Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

W e‑materiale „Rozkład sił działających na ciało umieszczone na równi pochyłej” oraz „Jak opisać ruch ciał na równi pochyłej?” przedstawiliśmy, w jaki sposób należy opisywać ruch ciał na równi pochyłej w sytuacji, gdy nie występuje tarcie. Zakładaliśmy zatem, że powierzchnia równi pochyłej jest idealnie gładka, a ponadto nie występuje opór powietrza. Aby nieco urealnić nasze rozumowanie, sprawdzimy, co dzieje się, gdy dopuścimy istnienie tarciatarcietarcia. Siły działające w takim przypadku na ciało znajdujące się na równi o kącie nachylenia α przedstawiliśmy na Rys. 1.

RtdPVYhcdXNsg
Rys. 1. Siły działające na ciało znajdujące się na równi pochyłej

Na umieszczony na równi klocek działają trzy podstawowe siły: siła ciężkości Fg , pochodząca od oddziaływania grawitacyjnego ciała na równi z Ziemią, siła reakcji równi Fr, będąca reakcją na nacisksiła naciskunacisk N klocka na powierzchnię równi oraz siła tarcia T.

Na rysunku widoczne są dodatkowo składowe siły ciężkości, równoległa i prostopadła do powierzchni równi. Jak wyznaczyć wartości tych składowych? Konstrukcja ta również została przedstawiona na Rys. 1. Siła ciężkości jest przekątną prostokąta, którego boki są prostopadłe i równoległe do powierzchni równi, a jeden z wierzchołków tego prostokąta umieszczony jest w punkcie przyłożenia siły ciężkości. Jak widać z rysunku, długości boków tego prostokąta (i jednocześnie wartości składowych) wyznaczyć można, wykorzystując proste relacje trygonometryczne między bokami i kątem α:

sin α=FgFgFg=Fg sin α=mg sin α
cos α =FgFgFg=Fg cos α =mg cos α

Siła naciskusiła naciskuSiła nacisku klocka na podłoże N pochodzi od prostopadłej składowej siły ciężkości działającej na klocek i jest jej równa co do wartości. Zastanówmy się teraz, jak określić cechy siły tarcia T. Zgodnie z definicją, jest ona skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu ciała, a jej wartość jest równa wartości siły nacisku klocka na podłoże  pomnożonej przez bezwymiarowy współczynnik tarciawspółczynnik tarciawspółczynnik tarcia:

T=fN.

Ponieważ wartość siły nacisku jest równa Fg, możemy zapisać:

T=fmg cos α .

Aby opisać ruch ciała w kierunku równoległym do powierzchni równi, zwróćmy uwagę, że w tym kierunku działają na nie dwie siły: składowa równoległa siły ciężkości (zwana też siłą zsuwającą Fs) oraz siła tarcia. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, możemy zatem zapisać:

ma=Fg-T=mg sin α -fmg cos α
a=g sin α -fg cos α

Gdy występuje tarcietarcietarcie, ciało na równi nadal poruszać się będzie ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem zależnym od kąta nachylenia równi. Wartość tego przyspieszenia będzie jednak mniejsza niż w przypadku ruchu bez tarcia. Zwróć ponadto uwagę, że dla pewnych wartości kąta α przyspieszenie będzie równe zeru, co oznacza, że ciało nie zacznie poruszać się w dół równi. Sytuację taką rozważymy w jednym z zadań.

W ogólności, gdyby na ciało na równi działało więcej sił, należy każdą z nich rozłożyć na składowe prostopadłe i równoległe do równi. Znajomość składowych równoległych (w tym siły tarcia) pozwoli określić przyspieszenie ciała. Aby wyznaczyć siłę tarcia, niezbędna jest jednak znajomość składowych prostopadłych. Będą wnosić wkład do łącznej siły nacisku – a więc i do siły tarcia.

Przykład

Rozważmy ruch sanek początkowo spoczywających na szczycie zbocza o kącie nachylenia 30° i wysokości h = 4 m. Spróbujmy określić, jak długo sanki będą zjeżdżały na dół, jeśli współczynnik tarciawspółczynnik tarciawspółczynnik tarcia o zbocze wynosi f = 0,1.

Dane i szukane:

Dane:

kąt nachylenia zbocza α = 30°

wysokość zbocza h = 4 m

współczynnik tarcia f = 0,1

przyspieszenie ziemskie g = 9,81 m/sIndeks górny 2

Szukane:

czas ruchu sanek na zboczu tr = ?

Analiza zadania:

Zbocze występujące w naszym przykładzie oraz siły działające na sanki w kierunku ich ruchu przedstawiliśmy na Rys. 2.

RVqrGHOIWGydm
Rys. 2. Parametry zbocza występującego w zadaniu

Sanki będą poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem składowej zsuwającej siły ciężkości oraz siły tarcia. Aby ustalić, ile czasu zajmie im zjechanie na dół, musimy w pierwszej kolejności ustalić jaka będzie wartość przyspieszenia i jaką drogę sanki przebędą. Aby wyznaczyć przyspieszenie, musimy określić wartości działających sił.

Rozwiązanie:

Składowa równoległa siły ciężkości wynosi Fg=mg sin α . Z kolei, wartość siły tarcia opisana jest wzorem T=fN=fmg cos α . Zapiszmy równanie wynikające z II zasady dynamiki Newtona:

ma=Fg-T=mg sin α -fmg cos α ,
a=g sin α -fg cos α ,
a=g( sin α -f cos α ).

Sanki przebywają drogę wzdłuż powierzchni równi s. Aby wyznaczyć jej wartość, posłużymy się prostymi relacjami trygonometrycznymi w trójkącie prostokątnym:

sin α =hss=h sin α .

Ruch sanek jest ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. Możemy zapisać zatem:

s=12at2t=2sa.

Do wyrażenia opisującego czas ruchu wstawmy teraz otrzymane wcześniej wyrażenia opisujące drogę i przyspieszenie, a następnie podstawmy odpowiednie wartości i jednostki:

t=2sa=2h sin α g( sin α -f cos α )=2hg sin α ( sin α -f cos α )=24m9,81ms212(12-0,132)1,99s
[mms2=s]

Odpowiedź:

Czas zjeżdżania sanek to ok. 1,99 s.

Komentarz:

Zwróć uwagę, że czas ruchu sanek jest bardzo krótki. Wynika to z dużego kąta nachylenia stoku przyjętego w tym zadaniu do obliczeń. Rzeczywiste górki posiadają nachylenie nie przekraczające zwykle 10°. Np. dla kąta nachylenia 8°, czas zjazdu wyniósłby ok. 12,1 s.

Słowniczek

współczynnik tarcia
współczynnik tarcia

(ang.: friction coefficient) wielkość charakteryzująca stykające się ze sobą powierzchnie.

tarcie
tarcie

(ang.: friction) zjawisko uniemożliwiające lub utrudniające przesuwanie się względem siebie dwóch powierzchni.

siła nacisku
siła nacisku

(ang.: normal force) siła z jaką ciało działa na daną powierzchnię wzdłuż prostej normalnej (prostopadłej) do tej powierzchni.