m_{1}}{m_{2}} {\vec{v}}_{2}

W zaprezentowanym przykładzie udało nam się zarówno przedstawić zasadę zachowania pędu, jak również wykorzystać ją do opisu zachowania się poszczególnych elementów układu.

Przykład 2.

Przeanalizujmy jeszcze jeden przykład, tym razem liczbowy, w którym mamy do czynienia z dwoma chłopcami o masach $m_{1}$ = 50 kg i $m_{2}$ = 60 kg, stojącymi na deskorolkach (Rys. 4.). Chłopcy trzymają się za ręce i początkowo pozostają w spoczynku. W pewnej chwili odepchnęli się, tym samym wprawiając się w ruch. Umieszczając chłopców w kartezjańskim układzie współrzędnych wiemy, że chłopiec drugi po odepchnięciu uzyskał prędkości wzdłuż kierunku osi OX $v_{2x}$ =3 m/s oraz w kierunku osi OY $v_{2y}$ = 4 m/s. Wyznaczmy wartość pędu, jaki po odepchnięciu uzyska pierwszy z chłopców.

RuUeDrWGl3Dvi

Rys. 4. Grafika prezentuje dwie postaci na deskorolkach trzymające się za rękę. Rysunek przedstawia dwa niebieskie ludziki na deskorolkach znajdujące się w prostokątnym układzie współrzędnych XY. Pierwszy ludzik (chłopiec) na czerwonej deskorolce znajduje się w trzeciej ćwiartce układu. Drugi ludzik (chłopiec) na zielonej deskorolce znajduje się w pierwszej ćwiartce układu. Chłopcy trzymają się za rękę a po odepchnięciu się od siebie uzyskują prędkości skierowane w przeciwne strony. Pionowy, czerwony wektor składowy prędkości drugiego chłopca jest skierowany zgodnie z kierunkiem osi Y i oznaczony czerwonym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym dwa y równa się cztery metry na sekundę. Poziomy, czerwony wektor składowy prędkości drugiego chłopca jest skierowany zgodnie z kierunkiem osi X i oznaczony czerwonym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym dwa x równa się trzy metry na sekundę. Pionowy, czarny wektor składowy prędkości pierwszego chłopca jest skierowany przeciwnie do kierunku osi Y i oznaczony czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden y równa się znakowi zapytania. Poziomy, czarny wektor składowy prędkości pierwszego chłopca jest skierowany przeciwnie do kierunku osi X i oznaczony czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden x równa się znakowi zapytania. Suma geometryczna składowych pierwszego chłopca tworzy wektor prędkości wypadkowej tego chłopca opisany czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden „wyp” równa się znakowi zapytania. Pierwszy chłopiec ma masę pięćdziesięciu kilogramów a drugi sześćdziesięciu kilogramów. — Rys. 4. Chłopcy na deskorolkach
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

W celu wyznaczenia wartości pędu końcowego musimy obliczyć prędkość wypadkową, z jaką porusza się pierwszy z chłopców. Dokonamy tego określając prędkości, z jakimi poruszać się on będzie zarówno w kierunku osi OX jak i OY. Wykorzystamy do tego zasadę zachowania pędu w odosobnionym układzie składającym się z obu chłopców stojących na deskorolkach. Początkowy pęd układu, w chwili gdy chłopcy stoją nieruchomo, jest równy 0 zarówno wzdłuż osi OX jak i OY. Zasada zachowania pędu wzdłuż obu osi przybiera postać:

{\vec{p}}_{1 x}^{p} + {\vec{p}}_{2 x}^{p} = 0

{\vec{p}}_{1 y}^{p} + {\vec{p}}_{2 y}^{p} = 0

Zgodnie z zasadą zachowania pędu wartości te nie ulegną zmianie po odepchnięciu się chłopców, a zatem:

{\vec{p}}_{1 x}^{k} + {\vec{p}}_{2 x}^{k} = 0

{\vec{p}}_{1 y}^{k} + {\vec{p}}_{2 y}^{k} = 0

Wykorzystajmy powyższe relacje w celu wyznaczenia prędkości $v_{1 x}$ oraz $v_{1 y}$ dla pierwszego z chłopców (Rys. 5.).

$m_{1}v_{1x}+m_{2}v_{2x}=0\longrightarrow v_{1x}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2x}=-\frac{60\hspace{2mm}\textrm{kg}}{50\hspace{2mm}\textrm{kg}}\cdot3\hspace{2mm}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}=-3,6\hspace{2mm}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$

$m_{1}v_{1y}+m_{2}v_{2y}=0\longrightarrow v_{1y}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2y}=-\frac{60\hspace{2mm}\textrm{kg}}{50\hspace{2mm}\textrm{kg}}\cdot4\hspace{2mm}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}=-4,8\hspace{2mm}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$

R1TU9HQnQ2Trd

Rys. 5. Grafika prezentuje rozkład prędkości dla pierwszego z chłopców. Rysunek przedstawia niebieskiego ludzika (chłopca) na czerwonej deskorolce. Pionowy, czarny wektor składowy prędkości chłopca jest skierowany w dół i oznaczony czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden y równa się cztery przecinek osiem metra na sekundę. Poziomy, czarny wektor składowy prędkości chłopca jest skierowany w lewo i oznaczony czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden x równa się trzy przecinek sześć metra na sekundę. Suma geometryczna składowych chłopca tworzy wektor prędkości wypadkowej tego chłopca opisany czarnym tekstem i małymi literami jako v z indeksem dolnym jeden „wyp”. Chłopiec ma masę pięćdziesięciu kilogramów. — Rys. 5. Rozkład prędkości dla pierwszego z chłopców
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Wartość wektora prędkości, z jaką porusza się pierwszy z chłopców wyznaczamy jako:

| {\vec{v}}_{1} | = \sqrt{{(- 3, 6 \frac{m}{s})}^{2} + {(- 4, 8 \frac{m}{s})}^{2}} = 6 \frac{m}{s}

Pęd końcowy pierwszego z chłopców wyznaczmy korzystając z definicji zmiany pędu.

Δ {\vec{p}}_{1} = {\vec{p}}_{1}^{k} - {\vec{p}}_{1}^{p} ⟶ {\vec{p}}_{k} = {\vec{p}}_{1}^{p} + Δ {\vec{p}}_{1}

Początkowy pęd pierwszego z chłopców jest równy 0, ponieważ przed odepchnięciej znajduje się on w spoczynku.

{\vec{p}}_{1}^{p} = 0

Zmiana pędu jest równa iloczynowi masy chłopca oraz prędkości końcowej.

| Δ {\vec{p}}_{1} | = m_{1} | {\vec{v}}_{1} | = 50 k g \cdot 6 \frac{m}{s} = 300 k g \cdot \frac{m}{s}

Co stanowi również wartość pędu końcowego, ponieważ pęd początkowy był równy zeru.

W drugim z zaprezentowanych przykładów wykorzystaliśmy zasadę zachowania pędu, w celu wyznaczenia parametrów ciała.

Słowniczek

Pęd układu

(ang. system momentum) Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić, że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu. Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna.

Siła zewnętrzna

(ang. external force) siła działająca na układ, nie wynikająca z oddziaływania pomiędzy poszczególnymi elementami układu. To siła działająca na ciało - konstrukcję lub jej element.

Wprowadzenie

Animacja

Warto przeczytać

Słowniczek