Warto przeczytać

W tym e‑materiale skupimy się przede wszystkim na rozwiązywaniu różnorodnych zagadnień związanych z zasadą zachowania energii mechanicznej. Szczegółowe informacje o zasadzie zachowania energii mechanicznej znajdziesz w e‑materiale „O czym mówi zasada zachowania energii mechanicznej?”. Tutaj przypomnimy tylko podstawowe zależności.

Energia mechaniczna ciała jest sumą jego energii kinetycznej i potencjalnej. Przypomnijmy zatem podstawowe wzory opisujące te składniki.

Energia kinetyczna ciała o masie $m$ poruszającego się w danym układzie odniesienia z prędkością $v$ dana jest wzorem $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$.

Energia potencjalna grawitacji ciała o masie $m$ znajdującego się w pobliżu powierzchni planety (lub księżyca, gwiazdy czy innego ciała niebieskiego), gdzie występuje przyspieszenie grawitacyjne o wartości $g$, dana jest wzorem: $E_p=mgh$. Wielkość $h$ oznacza odległość ciała od punktu, w którym przyjmujemy, że energia potencjalna jest równa zeru (np. powierzchnia planety).

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że jeśli w układzie nie działają siły zewnętrzneSiły zewnętrznesiły zewnętrzne, to całkowita energia mechaniczna musi być stała. W sytuacji, gdy siły zewnętrzne są obecne (np. siła tarcia), całkowita energia mechaniczna układu zmienia się o wartość równą pracy działających sił. Aby wyznaczyć pracę danej siły, posługujemy się wzorem:

gdzie $\overrightarrow{F}$ jest wektorem działającej siły, a $\overrightarrow{r}$ – wektorem przemieszczenia. W przypadku, gdy ciało porusza się po linii prostej, wartość wektora przemieszczenia $r$ jest równa drodze przebytej przez ciało.

Przykład 1: jazda na deskorolce

Podczas wykonywania akrobacji, deskorolkarz wjeżdża na nachyloną pod kątem 8° do poziomu rampę. Ile wynosiła początkowa prędkość deskorolkarza, jeśli do momentu zatrzymania się przejechał drogę $s$ = 4 m wzdłuż rampy? Zaniedbaj tarcie. Wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2².

Analiza zadania

Przed wjazdem na rampę, deskorolkarz posiadał energię kinetyczną związaną z prędkością początkową. Podczas wjeżdżania, jego energia kinetyczna malała kosztem energii potencjalnej grawitacji. W momencie zatrzymania w najwyższym punkcie, deskorolkarz posiadał tylko energię potencjalną.

Rozwiązanie:

Rampę wraz z danymi z zadania przedstawiono na Rys. 1.:

RPPGOzjnWiqr9

Rys. 1. Rysunek przedstawia człowieka wjeżdżającego na rampę. Rampę narysowano w postaci trójkąta prostokątnego z kątem nachylenia stoku w stosunku do poziomu oznaczono małą literą alfa. Człowiek na deskorolce został na rysunku przedstawiony w dwóch fazach swojego ruchu. W pierwszej fazie deskorolkarz porusza się w kierunku równi po płaskim terenie z prędkością początkową przedstawioną zieloną strzałką wektora i oznaczoną małą czarną literą v z indeksem dolnym w postaci liczby zero ze znaczkiem wektora skierowanym w prawo ponad nią. Po wjechaniu na równię deskorolkarz zwalnia aż dociera do wysokości maksymalnej oznaczonej dużą czarną literą H z indeksem dolnym w postaci małych liter „max”, przy którym, w fazie drugiej, się zatrzymuje. Długość przebytej drogi na stoku rampy oznaczono małą niebieską literą s.

Podczas ruchu deskorolkarza, spełniona musi być zasada zachowania energii: początkowa energia kinetyczna $E_{k0}$ musi być równa końcowej energii potencjalnej $E_{pk}$:

Z rysunku wynika ponadto, że maksymalną wysokość deskorolkarza z przebytą przez niego drogą po rampie możemy powiązać za pomocą prostej relacji trygonometrycznej:

Łącząc ze sobą obydwa wyrażenia, otrzymamy:

Przykład 2: diabelska pętla

W parkach rozrywki często występują atrakcje zwane „diabelskimi pętlami”. Diabelska pętla to kolejka wagonikowa, której tor ułożony jest w kształcie zamkniętej pętli. Wagonik jadący po takim torze wykonuje pełne okrążenie pętli, co oznacza, że w pewnym momencie użytkownicy wagonika „wiszą głowami w dół”. Zakładając, że tarcie wagonika o szyny można zaniedbać, wyznacz, z jakiej wysokości powinien zjeżdżać początkowo spoczywający wagonik, aby bezpiecznie przejechać przez pętlę. Przyjmij, że pętla jest okręgiem o promieniu $R$ = 10 m, a wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2².

RtHzlWho2IrPd

Rys. 2. Zdjęcie poglądowe przedstawia diabelską pętlę. Diabelska pętla – kolejka górska francuskiej firmy Soquet położona w parku Legendia w Chorzowie przeniesiona w 2007 roku z parku American Park of Adventure w Wielkiej Brytanii. Jest pierwszym roller coasterem w Polsce posiadającym inwersje.

Analiza zadania

Na potrzeby naszego zadania, diabelską pętlę możemy przedstawić w następujący, uproszczony sposób:

R1NLbZM1rWP0B

Rys. 3. Rysunek przedstawia ruch ciała po diabelskiej pętli. Diabelska pętla została narysowana czarną ciągłą linią w postaci równi pochyłej, która przechodzi w pętlę przedstawioną w postaci okręgu. Po diabelskiej pętli porusza się ciało przedstawione w postaci prostokąta pomalowanego na niebiesko w dwóch pozycjach. Pierwsze położenie znajduje się na równi pochyłej na wysokości oznaczonej dużą czarną literą H równą znakowi zapytania. Jest to pozycja, z której ciało rozpoczyna ruch. Drugie położenie przedstawione na rysunku to położenie pod szczytem pętli znajdującym się na wysokości oznaczonej jako czarne dwa razy duża litera R, czyli równej dwukrotności promienia pętli. W pozycji tej ciało nie spada w dół ponieważ siła grawitacji przedstawiona na rysunku czerwonym wektorem skierowanym w dół oznaczonym dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery g, jest równoważona przez siłę odśrodkową przedstawioną na rysunku zielonym wektorem skierowanym w górę oznaczonym dużą zieloną literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery o. Siły te mają tą samą wartość, punkt przyłożenia i kierunek oraz przeciwne zwroty.

Przyjmując, że na powierzchni Ziemi energia potencjalna ciała jest równa zeru, możemy stwierdzić, że na górze toru wagonik posiada tylko energię potencjalną grawitacji, związaną z wysokością $H$. Z kolei, w najwyższym punkcie pętli wagonik posiada energię kinetyczną oraz energię potencjalną grawitacji, związaną z wysokością $2R$.

Rozważmy teraz zagadnienie ruchu wagonika w nieinercjalnym układzie odniesienia z nim związanym. Jeśli wagonik ma utrzymać się na pętli, to siła odśrodkowaSiła odśrodkowasiła odśrodkowa $\overrightarrow{F_o}$ skierowana „na zewnątrz toru” musi równoważyć siłę ciężkości $\overrightarrow{F_g}$ skierowaną „do toru”. Wartość siły odśrodkowej dana jest wzorem $F_o=\frac{m{v}^2}{R}$. Jeśli zatem wyznaczymy prędkość w najwyższym punkcie toru, będziemy mogli określić wartość siły odśrodkowej.

Rozwiązanie:

Zgodnie z zasadą zachowania energii, energia potencjalna wagonika na szczycie toru musi być równa energii mechanicznej w najwyższym punkcie pętli:

Dzięki temu możemy wyznaczyć prędkość ciała w najwyższym punkcie pętli, w zależności od początkowej wysokości $H$:

Zapiszmy teraz warunek utrzymania wagonika w torze:

Podstawmy do tego warunku wyznaczony wzór na prędkość:

Komentarz:

Zwróćmy uwagę, że zadanie to rozwiązaliśmy bez udziału tarcia i oporu powietrza. W rzeczywistości, w tak zaprojektowanej pętli wagonik nie byłby w stanie dotrzeć do najwyższego punktu pętli ani utrzymać się na torze!

Przykład 3: wahadło balistyczne

Wahadło balistyczne jest urządzeniem służącym do badania prędkości pocisków. Jego zasadę działania przedstawiono na Rys. 4. Poruszający się z prędkością $\overrightarrow{v}$ pocisk o masie $m$ wbija się w blok wahadła o masie $M$ i zatrzymuje się w nim. Po uderzeniu, wahadło odchyla się na wysokość $\Delta h$. Zakładając, że 20% początkowej energii kinetycznej pocisku zostaje przekształcone w ciepło, wyznacz wartość prędkości pocisku, jeśli $m$ = 5 g, $M$ = 3 kg, $\Delta h$ = 4 cm. Przyjmij wartość $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2².

RqS16tkTcemSi

Rys. 4. Rysunek przedstawia wahadło balistyczne. Wahadło składa się z klocka, przedstawionego na rysunku w postaci prostokąta pomalowanego na niebiesko, zawieszonego na dwóch niebieskich równoległych do siebie niciach. W nieporuszające się wahadło uderza szary pocisk o prędkości oznaczonej czarnym wektorem skierowanym na rysunku poziomo w prawo od pocisku w kierunku klocka oznaczoną małą czarną literą v ze znaczkiem wektora skierowanym w prawo nad nią. Zderzenie pocisku z wahadłem powoduje, że wahadło odchyla się od pionu zwiększając wysokość, na której znajduje się klocek. Poziomy, na których znajdował się klocek wahadła na początku i na końcu zaznaczono na rysunku przerywanymi czerwonymi liniami. Różnicę poziomów oznaczono zieloną dwustronną pionową strzałką pomiędzy nimi oznaczoną zielonymi literami:: dużą literą delta i małą literą h.

Analiza zadania

W układzie pocisk‑wahadło przed zderzeniem całkowita energia mechaniczna jest równa energii kinetycznej pocisku $E_{k\left(pocisk\right)}$. Po uderzeniu wahadło wychyla się, co oznacza, że środek masy układu podnosi się do góry i rośnie jego energia potencjalna $E_{p(uk\it{ł}ad)}\hspace{-2pt}.$ Dodatkowo, część energii kinetycznej zostaje przekształcona w ciepło $Q$, na skutek działania sił tarcia.

Rozwiązanie:

Zasada zachowania energii mechanicznej przyjmie następującą postać:

Wiemy dodatkowo, że ${Q=0,2E}_{k\left(pocisk\right)}$, co pozwala nam zapisać:

Przykład 4: transmisyjny mikroskop elektronowy

Nowoczesne mikroskopy, zwane transmisyjnymi mikroskopami elektronowymi, wykorzystują wiązkę elektronów do obrazowania wnętrza badanej próbki. Dzięki takim mikroskopom możliwe jest wykonanie zdjęcia pojedynczym atomom! Wiązka elektronów przed zderzeniem z próbką musi zostać odpowiednio przyspieszona – odbywa się to za pomocą pola elektrycznego. Przyrost energii kinetycznej elektronu w polu elektrycznym można wyrazić za pomocą wzoru:

gdzie $e$ = 1,6 · 10Indeks górny -19^-19 C jest ładunkiem elektronu, a $U$ – napięciem przyspieszającym elektrony. Wiedząc, że elektrony są emitowane ze źródła z prędkością $v_0$ = 10Indeks górny 4⁴ m/s, oblicz, jaką prędkość uzyskają po przejściu przez przyspieszające pole elektryczne wytworzone za pomocą napięcia $U$ = 40 kV. Zaniedbaj efekty relatywistyczneEfekty relatywistyczneefekty relatywistyczne. Ile razy ta prędkość jest większa od początkowej prędkości elektronu? Masa elektronu wynosi $m$ = 9,1 · 10Indeks górny -31^-31 kg.

RSqQlngs0nFCg

Rys. 5. Rysunek przestawia zdjęcie transmisyjnego mikroskopu elektronowego. Mikroskop wygląda jak jasno-szara pionowa rura o zmiennej średnicy zamknięta na górze. Na całej jej długości widać różne pokrętła a na dole okulary do podglądu próbki przypominające wyglądem lornetkę oraz pojemnik na próbkę.

Analiza zadania

Elektrony opuszczające źródło posiadają pewną początkową energię kinetyczną $E_{k0}$. Pod wpływem pracy pola elektrycznego (wynoszącej $W=eU$), wartość tej energii silnie wzrasta do wartości $E_{kk}$.

Rozwiązanie:

Zasadę zachowania energii w tym przypadku możemy zapisać jako:

Na tej podstawie możemy określić końcową prędkość elektronu:

Prędkość ta jest 11 900 razy większa od początkowej prędkości elektronu!

Komentarz

Uzyskana prędkość stanowi ok. 40% prędkości światła w próżni. Oznacza to, że w przypadku tego zadania powinniśmy wziąć pod uwagę poprawki relatywistyczne. Dokładnie wyznaczona prędkość elektronu będzie z tego powodu mniejsza i będzie wynosiła ok. 5 · 10Indeks górny 7⁷ m/s, co jest wartością 5000 razy większą od początkowej wartości prędkości elektronu.

Przykład 5: ruch z tarciem

Łyżwiarz sunie po lodzie nie odpychając się od niego. Wiedząc, że prędkość początkowa łyżwiarza wynosiła $v_0$ = 6 m/s, a współczynnik tarcia łyżew o lód wynosi $\mu$ = 0,05, wyznacz, po przebyciu jakiej drogi całkowita energia mechaniczna łyżwiarza zmaleje o połowę.

Analiza zadania

Sunący łyżwiarz posiada pewną energię kinetyczną $E_{k0}$. Praca działającej na niego siły tarcia powoduje stopniowe przekształcanie tej energii w ciepło i dźwięk.

Rozwiązanie:

Zasadę zachowania energii w tym przypadku możemy zapisać jako:

gdzie $W_T$ jest pracą siły tarcia. Ponieważ wektor siły tarcia jest równoległy do wektora przemieszczenia, wartość siły tarcia dana jest wzorem:

Wiemy dodatkowo, że energia kinetyczna łyżwiarza ma zmaleć o połowę, zatem $E_{kk}=0,5E_{k0}$. Łącząc ze sobą wszystkie wyrażenia otrzymamy:

Słowniczek