Punktem symetrycznym do punktu $A=\left(3,-2\right)$ względem prostej $y=0$ jest punkt $A\text{'}=\left(3,2\right)$.

Punktem symetrycznym do punktu $A=\left(-1,4\right)$ względem prostej $y=x$ jest punkt $A\text{'}=\left(4,-1\right)$.

Punktem symetrycznym do punktu $A=\left(2,-3\right)$ względem prostej $y=-2$ jest punkt $A\text{'}=\left(2,-1\right)$.

Punktem symetrycznym do punktu $A=\left(4,1\right)$ względem prostej $y=-2x$ jest punkt $A\text{'}=\left(\frac{-16}{5},\frac{-13}{5}\right)$.

Wyznaczymy współrzędne punktu $A^{\text{'}}$ symetrycznego do punktu $A=\left(-2,1\right)$ względem prostej $y=2x-1$.

Rozwiązanie:

Punkt $A^{\text{'}}$ leży na prostej prostopadłej do prostej $y=2x-1$.

Równanie prostej prostopadłej jest postaci: $y=-\frac{1}{2}x+b$.

Ponieważ punkt $A=\left(-2,1\right)$ należy do prostej prostopadłej, podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: $y=-\frac{1}{2}x$.

Wyznaczamy teraz punkt przecięcia tych dwóch prostych: $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x\\ y=2x-1\end{array}\right.$ i oznaczmy jako $S$.

Punkt przecięcia ma współrzędne $S=\left(\frac{2}{5},-\frac{1}{5}\right)$.

Zauważmy, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $A{A}^{\text{'}}$.

Oznaczmy współrzędne punktu $A\text{'}=\left(x,y\right)$.

Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy równania:

$\frac{-2+x}{2}=\frac{2}{5}$ i $\frac{1+y}{2}=-\frac{1}{5}$.

Z równań otrzymujemy, że punkt $A\text{'}=\left(\frac{14}{5},-\frac{7}{5}\right)$.

Wyznaczymy współrzędne punktu $A\text{'}$ symetrycznego do punktu $A=\left(4,2\right)$ względem prostej $y=-x+4$.

Rozwiązanie:

Punkt $A^{\text{'}}$ leży na prostej prostopadłej do prostej $y=-x+4$.

Prosta prostopadła jest postaci: $y=x+b$.

Punkt $A=\left(4,2\right)$ należy do prostej prostopadłej, rozwiązując powyższe równanie dla współrzędnych punktu $A$, otrzymujemy równanie $y=x-2$.

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia tych prostych: $\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+4\end{array}\right.$ i oznaczamy jako $S$.

Otrzymujemy, że $S=\left(3,1\right)$.

Z własności punktów symetrycznych względem prostej wiemy, że odległość punktu $A$ od $S$ jest taka sama jak odległość punktu $A\text{'}$ od $S$.

Wprowadźmy oznaczenie: $A\text{'}=\left(x,x-2\right)$.

Wykorzystamy równanie: $\left|SA\right|=\left|SA\text{'}\right|$.

Po podstawieniu współrzędnych punktów otrzymujemy, że:

$\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2}$.

Po przekształceniu otrzymujemy równanie: $x^2-6x+8=0$, którego pierwiastkami są liczby $x_1=2$ oraz $x_2=4$.

Odpowiadające im wartości to $y_1=0$ oraz $y_2=2$. Zauważmy, że drugi punkt jest taki sam, jak punkt $A$, zatem $A\text{'}=\left(2,0\right)$.

Wyznaczymy równanie prostej, względem której punkty $A=\left(3,2\right)$ i $B=\left(-1,-1\right)$ są symetryczne.

Rozwiązanie:

Prosta, względem której te punkty są symetryczne jest prostopadła do prostej $AB$.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ wynosi $a=\frac{-1-2}{-1-3}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$, zatem dla prostej prostopadłej $a=-\frac{4}{3}$.

Prosta ta przechodzi przez punkt, który jest środkiem odcinka $AB$.

Wobec tego $S_{AB}=\left(\frac{3-1}{2},\frac{2-1}{2}\right)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$.

Po podstawieniu współrzędnych tego punktu do równania $y=-\frac{4}{3}x+b$ otrzymujemy, że:

$\frac{1}{2}=-\frac{4}{3}·1+b$

Zatem $b=\frac{11}{6}$.

Szukana prosta jest postaci $y=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{6}$.

odwzorowanie geometryczne, które każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje taki punkt $P\text{'}$, że oba punkty leżą po przeciwnych stronach tej prostej, na prostej prostopadłej i w równych odległościach od tej prostej