Przeczytaj
Warto przeczytać
Wahadłem matematycznymWahadłem matematycznym nazywamy zawieszone na nieważkiej nitce ciało, które ma niewielkie rozmiary w porównaniu z długością nitki - możemy je więc traktować jako punkt materialny. Sznurek mocujemy nieruchomo i pozwalamy wahadłu wykonywać ruch po łuku okręgu w pewnej ustalonej płaszczyźnie.
Zatem, jeśli zawiesimy małą kulkę o średnicy 2 cm na metrowej lince, to zbudujemy wahadło matematyczne (Rys. 1a.). Wahadłem matematycznym nie będzie natomiast kula o średnicy jednego metra zawieszona na pięciocentymetrowym haku (Rys. 1b.). W tym przypadku ciężko byłoby kogoś przekonać, że zastąpienie kuli punktem materialnym jest sensownym przybliżeniem.
Dopóki amplituda drgań wahadła matematycznego jest dużo mniejsza od jego długości, okres drgańokres drgań wahadła obliczamy ze wzoru
gdzie jest długością wahadła, zaś jest przyspieszeniem ziemskim. Mówimy wtedy, że drgania wahadła mają charakter izochronicznyizochroniczny, tzn. okres drgań nie zależy od amplitudy drgań. Jest to jednak przybliżenie.
Teoria przewiduje, że im dłuższe jest wahadło, tym wolniej drga, tj. okres drgań jest większy. Postać zależności przedstawiona powyższym wzorem mówi, że aby zwiększyć okres drgań wahadła dwukrotnie, należałoby wydłużyć je czterokrotnie.
Spróbujmy wykonać wykres przewidywanej zależności okresu od długości wahadła, . Jeśli opisujemy wahadło znajdujące się na powierzchni Ziemi, wtedy . Wstawiając to do wyrażenia na otrzymujemy
więc
Sens dzielenia pod pierwiastkiem jest taki, że w wyniku daje wartość długości w metrach, ale bez jednostki. Podobnie należy rozumieć sekundę po prawej stronie wzoru.
Czy potrafisz narysować wykres takiej funkcji? Jeśli tak, to wspaniale! Jeśli nie, zawsze możesz wykonać tabelkę jej wartości w arkuszu kalkulacyjnym. My natomiast zrobimy to inaczej. Podnosząc ostatnie wyrażenie obustronnie do kwadratu, otrzymamy
Wykres to prawe ramię paraboli, ponieważ (Rys. 2a.). Zauważmy teraz, że zamieniając osie tego wykresu w taki sposób, jak pokazano na Rys. 2b., dostajemy wykres zależności , czyli ten, o który nam chodziło.
Wiemy już więc, jaka jest przewidywana teoretycznie zależność okresu wahadła matematycznego od jego długości. Nie pozostaje nam nic innego, jak zweryfikować tę zależność doświadczalnie! W tym celu można wykonać następujący eksperyment: na wydruku lub papierze milimetrowym przygotowujemy teoretycznie przewidywany wykres zależności okresu od długości - podobnie, jak było to pokazane powyżej. Następnie przywiązujemy nitkę do ciężarka i montujemy wykonane w ten sposób wahadło na statywie. Mierzymy długość wahadła, czyli odległość od punktu zaczepienia nici na statywie do środka masy ciężarka. Później wprawiamy wahadło w drgania o możliwie małej amplitudzie i mierzymy okres jego ruchu przy pomocy stopera. Powtarzamy tę procedurę dla kilku długości wahadła. W ten sposób uzyskujemy punkty pomiarowe, które umieszczamy na przygotowanym wcześniej wykresie. Im więcej tych punktów tym bardziej wiarygodne będą nasze wnioski.
Aby ściśle zweryfikować zgodność przewidywania teoretycznego z doświadczeniem, należy umieścić na wykresie punkty pomiarowe wraz z odcinkami niepewności pomiarowych (zob. e‑materiał pt. Jak prawidłowo konstruować wykresy?). Jeśli krzywa teoretyczna przebiega obok punktów pomiarowych, ale przechodzi przez wszystkie odcinki niepewności, wówczas mamy pewność, że wyniki pomiarów potwierdzają zależność teoretyczną.
Słowniczek
(ang.: isochronism)- właściwość układu drgającego polegająca na niezależności okresu drgań od amplitudy.
(ang.: period of oscillation) – czas trwania jednego pełnego drgania.
(ang.: simple pendulum) – wahadło, które składa się z nieważkiej i nierozciągliwej linki, na której wisi ciężarek będący masą punktową.