Jeśli chcemy zapisać w postaci sumy iloczyn lub wystarczy wykonać odpowiednie mnożenie. Jednak w przypadku większej liczby czynników, mnożenie staje się kłopotliwe. Warto więc zastanowić się, czy nie istnieje jakaś uniwersalna metoda na określenie wyrazów sumy, którą otrzymamy.
Zastosowanie trójkąta Pascala
Przyjrzyjmy się kolejnym zapisom wyrażenia ( – liczba naturalna) w postaci sumy.
RtHSbyosWA1N2
Zauważmy, że w każdym ze składników suma wykładników liczb i jest równa potędze, do której podniesiony jest dwumian .
W otrzymanej sumie pierwszy wykładnik, do którego podniesiona jest liczba jest równy potędze rozważanego dwumianu. Każdy kolejny wykładnik jest mniejszy o od poprzedniego, aż do ostatniego, który jest równy . Wykładniki liczby zmieniają się w odwrotnej kolejności – wzrastają od do wykładnika, do którego podniesiony jest rozważany dwumian.
Aby znaleźć rozwinięcie szóstej potęgi dwumianu , wypiszmy najpierw współczynniki liczbowe poprzednich rozwinięć.
REjfJJvH5rqMR
Zauważmy, że skrajne liczby w uzyskanym „trójkącie” to jedynki. Liczby w kolejnych wierszach powstają poprzez dodanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza stojącego wyżej.
Wyznaczamy w ten właśnie sposób współczynniki rozwinięcia wyrażenia .
RS9xQLVBdR5Mr
Pierwszy współczynnik rozwinięcia to: Drugi współczynnik to: Trzeci współczynnik to: Czwarty współczynnik to: Piąty współczynnik to: Szósty współczynnik to: Siódmy współczynnik to:
Możemy więc zapisać następny wzór.
Aby znaleźć rozwinięcia kolejnych potęg dwumianu, należy uzupełnić następne wiersze otrzymanej trójkątnej tablicy, zwanej trójkątem Pascala.
RYvPc4oDKLuzn
Stąd:
Zapiszemy nasze spostrzeżenia w postaci twierdzenia.
–ta potęga sumy
Twierdzenie: –ta potęga sumy
Dla każdej liczby naturalnej i liczb ,
gdzie: liczby c0, c1, c2, …, cn-1, cn są kolejnymi liczbami w n–tym wierszu trójkąta Pascala.
Wniosek:
Przyjmijmy, że kolejne wyrazy rozwinięcia potęgi a+bn to x0, x1, x2, …, xn i c0, c1, …, cn, to odpowiadające im współczynniki z n–tego wiersza trójkąta Pascala.
Wtedy:
xk+1=ckan-k·bk
gdzie: 0≤k≤n.
Przykład 1
Zapiszemy w postaci sumy wyrażenie 1+t4.
Rozwiązanie:
R1ZuxLb6c3n9F
Korzystamy z powyższego twierdzenia, odczytując potrzebne współczynniki w 4 wierszu trójkąta Pascala.
1+t4=14+4·13·t+6·12t2+4·1·t3+t4
1+t4=1+4t+6t2+4t3+t4
Przykład 2
Znajdziemy piąty wyraz rozwinięcia potęgi 2+26.
Rozwiązanie:
Współczynnik liczbowy stojący przy piątym wyrazie rozwinięcia potęgi a+b6 odczytujemy z trójkąta Pascala.
RlMUnyIxUknCH
Jest to liczba 15.
W rozwinięciu dwumianu wykładniki potęg liczby a zmniejszają się, a liczby b zwiększają się.
Zatem iloczyn potęg liczb a i b będzie równy a6-4·b4=a2b4. W konsekwencji wyraz piąty będzie równy 15a2b4.
W rozpatrywanym przypadku a=2, b=2.
Stąd wyraz piąty to:
15·22·24=30·16=480
Zastosowanie dwumianu Newtona
Uzupełnianie kolejnych wierszy trójkąta Pascala nie jest trudne, ale gdybyśmy chcieli zapisać w postaci sumy na przykład a+b100, znalezienie współczynników liczbowych zajęło by nam sporo czasu. Istnieją więc wzory pozwalające na szybkie wyznaczenie takich liczb. My skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona, zwanego też dwumianem Newtonadwumian Newtonadwumianem Newtona.
Wzór ten jest podobny, do poznanego już wcześniej wzoru zgodnie, z którym potęgę dwumianu x+yn można rozwinąć w sumę jednomianów. Kolejne współczynniki liczbowe w dwumianie Newtona są równe kolejnym współczynnikom pozyskanym z trójkąta Pascala, ale zapisane są w nieco inny sposób.
Dwumian Newtona
Twierdzenie: Dwumian Newtona
Jeżeli x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n jest liczbą naturalną dodatnią, to
x+yn=n0xn+n1xn-1y+n2xn-2y2+…+nnyn
Aby móc korzystać z dwumianu Newtona, przypomnijmy, że nk (czytamy: n nad k lub n po k) to tzw. symbol Newtona.
nk=n!k!n-k! dla 0≤k≤n
Przypomnijmy jeszcze, że zapis t! (czytamy: t silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych dodatnich, nie większych od t.