Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Powiemy, że wektory uv są równe, gdy mają ten sam kierunek, równe długości i zgodne zwroty, co zapisujemy:

u=vuvu=vu, v mają zgodne zwroty.

Przyjmujemy ponadto, że każde dwa wektory zerowe są równe.

Wektory równewektory równeWektory równe mogą mieć różne początki. Mając dany wektor, możemy w każdym punkcie zaczepić wektor mu równy.

R15lKsZf5nE2c
Przykład 1

W równoległoboku ABCD wektorami równymi są wektory: AB=DC, BA=CD, AD=BC, DA=CB, ale ABBA, BADC, ADDC, DAAB.

Rb2R223oAPcpx
Przykład 2

Rozważmy sześciokąt foremny ABCDEF. Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą G. Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki AB, FCED są równoległe. Tę samą własność mają odcinki AF, BECD. Równoległe są również odcinki BC, ADFE. Ponadto wiadomo, że każdy z trójkątów ABG, BCG, CDG, DEG, EFGFAG jest równoboczny i przystający do pozostałych.

RtlnSHohbUKb7

Wówczas:

  • ADBC, ponieważ wektory mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i taki sam zwrot,

  • ABDE, ponieważ wektory mają przeciwne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,

  • AGBG, ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.

Przykład 3

Dany jest trójkąt ABC. Niech K będzie środkiem boku AB, przez L oznaczmy środek boku BC, zaś środek boku AC nazwijmy M. Uzasadnimy, że KL=AM.

R1CWTrZQ7u0Tn

Uzasadnienie: zauważmy, że odcinek KL jest linią środkową trójkątalinia środkowa trójkątalinią środkową trójkąta ABC (łączy środki boków ABBC trójkąta ABC). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ M jest środkiem boku AC, więc długość odcinka AM jest również równa połowie długości boku AC. Wynika stąd, że wektory KL AM  są zawarte w równoległych odcinkach, więc mają ten sam kierunek wektorakierunek wektorakierunek wektora, a długość każdego z nich jest równa połowie długości boku AC. Z uporządkowania punktów K i L oraz A i M widzimy, że zwroty wektorów KL AM również są takie same. Zatem wektory KLAM są równe. Ponadto możemy zauważyć, że KL=AM =MC.

Przykład 4

Uzasadnimy równość odpowiednich wektorów z poniższego rysunku. Za jednostkę przyjmijmy jedną kratkę.

R19DJtLFbeQoL

Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu A do punktu B wystarczy przesunąć się o jedną jednostkę w prawo i trzy jednostki do góry. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu H do punktu G. Oznacza to, że wektory ABHG są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych linii siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory ABHG są równe.

Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu E do punktu F możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i sześć jednostek w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu C do punktu J. Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory EFCJ są równe.

Możemy też zauważyć, że wektory HICD nie są równe. Mimo, że mają ten sam kierunek, a nawet długość wektoradługość wektoradługość wektora, to ich zwroty są przeciwne.

Przykład 5

Romb DEFG składa się z dwóch trójkątów przystających do trójkąta równobocznego ABC. Porównamy wektory w obu wielokątach.

RtEbbU1Vu3SA4

Zauważmy, że następujące wektory są równe:

AB=DE=GF,

AC=DG=EF,

BC=EG,

a także

AG=BF.

Wektor DF nie ma swojego odpowiednika wśród wektorów o końcach będących wierzchołkami rozważanych wielokątów.

Słownik

wektory równe
wektory równe

wektory, które mają ten sam kierunek, zwrot i równą długość

kierunek wektora
kierunek wektora

prosta, na której leżą początek i koniec niezerowego wektora

długość wektora
długość wektora

odległość początku wektora od jego końca

linia środkowa trójkąta
linia środkowa trójkąta

odcinek łączący punkty będące środkami dwóch boków trójkąta