Warto przeczytać

Powtórzmy najbardziej ogólną definicję histogramu; mówi ona, że histogram to wykres o specyficznych osiach.

Oś odciętych (oś pozioma)

Specyfika osi odciętych histogramu polega na tym, że przedstawione są na niej przedziały liczbowe, a nie pojedyncze liczby. Te przedziały pełnią rolę argumentów funkcji (też specyficznej), którą obrazujemy za pomocą histogramu. 
Rys. 1. pokazuje oś odciętych histogramu, na którym przedstawiono rozkład długości skoków z pierwszej serii zawodów narciarskich Pucharu Świata na Wielkiej Krokwi, rozegranych 25 stycznia 2020 r.

R1PrliOuOCEJq

Rys. 1. Rysunek przestawia poziomą oś histogramu wyskalowaną w metrach i opisaną jako długość skoku. Zawiera wartości w zakresie od stu pięciu do stu czterdziestu czterech metrów z podziałką w postaci przedziałów szerokości trzy metry. W kolejnych przedziałach umieszczono szare słupki wykresu. I tak, pomiędzy 105 i 108 jest najniższy słupek. W przedziałach 108 - 111, 111 - 114 oraz 138 - 144 słupki średniej wysokości. Natomiast w pozostałych przedziałach znajdują się słupki najwyższe.

Dziedziną tego histogramu jest zbiór trzynastu przedziałów. Mają one jednakową szerokość, po trzy metry. Zakres histogramu - od 105 m do 144 m - odpowiada rozpiętości długości skoków oddanych przez zawodników. Najkrótszy skok to 105,5 m, najdłuższy to 140 m. 
Przedziały te umieszczone są w nieprzypadkowej kolejności i mają wspólne granice.

Jak w każdym wykresie, oś odciętych histogramu opisujemy nazwą lub symbolem przedstawianej zmiennej oraz jej jednostką.

Oś rzędnych (oś pionowa)

Specyfika osi rzędnych histogramu polega na tym, że przedstawione są na niej liczby całkowite. Mówią nam one, ile razy w zbiorze danych pojawiła się wartość należąca do każdego z przedziałów, pokazanych w dziedzinie histogramu. 
Rys. 2. pokazuje oś rzędnych histogramu tego samego rozkładu skoków, o którym już była mowa.

R1FbR5K6NXsZY

Rys. 2. Rysunek przedstawia pionową oś histogramu, która jest bezwymiarowa. Opisano ją jako liczbę zliczeń. Przedstawia wartości w zakresie od zera do dwudziestu pięciu zliczeń z podziałką co jedno zliczenie. Na osi X, w początku układu współrzędnych, przedstawiono liczbę 105 a następnie 108. W tym przedziale widać szary słupek odpowiadający jednemu zliczeniu. Następnie powyżej 108 widać fragment drugiego słupka, odpowiadający dwóm zliczeniom.

Przy tak dobranej skali histogram jest „przygotowany” na sytuację, w której maksymalnie 25 zawodników oddało skoki o długości mieszczących się w jednym z przedziałów. Można też odczytać, że w pierwszym przedziale, <105 m; 108 m) - czyli od 105 m (włącznie) do 108 m (wyłącznie) - pojawił się tylko jeden skok. Mówimy, że w tym przedziale pojawiło się jedno zliczenie.

Podsumujmy, co zrobiliśmy. Cały zakres długości skoków pierwszej serii, obejmujący skok najkrótszy (105,5 m) i najdłuższy (140 m) podzieliliśmy na równe przedziały (po 3 m), a następnie wyliczyliśmy, ile skoków znalazło się w każdym przedziale. 
Na tej podstawie utworzyliśmy wykres, w którym na osi poziomej są kolejne przedziały długości skoków, a na pionowej - liczby skoków w tych przedziałach. 
Taki wykres, przedstawiony na Rys. 3., to właśnie histogram.

R1Fn2rBSQb6OV

Rys. 3. Rysunek przestawia wykres słupkowy, czyli histogram. Układ współrzędnych X Y posiada bezwymiarową oś pionową. Opisano ją jako liczbę zliczeń. Prezentuje wartości od zera do dwudziestu pięciu z podziałką co jedno zliczenie. Oś poziomą wyskalowano w metrach, opisano jako długość skoku. Przedstawia wartości od stu pięciu do stu czterdziestu czterech z podziałką w postaci przedziałów o szerokości równej trzy metry. W każdym przedziale znajduje się jedna szara kolumna wykresu. Pierwsza kolumna, między 105 i 108 ma wartość jeden. Słupki między 108 i 111 oraz 111 i 114 odpowiadają dwóm zliczeniom. Między 114 i 117 siedmiu, 117 i 120 trzem, 120 i 123 dwunastu, 123 i 126 pięciu, 126 i 129 czterem, 129 i 132 trzem, 132 i 135 oraz 135 i 138 pięciu, 138 i 141 dwóm, a powyżej 141 zeru.

Dobór szerokości przedziałów i ich liczby

To umiejętność, która przychodzi waz z doświadczeniem. Przepis jest prosty: przedziały zbyt szerokie - zbyt mała ich liczba -  nie pozwalają rozpoznać nawet podstawowych cech zbioru danych. Można by rzec, że wkładamy wtedy do jednej szufladki wyniki nazbyt różne. 
Ale przedziały zbyt wąskie - jest ich wtedy za dużo - też nie prowadzą do przejrzystego obrazu. Tu ryzykujemy, że zbliżone wyniki trafią do różnych szufladek, a każda z nich będzie stanowiła oddzielną „kategorię”. 
Przyjrzyj się raz jeszcze histogramowi pokazującemu rozkład skoków (Rys. 3.). Łatwo znajdziesz pięć nazw dla poszczególnych przedziałów; uzupełnij taką listę: „outsiderzy”, ... , ... , ... ,”czołówka”. Możesz więc przypuszczać, że odbiorca Twego histogramu też sobie wyobrazi takie nazwy. Czy zadowala Cię pięć kategorii? Uważasz, że powinno ich być mniej? Więcej? Co o tym pomyśli Twój odbiorca? To Twój histogram, Ty ponosisz za niego odpowiedzialność, więc do Ciebie należy wybór szerokości i liczby przedziałów.

Nabierz odrobinę doświadczenia.

Polecam Ci metodę prób i błędów. Przejrzyj pięć wersji tego samego histogramu, przedstawione na Rys. 4a. Różnią się one liczbą przedziałów oraz ich szerokością. Określ samodzielnie, z którego histogramu najlepiej odczytujesz odpowiedzi na takie pytania:

• Na ile najlepszy skoczek jest lepszy od pozostałych? Czy walka o podium była zacięta, czy jeden zawodnik zdeklasował wszystkich pozostałych?

• Gdzie sytuuje się najliczniejsza grupa wyników? Blisko wyników lepszych, pośrodku, czy bliżej wyników gorszych? Żargonowo mówimy, że „rozkład wyników może być symetryczny albo asymetryczny”.

• A może są dwie grupy wyników dalekich od siebie, stosunkowo licznie reprezentowanych? Żargonowo o takiej sytuacji mówimy, że „rozkład jest dwugarbny”.

• A może odwrotnie: nie ma żadnej grupy wyników zauważalnie częściej występującej niż inne? Żargonowo w takiej sytuacji mówimy, że „rozkład jest płaski”.

• A może zależy Ci na wyeksponowaniu innej właściwości rozkładu długości skoków?

Nabierz więcej doświadczenia.

Tym razem Twoim celem jest zaprezentowanie rozkładu wyników 2. serii skoków w tych samych zawodach, na tle wyników serii pierwszej. Zastanów się, jakie różnice należy uwypuklić i dobierz do tego odpowiednią parę histogramów spośród zaproponowanych w Rys. 4b.
A może dojdziesz do wniosku, że lepiej byłoby przedstawić te wyniki za pomocą innej organizacji histogramów?

Histogram jest narzędziem uniwersalnym, stosowanym nie tylko w fizyce.

Z pomocą histogramów możemy przedstawić graficznie bardzo wiele różnych rozkładów i uzyskać z nich bardzo ciekawe informacje. Weźmy za przykład histogram ocen z fizyki w Twojej klasie. Od razu dowiesz się, gdzie jest Twoje miejsce, czy w czołówce, czy w ogonie? A czy w analogicznym histogramie, ale z polskiego albo historii jest podobnie? Klasa jest rzeczywiście bardzo dobrym przykładem do konstruowania ciekawych histogramów. Można skonstruować histogram wzrostu uczniów, ale można też histogram spóźnień na lekcje, czy nieobecności. To samo można zrobić dla innej klasy. Uogólniając, widzisz, że w ten sposób można uzyskać bardzo ciekawy obraz funkcjonowania szkoły.

Przykład

Przyjmijmy, że dwie klasy, 1A i 1B, o tym samym profilu, w tej samej szkole średniej, uzyskały na koniec roku jednakową średnią ocen dla ucznia: 4,00. To niezły wynik. Czy klasy te są pod tym względem jednakowe? Chciałoby się powiedzieć, że tak. Przyjrzyj się jednak histogramom rozkładu średniej ocen w każdej z klas (Rys. 5.). Czy rzeczywiście klasy te są podobne w kwestii wyników w nauce? Czy nauczycieli oraz wychowawców tych klas czeka taka sama praca z uczniami w klasie drugiej?

R1RUwmnnxvgzm

Rys. 5a. Histogram przedstawia rozkład średnich ocen uzyskanych przez uczniów w klasie pierwszej A. Na wykresie widać układ współrzędnych X Y z osią pionową bezwymiarową, opisaną jako liczba zliczeń. Zawiera ona wartości od zera do 10 z podziałką co 1. Oś pozioma prezentuje średnią ocen uczniów. Zawiera wartości od 2,6 do 5,8 z podziałką w postaci przedziałów o szerokości równej 0,4. W przedziałach od 3,0 do 5,0 znajdują się szare kolumny wykresu o różnych wysokościach.

RMGpiyqbOnToy

Rys. 5b. Histogram przedstawia rozkład średnich ocen uzyskanych przez uczniów w klasie pierwszej B. Na wykresie widać układ współrzędnych X Y z osią pionową bezwymiarową, opisaną jako liczba zliczeń. Zawiera ona wartości od zera do 10 z podziałką co 1. Oś pozioma prezentuje średnią ocen uczniów. Zawiera wartości od 2,6 do 5,8 z podziałką w postaci przedziałów o szerokości równej 0,4. We wszystkich przedziałach znajdują się szare kolumny wykresu o różnych wysokościach.

R1YCEEez79HlH

Rys. 5c. Rysunek zawiera umieszczone jeszcze raz, tym razem obok siebie, dwa histogramy przedstawiające rozkład średnich ocen uzyskanych przez uczniów w klasach pierwszej A po stronie lewej i pierwszej B po stronie prawej. W ten sposób łatwiej je porównać ze sobą.

R1K0NR7SR5ODh

Rys. 5d. Rysunek zawiera rozkład średnich ocen uzyskanych przez uczniów w klasach pierwszej A i pierwszej B na jednym histogramie. Na rysunku widać układ współrzędnych XY z osią pionową bezjednostkową, opisaną jako liczba zliczeń, zawierającą wartości od zera do dziesięciu z podziałką co jeden oraz osią poziomą także bezjednostkową, opisaną jako średnia ocen, zawierającą wartości od dwa kropka sześć do pięć kropka osiem z podziałką w postaci przedziałów o szerokości równej zero kropka cztery. W każdym przedziale znajdują się po dwie kolumny wykresu, ciemnoszara dla klasy pierwszej A i jasnoszara dla klasy pierwszej B. Kolumny dla klasy pierwszej A są następujące: pierwsza kolumna ma wartość zero, druga cztery, trzecia siedem, czwarta osiem, piąta dziewięć, szósta dwa, siódma zero, a ósma zero. Kolumny dla klasy pierwszej B są następujące: pierwsza kolumna ma wartość dwa, druga osiem, trzecia trzy, czwarta trzy, piąta siedem, szósta pięć, siódma jeden, a ósma jeden.

Inne przykłady

Zakłady transportu miejskiego mogą uzyskiwać informacje o rozkładach czasu jazdy autobusów czy tramwajów w różnych porach dnia i roku, na poszczególnych liniach. Mogą w ten sposób zorientować się, kiedy i jak „rozciągają się” czasy jazdy i odpowiednio zareagować, wprowadzając modyfikacje w rozkładach jazdy i trasach kursowania pojazdów. Podobnie można zrobić dla kolei, analizując wielkości opóźnień.

Histogramy świetnie nadają się do zilustrowania zmian klimatycznych. Mogą przedstawiać, dla kolejnych lat, liczbę dni z określonym poziomem zachmurzenia, z określonym poziomem opadów atmosferycznych, z określoną temperaturą itp.

Histogram, w każdej niemal dziedzinie życia, może dostarczyć ciekawych informacji, niedostępnych w inny sposób. Czy potrafisz wymyślić zastosowanie histogramu w dziedzinie pozornie odległej od badań ilościowych, np. w językoznawstwie czy literaturoznawstwie?

Słowniczek