Przeczytaj

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń

Przekształcając wzór $P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ na prawdopodobieństwo warunkowe dwóch zdarzeń $A$ , $B$ takich, że $P (B) > 0$ otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń $P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A / B)$ .

Jeśli $P (A) > 0$ to możemy również zapisać $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B / A)$ .

Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń

Niech $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ . Wtedy:

$P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A / B)$ , jeśli $P (B) > 0$

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B / A)$ , jeśli $P (A) > 0$

Przykład 1

Z talii $52$ kart wyciągamy kolejno dwie karty bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą asami.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że pierwsza wylosowana karta będzie asem,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że druga wylosowana karta będzie asem.

Wtedy $A \cap B$ to zdarzenie polegające na tym, że pierwsza i druga wylosowana karta będą asami.

W talii złożonej z $52$ kart są cztery asy, zatem:

$P (A) = \frac{4}{52}$

Po wylosowaniu asa, w talii zostało tylko $51$ kart, w tym trzy asy, stąd:

$P (B / A) = \frac{3}{51}$

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń $A$ i $B$ jest równe:

$P (A \cap B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{1}{221}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów w kolejnych losowaniach jest równe $\frac{1}{221}$ .

Przykład 2

Łucznik trafia w tarczę z prawdopodobieństwem $0, 4$ , przy czym jest $60 %$ szansy na to, że jeśli trafi w tarczę, to trafi w środek tarczy. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w środek tarczy.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w środek tarczy,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że strzelec trafi w tarczę.

$P (B) = 0, 4$

$P (A / B) = 0, 6$

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:

$P (A \cap B) = 0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że strzelec trafi w środek tarczy jest równe $0, 24$ .

Zdarzenia niezależne

Zawodnicy $A$ i $B$ rzucają piłkami do kosza. Wynik rzutu zawodnika $A$ nie zależy od wyniku rzutu zawodnika $B$ i odwrotnie. Rezultaty rzutów są od siebie niezależne.

Jeżeli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i zajście zdarzenia $A$ nie zależy od zajścia zdarzenia $B$ , to o takich zdarzeniach mówimy, że są niezależne.

Wówczas $P (A) = P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ , czyli $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Zdarzenia losowe niezależne

Definicja: Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Z powyższej definicji wynika, że aby sprawdzić, czy dane zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy zachodzi równość $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Przykład 3

Spośród liczb naturalnych od $1$ do $50$ losujemy jedną liczbę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $8$ ,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez $10$ .

Zauważmy, że liczba $40$ jest podzielna zarówno przez $8$ , jak i przez $10$ , więc przypuszczamy, że zdarzenia $A$ i $B$ nie są niezależne.

Sprawdzimy nasze przypuszczenia, obliczając prawdopodobieństwa odpowiednich iloczynów.

Zdarzeniu $A$ sprzyjają liczby:

$8$ , $16$ , $24$ , $32$ , $40$ , $48$ .

Zatem: $P (A) = \frac{6}{50}$ .

Zdarzeniu $B$ sprzyjają liczby:

$10$ , $20$ , $30$ , $40$ , $50$ .

Zatem: $P (B) = \frac{5}{50}$ .

Zdarzeniu $A \cap B$ sprzyja liczba $40$ .

Zatem: $P (A \cap B) = \frac{1}{50}$ .

Wtedy:

$P (A) \cdot P (B) = \frac{6}{50} \cdot \frac{5}{50} = \frac{30}{2500} \neq \frac{1}{50}$

Czyli: $P (A) \cdot P (B) \neq P (A \cap B)$

Zdarzenia $A$ i $B$ nie są niezależne. O takich zdarzeniach mówimy, że są zależne.

Przykład 4

W koszyku jest $10$ grzybów, w tym $6$ dobrych i $4$ robaczywe. Z koszyka wypadły dwa grzyby. Sprawdzimy, czy niezależne są zdarzenia:

$A$ – wypadł co najwyżej jeden grzyb dobry,
$B$ – wypadł co najwyżej jeden grzyb robaczywy.

Z koszyka wypadły dwa grzyby spośród dziesięciu, które znajdowały się w koszyku.

$|Ω| = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) = 45$

Zdarzeniu $A$ sprzyja wypadnięcie dwóch grzybów robaczywych lub jednego dobrego i jednego robaczywego.

$|A| = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 6 + 24 = 30$

Zdarzeniu $B$ sprzyja wypadnięcie dwóch dobrych grzybów lub wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.

$|B| = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 15 + 24 = 39$

Zdarzeniu $A \cap B$ sprzyja wypadnięcie jednego grzyba dobrego i jednego robaczywego.

$|A \cap B| = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 24$

Wynika z tego, że $P (A) \cdot P (B) = \frac{30}{45} \cdot \frac{39}{45}$ i $P (A \cap B) = \frac{24}{45}$ .

Czyli: $P (A) \cdot P (B) \neq P (A \cap B)$ .

Zdarzenia $A$ i $B$ są zależne.

Korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego, definicję zdarzeń niezależnych można określić nieco inaczej.

Dwa zdarzenia losowe niezależne

Definicja: Dwa zdarzenia losowe niezależne

Niech $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (B) > 0$ . Zdarzenia $A$ i $B$ nazywamy niezależnymi, gdy $P (A / B) = P (A)$ .

Niech $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (A) > 0$ . Zdarzenia $A$ i $B$ nazywamy niezależnymi, gdy $P (B / A) = P (B)$ .

Przykład 5

Na przystanku Zakładowa – Fabryczna stają dwa miejskie autobusy – autobus linii $64$ i autobus linii $75$ . Autobusy te jeżdżą niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii $64$ jest równe $0, 6$ . Prawdopodobieństwo, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie autobus linii $75$ jest równe $0, 3$ . Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z tych autobusów.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że nadjedzie co najmniej jeden autobus,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że nie nadjedzie żaden autobus.

Najpierw obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ .

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii $64$ jest równe $1 - 0, 6 = 0, 4$ .

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nie nadjedzie autobus linii $75$ jest równe $1 - 0, 3 = 0, 7$ .

Zatem: $P (B) = 0, 4 \cdot 0, 7 = 0, 28$ .

Zauważmy, że zdarzenia $A$ i $B$ są zdarzeniami przeciwnymi.

Czyli:

$P (A) = 1 - P (B)$

$P (A) = 1 - 0, 28 = 0, 72$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych pięciu minut nadjedzie co najmniej jeden z autobusów jest równe $0, 72$ .

Przykład 6

Zdarzenia $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ są niezależne i $P (A) = \frac{1}{3}$ i $P (B) = \frac{3}{5}$ . Obliczymy $P (A \cup B)$ .

Przekształcamy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, uwzględniając równość

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B)$

$P (A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{11}{15}$

Podamy teraz ważne twierdzenie, określające niektóre własności zdarzeń niezależnych. Udowodnimy jedną z podanych równości. Pozostałe równości pozostawiamy Tobie do udowodnienia.

Zdarzenia

A

B

są niezależne

Twierdzenie: Zdarzenia

A

B

są niezależne

Jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, to również niezależne są zdarzenia:

$A$ i $B'$

$A'$ i $B$

$A'$ i $B'$

Dowód

Udowodnimy ostatni z tych związków. Mamy wykazać, że:

P (A^{'} \cap B^{'}) = P (A^{'}) \cdot P (B^{'})

Skorzystamy ze wzorów de Morgana i ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

P (A^{'} \cap B^{'}) = P [{(A \cup B)}^{'}] = 1 - [P (A) + P (B) - P (A \cap B)]

P (A' \cap B') = 1 - P (A) - P (B) + P (A \cap B)

P (A' \cap B') = 1 - P (A) - P (B) + P (A) \cdot P (B)

P (A' \cap B') = [1 - P (A)] \cdot [1 - P (B)] = P (A') \cdot P (B')

Przykład 7

Dwaj strzelcy strzelają do tej samej tarczy. Prawdopodobieństwo, że pierwszy trafi w tarczę jest równe $0, 7$ , a prawdopodobieństwo, że drugi trafi w tarczę jest równe $0, 6$ . Prawdopodobieństwa trafienia w tarczę przez każdego ze strzelców są zdarzeniami niezależnymizdarzenia losowe niezależnezdarzeniami niezależnymi.

Obliczymy prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie raz trafiona.

Oznaczmy:
$A$ – pierwszy strzelec trafi w tarczę,
$B$ – drugi strzelec trafi w tarczę,
$C$ – tarcza zostanie trafiona dokładnie raz.

Zdarzenie $C$ zajdzie, gdy pierwszy strzelec trafi, a drugi nie trafi lub odwrotnie – pierwszy strzelec spudłuje, a drugi trafi.

Na podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy, że zdarzenia $A$ i $B'$ oraz $A'$ i $B$ są niezależne.

Zatem:

$P (C) = 0, 7 \cdot (1 - 0, 6) + (1 - 0, 7) \cdot 0, 6 = 0, 46$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie trafiona dokładnie raz jest równe $0, 46$ .

Pojęcie niezależności dwóch zdarzeń losowych można uogólnić na dowolną skończoną ich liczbę. My ograniczymy się tylko do trójki zdarzeń losowych.

Trzy zdarzenia losowe niezależne

Definicja: Trzy zdarzenia losowe niezależne

Dane są zdarzenia $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ , $C \subset Ω$ . Zdarzenia $A$ , $B$ i $C$ nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ , $A$ i $C$ , $B$ i $C$ są niezależne i $P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$ .

Zatem trzy zdarzenia są niezależne (lub stanowią niezależny układ zdarzeń), jeśli:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ i
$P (B \cap C) = P (B) \cdot P (C)$ i
$P (A \cap C) = P (A) \cdot P (C)$ i
$P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$ .

Przykład 8

Rzucamy jednocześnie trzema monetami. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że na pierwszej monecie wypadł orzeł,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że na drugiej monecie wypadł orzeł,
$C$ – zdarzenie polegające na tym, że na trzeciej monecie wypadł orzeł.

Wtedy:

$A \cap B \cap C$ – zdarzenie polegające na tym, że na każdej monecie wypadł orzeł.

Zdarzenia $A$ , $B$ , $C$ są wzajemnie niezależne i $P (A) = P (B) = P (C) = 0, 5$ .

Zatem:

$P (A \cap B \cap C) = P (A) \cdot P (B) \cdot P (C)$

$P (A \cap B \cap C) = 0, 5 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 125$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że na każdej monecie wypadnie orzeł jest równe $0, 125$ .

Słownik

zdarzenia losowe niezależne

zdarzenia $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Wprowadzenie

Film samouczek

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń

Zdarzenia niezależne

Słownik