Podstawowe informacje o animacjach

Animacje

Na jedną animację składa się ok. 1500 wykresów. Każdy pokazuje zależność czasową $x(t)$ ruchu punktu zaczepienia wahadła oraz wynik numerycznej symulacji wychylenia $\alpha(t)$ dla ustalonego zestawu parametrów wymuszania. Tak więc „postęp” filmu polega na zmianie jednego z tych parametrów, a każda klatka obrazuje zachowanie układu od chwili, kiedy wymuszania praktycznie nie odczuwał, przez etap widocznej wymiany energii z czynnikiem wymuszającym, aż do wyraźnego ustania działania układu wymuszającego.

Dzięki temu, gdy zatrzymasz animację, to zobaczysz wykres pokazujący zachowanie się wahadła dla specyficznego zestawu warunków wymuszania. Korzystaj z tej możliwości, także z możliwości porównywania różnych wykresów w obrębie jednej animacji.

Wykresy

Każda animacja zawiera dwa zmieniające się wykresy.
Górny pokazuje zależność czasową $\alpha(t)$ - kąta wychylenia wahadła od pionu. Dolny pokazuje zależność $x(t)$ - położenia punktu zaczepienia wahadła w jego ruchu poziomym. Ruch ten wymusza drgania, choć nie jest tożsamy z siłą wymuszającą. Ta ostatnia jest związana dość kompleksową relacją z obiema zależnościami: z $x(t)$ oraz z $\alpha(t).$ Na obu identycznych osiach poziomych odłożony jest czas wyrażony w sekundach.

We wszystkich przypadkach warunki początkowe są identyczne: wahadło spoczywa w położeniu równowagi i dopiero siła wymuszająca nadaje mu przyspieszenie i wytrąca je z tego położenia.

Okres własny

W każdej animacji okres małych drgań własnych $T_0$ wahadła, bez tłumienia i bez działania układu wymuszającego, jest ustalony. Wynika on z przyjętych wartości parametrów wahadła. Efektywny okres drgań, co zapewne zauważysz, zależy przede wszystkim od amplitudy tych drgań oraz, w niewielkim stopniu, od tłumienia. W każdym z przykładów bowiem obliczenia prowadzone były bez przybliżenia typowo używanego dla niewielkich amplitud. Każdorazową wartość okresu drgań oszacujesz na podstawie wykresu $\alpha(t).$

Algorytm symulacji dopuszcza przekroczenie kąta wychylenia $\alpha=180^{\text{o}}\ (\pi\text{ rad})$ - wahadło ma więc możliwość zatoczenia jednego lub kilku pełnych obrotów, tak jak gdyby było zawieszone na sztywnym wsporniku a nie na nici. Takie efekty obejrzysz w niektórych animacjach - zastanów się, po czym to można rozpoznać? Jak przebiega wykres $\alpha(t)$ w takiej sytuacji?

Warto też - jako ciekawostkę - wspomnieć możliwość uzyskania skrajnie nieprawdopodobnego wyniku. Działanie czynnika wymuszającego mogłoby zakończyć się dokładnie w chwili, gdy wahadło mija najwyższy punkt swego toru. Prędkością wahadła mogłaby być na tyle niewielka, że po uwzględnieniu rozpraszania, energia wahadła byłaby dokładnie wystarczająca do osiągnięcia kolejny raz położenia $\alpha=180^{\text{o}}$ i pozostania tam w spoczynku. Czas takiego obiegu, który jest w czymś podobny do okresu, byłby dużo dłuższy od $T_0.$

Tłumienie

We wszystkich symulacjach przyjęto, że siła tłumiąca drgania jest proporcjonalna do chwilowej prędkości kątowej wahadła. Współczynnik proporcjonalności między siłą tłumienia oznaczany jest zawsze symbolem $\gamma.$ Im większa wartość $\gamma,$ tym efektywniejsze tłumienie drgań.

Nie odróżniamy więc rozpraszania energii wewnątrz układu (np. w punkcie zawieszenia wahadła) od jej rozpraszania wskutek oddziaływań zewnętrznych (np. przez opór powietrza). Takie uproszczone podejście jest uzasadnione:  koncentrujemy się na zjawisku rezonansu, czyli na zmianach amplitudy drgań w funkcji cech siły wymuszającej, a nie na dokładnym przebiegu całej zależności $\alpha(t).$

Wymuszanie

Każdy z ruchów wymuszających modelowany jest z pomocą funkcji Gaussa (możesz o niej przeczytać w e‑materiale „Krzywa Gaussa i odchylenie standardowe”). Gdy jej argumentem jest czas, doskonale nadaje się ona do modelowania impulsowych ruchów wymuszających:

- Parametr $\sigma$ jest tu wyrażony w sekundach. Pozwala on regulować czas trwania impulsu - na wykresach widzisz to jako regulację jego szerokości. Wartość $\sigma$ jest określana jako odpowiednio dobrana wielokrotność (impulsy długie) lub podwielokrotność (impulsy krótkie) okresu własnego $T_{0}.$
- Parametr $t_{0}$ oznacza chwilę, w której funkcja Gaussa osiąga maksymalną wartość.
- Możesz uznać, w dobrym przybliżeniu, że wymuszanie rozpoczyna się w chwili $(t_0-3\sigma)$ zaś kończy się w chwili  $(t_0+3\sigma).$ Cały ten przedział mieści się w dziedzinie każdego wykresu.

Model 1 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do dwudziestu pięciu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających pięciu sekundom i nieco mniej niż trzynastu sekundom, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Tuż przed pierwszym znacznikiem, linia przybiera kierunek niemal pionowy w górę, osiąga wartość dwie dziesiąte metra w chwili pięć sekund, po czym opada niemal pionowo ku osi czasu. W efekcie na wykresie pojawia się ostry impuls skierowany ku górze. Następnie linia znowu biegnie poziomo, a tuż przed drugim znacznikiem ponownie kieruje się niemal ku górze, osiąga wartość dwie dziesiąte metra, po czym opada niemal pionowo ku osi czasu. Oba impulsy mają identyczny kształt i rozmiary. Do końca wykresu linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus pięciu dziesiątych do około pięciu dziesiątych radiana. Wartości odpowiadające plus‑minus dwóm oraz plus‑minus czterem dziesiątym radiana są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W czasie odpowiadającym pierwszemu impulsowi na wykresie dolnym, linia czerwona tworzy podobny impuls, ale skierowany w dół, do wartości niemal minus dwóch dziesiątych radiana. Po powrocie do wartości zero czerwona linia przybiera kształt zbliżony do sinusoidy o amplitudzie nieco poniżej jednej dziesiątej radiana. W czasie odpowiadającym drugiemu impulsowi na wykresie dolnym, linia czerwona powtarza impuls skierowany ku dołowi. Po powrocie do wartości zero, już do końca wykresu linia czerwona biegnie poziomo. Po uruchomieniu animacji położenie lewego impulsu na dolnym wykresie się nie zmienia. Prawy impuls jest początkowo oddalony od lewego o niecałą sekundę i w miarę biegu animacji odległość pomiędzy nimi rośnie. Podobnie zmienia się odległość pomiędzy dwoma odwróconymi impulsami na górnym wykresie. Czerwona linia pomiędzy impulsami układa się w sinusoidę, coraz dłuższą. Na prawo od drugiego impulsu czerwona linia przybiera kształt sinusoidy, której amplituda zmienia się okresowo w miarę zmiany odległości pomiędzy impulsami. W kilku położeniach amplituda ta osiąga maksymalną wartość około piętnastu setnych radiana, w innych ma ona wartość zero – wtedy linia czerwona za prawym impulsem jest pozioma

Model 2.1 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około czterem oraz około pięciu sekundom, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili około trzy i dwie dziesiąte sekundy linia wznosi się łagodnie, osiąga wartość dwie dziesiąte metra w chwili cztery i pół sekundy, po czym równie łagodnie opada ku osi czasu, którą osiąga w chwili około pięć i pół sekundy. W efekcie na wykresie pojawia się łagodny impuls skierowany ku górze. Do końca wykresu linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W czasie odpowiadającym impulsowi na wykresie dolnym, linia czerwona odchodzi od osi w dół, następnie przekracza oś w górę, osiąga maksymalną wartość i ponownie biegnie w dół. Charakter tych zmian ustala się do wykresu sinusoidy o amplitudzie około jednej ósmej „pi” radiana (nieco ponad 20°) i okresie około jednej i dwóch dziesiątych sekundy. Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza i niemożliwa do określenia. Dwa czerwone znaczniki praktycznie się pokrywają. Linia niebieska odchodzi od zera w czasie równym około czterem i pół sekundy i wraca do zera po czasie krótszym od jednej dziesiątej sekundy. Po wygaśnięciu impulsu czerwona linia ma amplitudę nieco ponad jedną drugą „pi” (90°). W miarę biegu animacji szerokość impulsu rośnie, oba jego zbocza stają się coraz łagodniejsze, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około cztery i pół sekundy. Amplituda czerwonej linii stopniowo maleje i osiąga wartość zero, gdy szerokość impulsu na osi czasu jest równa około dwóm dziesiątym sekundy (odległość pomiędzy znacznikami jest równa około jednej dziesiątej sekundy). Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje wzrost amplitudy czerwonej linii, do osiągnięcia wartości około jednej czwartej „pi”, przy odległości między znacznikami równej niecałym czterem dziesiątym sekundy. Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje malenie amplitudy czerwonej linii. Animacja kończy się przy odległości między znacznikami około jeden i dziewięć dziesiątych sekundy oraz amplitudzie czerwonej linii praktycznie równej zero.

Model 2.2 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około czterem oraz około pięciu sekundom, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili około trzy i dwie dziesiąte sekundy linia wznosi się łagodnie, osiąga wartość dwie dziesiąte metra w chwili cztery i pół sekundy, po czym równie łagodnie opada ku osi czasu, którą osiąga w chwili około pięć i pół sekundy. W efekcie na wykresie pojawia się łagodny impuls skierowany ku górze. Do końca wykresu linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W czasie odpowiadającym impulsowi na wykresie dolnym, linia czerwona odchodzi od osi w dół, następnie przekracza oś w górę, osiąga maksymalną wartość i ponownie biegnie w dół. Charakter tych zmian ustala się do wykresu sinusoidy o początkowej amplitudzie około jednej ósmej „pi” radiana (nieco ponad 20°) i okresie około jednej i dwóch dziesiątych sekundy. Amplituda ta stopniowo maleje i spada do około połowy wartości początkowej na końcu wykresu. Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza i niemożliwa do określenia. Dwa czerwone znaczniki praktycznie się pokrywają. Linia niebieska odchodzi od zera w czasie równym około czterem i pół sekundy i wraca do zera po czasie krótszym od jednej dziesiątej sekundy. Po wygaśnięciu impulsu czerwona linia ma początkową amplitudę około jednej drugiej „pi” (90°). W miarę biegu animacji szerokość impulsu rośnie, oba jego zbocza stają się coraz łagodniejsze, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około cztery i pół sekundy. Początkowa amplituda czerwonej linii stopniowo maleje i osiąga wartość zero, gdy szerokość impulsu na osi czasu jest równa około dwóm dziesiątym sekundy (odległość pomiędzy znacznikami jest równa około jednej dziesiątej sekundy). Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje wzrost początkowej amplitudy czerwonej linii, do osiągnięcia wartości około jednej czwartej „pi”, przy odległości między znacznikami równej około trzem dziesiątym sekundy. Od tego momentu wzrost szerokości impulsu powoduje malenie początkowej amplitudy czerwonej linii. Osiąga ona praktycznie zerową wartość na końcu animacji, przy odległości między znacznikami około jeden i dziewięć dziesiątych sekundy. W trakcie całej animacji amplituda czerwonej linii na końcu wykresu stanowi około połowy amplitudy początkowej.

Model 2.3 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około czterem oraz około pięciu sekundom, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili około trzy i dwie dziesiąte sekundy linia wznosi się łagodnie, osiąga wartość dwie dziesiąte metra w chwili cztery i pół sekundy, po czym równie łagodnie opada ku osi czasu, którą osiąga w chwili około pięć i pół sekundy. W efekcie na wykresie pojawia się łagodny impuls skierowany ku górze. Do końca wykresu linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W czasie odpowiadającym impulsowi na wykresie dolnym, linia czerwona odchodzi od osi w dół, następnie przekracza oś w górę, osiąga maksymalną wartość i ponownie biegnie w dół. Charakter tych zmian ustala się do wykresu sinusoidy o początkowej amplitudzie około jednej dziesiątej „pi” radiana (nieco poniżej 20°) i okresie około jednej i dwóch dziesiątych sekundy. Amplituda ta stopniowo maleje i spada praktycznie do zera na końcu wykresu. Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza i niemożliwa do określenia. Dwa czerwone znaczniki praktycznie się pokrywają. Linia niebieska odchodzi od zera w czasie równym około czterem i pół sekundy i wraca do zera po czasie krótszym od jednej dziesiątej sekundy. Po wygaśnięciu impulsu czerwona linia ma początkową amplitudę równą około jednej drugiej „pi” (90°). W miarę biegu animacji szerokość impulsu rośnie, oba jego zbocza stają się coraz łagodniejsze, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około cztery i pół sekundy. Początkowa amplituda czerwonej linii stopniowo maleje i osiąga wartość zero, gdy szerokość impulsu na osi czasu jest równa około dwóm dziesiątym sekundy (odległość pomiędzy znacznikami jest równa około jednej dziesiątej sekundy). Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje wzrost początkowej amplitudy czerwonej linii, do osiągnięcia wartości około jednej czwartej „pi”, przy odległości między znacznikami równej około trzem dziesiątym sekundy. Od tego momentu wzrost szerokości impulsu powoduje malenie początkowej amplitudy czerwonej linii. Osiąga ona praktycznie zerową wartość na końcu animacji, przy odległości między znacznikami około jeden i dziewięć dziesiątych sekundy. W trakcie całej animacji amplituda czerwonej linii na końcu wykresu osiąga praktycznie zerową wartość.

Model 3.1 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około siedmiu i dwóm dziesiątym oraz około dwunastu i sześciu dziesiątym sekundy, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi linia dziesięciokrotnie wznosi się i naprzemiennie opada. Osiągane przy tym minima i maksima z początku wzrastają, po czym maleją do zera. W efekcie na wykresie pojawia się impuls z oscylacjami. Największa wartość rzędnej „x” w impulsie to około dwóch dziesiątych metra. Po czasie odpowiadającym drugiemu znacznikowi linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi na wykresie dolnym, linia czerwona zaczyna wykonywać oscylacje, których amplituda początkowo rośnie i osiąga wartość około jedna trzecia „pi” radianów (około sześćdziesięciu stopni). Począwszy od chwili odpowiadającej środkowi impulsu z oscylacjami na dolnym wykresie, amplituda oscylacji czerwonej linii maleje i zanika do zera mniej więcej po czterech‑pięciu sekundach od drugiego znacznika, czyli od zaniknięcia impulsu na linii niebieskiej. Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza, a położenia znaczników to około osiem i cztery dziesiąte sekundy oraz jedenaście i trzy dziesiąte sekundy. Linia niebieska wykonuje dziesięć oscylacji pomiędzy tymi znacznikami, o amplitudzie początkowo rosnącej a następnie malejącej. Linia czerwona wykonuje podobne oscylacje, których amplituda spada praktycznie do zera w sekundę‑dwie po znaczniku prawym. W miarę biegu animacji znaczniki oddalają się od siebie. Odpowiednio wzrasta szerokość impulsu z oscylacjami linii niebieskiej, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około dziesięć sekund. Maksymalna wartość amplitudy oscylacji pozostaje stała, ale ich częstotliwość maleje. Wraz ze wzrostem szerokości impulsu linii niebieskiej (i maleniem częstotliwości jej oscylacji) maksymalna amplituda osiągana przez linię czerwoną stopniowo rośnie i osiąga wartość około cztery dziesiąte „pi” radianów (około 70°), gdy odległość pomiędzy znacznikami na osi czasu jest równa około sześć sekund. Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje spadek maksymalnej amplitudy czerwonej linii, do wartości około jednej dziesiątej „pi” radianów (około 20°) na końcu animacji, przy odległości między znacznikami równej około dwunastu sekundom. W trakcie całej animacji amplituda czerwonej linii osiąga praktycznie zerową wartość nie później niż przed upływem pięciu sekund po prawym znaczniku, czyli po końcu procesu wymuszania. Na końcowym wykresie oscylacje te wygasają praktycznie natychmiast po zaniknięciu impulsu, czyli po końcu procesu wymuszania.

Model 3.2 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około sześciu i ośmiu dziesiątym sekundy oraz około trzynastu sekundom, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi linia dziesięciokrotnie wznosi się i naprzemiennie opada. Osiągane przy tym minima i maksima z początku wzrastają, po czym maleją do zera. W efekcie na wykresie pojawia się impuls z oscylacjami. Największa wartość rzędnej „x” w impulsie to około dwóch dziesiątych metra. Po czasie odpowiadającym drugiemu znacznikowi linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi na wykresie dolnym, linia czerwona zaczyna wykonywać oscylacje, których amplituda początkowo rośnie i osiąga wartość około trzy czwarte „pi” radianów (około 135°). Począwszy od chwili odpowiadającej środkowi impulsu z oscylacjami na dolnym wykresie, amplituda oscylacji czerwonej linii stopniowo maleje. Na końcu wykresu amplituda ma wartość około jednej szóstej „pi” radianów (około 30°). Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza, a położenia znaczników to około osiem i cztery dziesiąte sekundy oraz jedenaście i trzy dziesiąte sekundy. Linia niebieska wykonuje dziesięć oscylacji pomiędzy tymi znacznikami, o amplitudzie początkowo rosnącej a następnie malejącej. Linia czerwona wykonuje podobne oscylacje, których amplituda spada niemal do zera przy końcu wykresu. W miarę biegu animacji znaczniki oddalają się od siebie. Odpowiednio wzrasta szerokość impulsu z oscylacjami linii niebieskiej, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około dziesięć sekund. Maksymalna wartość amplitudy oscylacji pozostaje stała, ale ich częstotliwość maleje. Wraz ze wzrostem szerokości impulsu linii niebieskiej (i maleniem częstotliwości jej oscylacji) maksymalna amplituda osiągana przez linię czerwoną stopniowo rośnie. Osiąga ona największą wartość w warunkach pokazanych na ekranie początkowym. Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje spadek maksymalnej amplitudy czerwonej linii, do wartości około jednej dziesiątej „pi” radianów (około 20°) na końcu animacji, przy odległości między znacznikami równej około dwunastu sekundom. W trakcie całej animacji oscylacje czerwonej linii wygasają po coraz krótszym czasie; na końcowym wykresie praktycznie natychmiast po zaniknięciu impulsu, czyli po końcu procesu wymuszania.

Model 3.3 – opis animacji

Ekran początkowy animacji pokazuje dwa wykresy, umieszczone jeden pod drugim. Osie odciętych obu wykresów są jednakowe, odłożony jest na nich czas „t”, w sekundach. Osie są wyskalowane od zera do trzydziestu sekund; opisane co pięć sekund. W odstępach sekundowych przez wykresy poprowadzone są przerywane linie, prostopadłe do osi czasu. Na osi dolnego wykresu, w chwilach odpowiadających około sześciu i trzem dziesiątym sekundy oraz około trzynastu i czterem dziesiątym sekundy, umieszczone są niewielkie czerwone znaczniki w postaci połowy kółka. Oś rzędnych dolnego wykresu jest opisana symbolem „x” z jednostką metr. Oś jest wyskalowana od około minus dwudziestu pięciu setnych do około dwudziestu pięciu setnych metra. Wartości odpowiadające dziesiątym częściom metra są opisane. Od każdej z tych wartości poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony niebieską linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. Od chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi linia dziesięciokrotnie wznosi się i naprzemiennie opada. Osiągane przy tym minima i maksima z początku wzrastają, po czym maleją do zera. W efekcie na wykresie pojawia się impuls z oscylacjami. Największa wartość rzędnej „x” w impulsie to około dwóch dziesiątych metra. Po czasie odpowiadającym drugiemu znacznikowi linia niebieska biegnie poziomo. Oś rzędnych górnego wykresu jest opisana symbolem „alfa” z jednostką radian. Oś jest wyskalowana od około minus czterech do około czterech radianów. Wartości odpowiadające minus „pi” radianom (-180°) oraz plus pi radianom są opisane. Od każdej z tych wartości, a także od wartości odpowiadających plus‑minus „pi‑drugich” radiana, poprowadzona jest przez wykres przerywana linia, prostopadła do osi rzędnych. Wykres jest poprowadzony czerwoną linią, która począwszy od punktu (0; 0) biegnie poziomo. W chwili odpowiadającej pierwszemu znacznikowi na wykresie dolnym, linia czerwona zaczyna wykonywać oscylacje, których amplituda początkowo rośnie i osiąga wartość niecałe „pi” radianów (niecałe 180°). Począwszy od chwili odpowiadającej drugiemu znacznikowi, czyli końcowi impulsu z oscylacjami na dolnym wykresie, amplituda oscylacji czerwonej linii powoli maleje. Na końcu wykresu amplituda ma wartość około trzy czwarte „pi” radianów (około 135°). Po uruchomieniu animacji szerokość impulsu na dolnym wykresie jest najmniejsza, a położenia znaczników to około osiem i cztery dziesiąte sekundy oraz jedenaście i trzy dziesiąte sekundy. Linia niebieska wykonuje dziesięć oscylacji pomiędzy tymi znacznikami, o amplitudzie początkowo rosnącej a następnie malejącej. Linia czerwona wykonuje podobne oscylacje, których amplituda spada od niecałej jednej czwartej „pi” (niecałe 45°) w okolicach środka pomiędzy znacznikami do wartości około czterokrotnie mniejszej przy końcu impulsu. Do końca wykresu następuje ledwie zauważalny spadek tej amplitudy. W miarę biegu animacji znaczniki oddalają się od siebie. Odpowiednio wzrasta szerokość impulsu z oscylacjami linii niebieskiej, a jego środek pozostaje nieruchomy i przypada na chwilę około dziesięć sekund. Maksymalna wartość amplitudy oscylacji pozostaje stała, ale ich częstotliwość maleje. Wraz ze wzrostem szerokości impulsu linii niebieskiej (i maleniem częstotliwości jej oscylacji) rośnie stopniowo maksymalna amplituda osiągana przez linię czerwoną w trakcie trwania impulsu na linii niebieskiej. Po drugim czerwonym znaczniku, czyli po zakończeniu wymuszania, amplituda oscylacji linii czerwonej na przemian rośnie i maleje, wykazując jednak ogólną tendencję wzrostową w miarę wzrostu szerokości impulsu na linii niebieskiej. W obszarze odległości między znacznikami od sześciu do siedmiu sekund dwukrotnie dochodzi do sytuacji, w której amplituda oscylacji linii czerwonej przekracza „pi” radianów (180°), a wykres „alfa” wychodzi poza skalę na swojej osi rzędnych, po czym powraca. W każdym przypadku takiego wyjścia i powrotu, oscylacje o amplitudzie zbliżonej do „pi” radianów (180°) mają kształt bardziej rozciągnięty niż typowa sinusoida. Dalszy wzrost szerokości impulsu powoduje powolny spadek maksymalnej amplitudy czerwonej linii w obrębie impulsu, do wartości około jednej dziesiątej „pi” radianów (około 20°) na końcu animacji, przy odległości między znacznikami równej około dwanaście sekund. Za drugim znacznikiem amplituda oscylacji czerwonej linii także maleje i osiąga wartość praktycznie równą zero przy odległości między znacznikami równej około dziesięć sekund.

Model 3.3' – opis animacji

W porównaniu z modelem 3.3 jedyną zmianą w wykresach jest rozszerzony zakres osi rzędnych na górnym wykresie. Obejmuje on obszar kątów „alfa” od minus trzydziestu „pi” do plus trzydziestu „pi” radianów. Odpowiada to możliwości wykreślenia do piętnastu pełnych obrotów wahadła w każdą stronę. Po uruchomieniu animacji przebieg zmian dolnego wykresu jest taki jak w animacji 3.3. Odległość między znacznikami, czyli praktyczna szerokość impulsu oscylacji, zmienia się od około trzech sekund do około dwunastu sekund. Oscylacje linii czerwonej są praktycznie niezauważalne ze względu na rozszerzoną skalę, poza obszarem odległości między znacznikami od sześciu do siedmiu sekund. Przy odległości między znacznikami około sześciu i trzech dziesiątych sekundy pojawia się wykres, w którym czerwona linia, po wykonaniu kilku oscylacji o rosnącej amplitudzie wychodzi pod linię minus „pi” radianów (minus 180°). Następnie wykonuje pięć zstąpień o kształcie zbliżonym do schodków, w tym trzy ostatnie już za drugim znacznikiem, po ustaniu wymuszania. Do końca wykresu linia wykonuje oscylacje wokół wartości minus dziesięć „pi” (minus 1800°). Amplituda tych oscylacji maleje w stopniu ledwo zauważalnym. Wykresy na kolejnych klatkach są bardzo podobne w charterze. W kolejnych dwudziestu dwóch klatkach pojawiają się kolejne sytuacje, w których linia czerwona wykonuje schodkowe zstąpienia, maksymalnie jedenaście, po czym oscyluje wokół ustalonej wartości kąta aż do końca wykresu. W obrębie tych dwudziestu dwóch klatek odległość pomiędzy znacznikami wzrosła niezauważalnie, znacznie mniej niż o jedną dziesiątą sekundy. Podobne zachowania wykazuje czerwona linia na dziewiętnastu kolejnych klatkach, przy odległości między znacznikami równej niecałe siedem sekund. Na różnych wykresach dochodzi do jednego, dwóch lub trzech schodkowych wstąpień. W każdej takiej sytuacji, do końca wykresu czerwona linia oscyluje wokół ustalonej wartości kąta aż do końca wykresu.

Model 3.4 – opis animacji

W porównaniu z modelem 3.3 oraz 3.3’ jedyną zmianą w wykresach jest zakres na osi rzędnych wykresu górnego. Obejmuje on obszar kątów „alfa” od minus sześciu „pi” do plus sześciu „pi” radianów. Odpowiada to możliwości wykreślenia do trzech pełnych obrotów wahadła w każdą stronę. Po uruchomieniu animacji przebieg zmian dolnego wykresu jest taki jak w animacji 3.3. Odległość między znacznikami, czyli praktyczna szerokość impulsu oscylacji, zmienia się od około trzech sekund do około dwunastu sekund. Oscylacje linii czerwonej są niewielkie (ze względu na skalę), poza obszarem odległości między znacznikami od sześciu do siedmiu sekund. Przy odległości między znacznikami około sześciu i trzech dziesiątych sekundy pojawia się wykres, w którym czerwona linia, po wykonaniu kilku oscylacji o rosnącej amplitudzie wychodzi pod linię minus „pi” radianów (minus 180°). Następnie wykonuje trzy zstąpienia o kształcie zbliżonym do schodków, z których ostatnie ma miejsce za drugim znacznikiem, po ustaniu wymuszania. Linia wychodzi poza obszar wykresu przed osiągnięciem czasu równego piętnaście sekund. Takie zachowania, zarówno ze zstąpieniami jak i z wstąpieniami, można odnotować na kilkunastu wykresach. Nieco rzadziej występują wykresy, na których linia czerwona wykonuje tylko jedno lub dwa wstąpienia bądź zstąpienia w obrębie przedziału czasu objętego znacznikami. Wtedy, już poza tym przedziałem, czerwona linia wykonuje oscylacje, o ustalonej amplitudzie, bliskiej „pi” radianów, wokół ustalonej wartości kąta: plus‑minus dwa „pi” lub plus‑minus cztery „pi” radianów aż do końca wykresu