Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

• $S_n=n·a_1$, gdy $q=1$

• $S_n= a_1·\frac{1-q^n}{1-q}$, gdy $q\ne 1$

W osiemnastowiecznym rosyjskim podręczniku do matematyki L. Magnickiego można znaleźć takie oto zadanie:

Pewien handlarz sprzedał konia za $\mathit{156}$ rubli. Ale wieśniak nabywca wkrótce po tej sprzedaży rozmyślił się i począł molestować handlarza, żeby wziął konia z powrotem, a jemu oddał pieniądze, gdyż koń nie jest wart tak wielkiej sumy. Handlarz wówczas zaproponował mu inną transakcję.

- Jeśli uważasz, że koń jest za drogi, to ci go daję darmo, a ty kup tylko ode mnie hufnale w jego podkowach. Zapłacisz mi tanio: za pierwszy hufnal połuszkę, za drugi hufnal – $\mathit{2}$ połuszki, za trzeci – kopiejkę itd.

Wieśniak kombinując sobie, że nie może wypaść chyba za wszystkie hufnale razem więcej niż jakie $\mathit{10}$ rubli, chętnie zgodził się na taką propozycję. Czy wieśniak ten oszukał się i na ile rubli?

Nim rozwiążemy zadanie, kilka przydatnych informacji:

• Hufnal to duży gwóźdź służący do przybijania podków koniom.

• Koń ma cztery podkowy. W każdej podkowie jest sześć hufnali.

• Połuszka to rosyjska moneta warta $\frac{1}{4}$ kopiejki.

• Rubel to $100$ kopiejek, czyli $400$ połuszek.

Wiemy już, że koń ma cztery podkowy, a w każdej jest sześć hufnali, zatem wieśniak za hufnale powinien zapłacić kolejno:

$1$, $2$, $2^2$, $2^3$, $...$, $2^{23}$ połuszek.

Aby określić kwotę, jaką powinien zapłacić wieśniak, należy obliczyć sumę $24$–wyrazowego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=1$ i ilorazie $q=2$.

$1+2+2^2+2^3+...+2^{22}+2^{23}=1·\frac{1-2^{24}}{1-2}$

$1+2+2^2+2^3+...+2^{22}+2^{23}=2^{24}-1$

$1+2+2^2+2^3+...+2^{22}+2^{23}=16777215$

Kwotę wyrażoną w połuszkach zamieniamy na kwotę wyrażoną w rublach – wynik zaokrąglimy do całości.

$16777215:400\approx 41943$

Odpowiedź:

Wieśniak powinien zapłacić ponad $41943$ ruble, a więc dużo więcej niż $10$ rubli.

Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$, to $n$–ty wyraz tego ciągu określony jest wzorem:

Na przyjęciu nudzący się gość zaczął składać serwetkę na pół, następnie znowu na pół, raz jeszcze na pół, itd. Serwetka ma grubość zaledwie $\frac{1}{16} \mathrm{mm}$. Gdyby udało mu się złożyć w ten sposób serwetkę $50$ razy, to jak myślisz jaką grubość miałby powstały w ten sposób „stosik”?

Zauważmy, że początkowa grubość serwetki oraz grubości „stosiku” po kolejnych złożeniach, tworzą ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $a_1=\frac{1}{16}$, a iloraz $q=2$.

Obliczamy grubość „stosiku” po $50$ złożeniu, czyli pięćdziesiąty pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_{51}=\frac{1}{16}\cdot 2^{50}=2^{46} \left[\text{mm}\right]$

$2^{46}=70368744177664$

$1 \mathrm{km}=1000000 \mathrm{mm}$

Zatem $2^{46} \mathrm{mm}\approx 70000000 \mathrm{km}$

Miejmy nadzieje, że znudzonemu gościowi nie udało się złożyć aż $50$ razy serwetki, bo utworzony w ten sposób „stosik” byłby ponad $180$ razy wyższy niż odległość z Ziemi do Księżyca!

Biegacz ma do pokonania długą drogę. W czasie pierwszej godziny biegu pokonał aż połowę całej trasy. Jednak z upływem czasu był coraz bardziej zmęczony i w ciągu drugiej godziny pokonał $\frac{1}{4}$ trasy, w ciągu trzeciej godziny $\frac{1}{8}$ całej trasy, w ciągu czwartej godziny $\frac{1}{16}$ trasy, itd.

Jaka część drogi została mu jeszcze do pokonania po sześciu godzinach biegu?

R5PiPV8mPIFkt

Rysunek przedstawia poziomą grubą kreskę reprezentującą drogę i narysowanego powyżej biegacza. Poniżej narysowane są cztery odcinki zakończone obustronnie grotami. Każdy odcinek jest o połowę krótszy od poprzedniego. Wszystkie narysowane są na tym samym poziomie, jeden po drugim. Ich długości to kolejno od lewej: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$. Nad trasą biegacza zaznaczono z kolei półkola o średnicach takich, jak opisane odcinki.

Obliczymy najpierw, jaką część całej trasy pokonał biegacz w ciągu sześciu godzin. Należy obliczyć:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$.

Zauważmy, że składniki sumy to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym $a_1=\frac{1}{2}$, $q=\frac{1}{2}$.

Obliczamy sumę $6$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_6=\frac{1}{2}·\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^6}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$

Obliczamy, jaka część trasy została jeszcze do pokonania.

$1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$

Odpowiedź:

Biegaczowi pozostało do pokonania $\frac{1}{64}$ całej trasy.

Ile to jest $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}...$?

Dla efektu można wypisać jeszcze więcej składników. Wtedy wydaje się, że liczba którą otrzymamy będzie bardzo duża, albo wręcz przeciwnie – bardzo mała. A jak jest naprawdę?

Składniki to kolejne wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $q=\frac{1}{2}$ i pierwszym wyrazie równym $a_1=\frac{1}{2}$. Sumę tę możemy obliczyć z odpowiedniego wzoru (którego kawalerowie na pewno nie znali):

$S=a_1·\frac{1}{1-q}$

$S=\frac{1}{2}·\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$

Albo też posłużyć się sprytnie wykonanym rysunkiem kwadratu o boku $1$.

RRbgmQcdESwSB

Rysunek przedstawia duży kwadrat o boku o długości jeden, który przedzielono wszerz na pół. Dolna połowa jest prostokątem zaznaczonym na niebiesko i opisana jako $\frac{1}{2}$. Górna została podzielona wzdłuż na pół. Lewa część jest kwadratem opisanym jako $\frac{1}{4}$, prawa część jest podzielona na pół. Kolejne połowy są dzielone według opisanego schematu. Podział ten zmierza w kierunku nieskończenie małych części figury.

I wtedy nie potrzebujemy niezrozumiałych dla laika wzorów, aby zadziwić znajomych. Od razu widać, że suma jest równa $1$.

Piłkę rzucono z wysokości $270 \mathrm{cm}$. Piłka odbijając się, za każdym razem osiąga $\frac{2}{3}$ wysokości osiągniętej przy poprzednim odbiciu. Obliczymy, jaką łącznie długość ma droga (w pionie), którą przebyła piłka do piątego odbicia.

• Do pierwszego odbicia piłka przebyła drogę długości $270 \mathrm{cm}$.

• Następnie piłka poszybowała w górę na wysokość
  $270·\frac{2}{3}=180$ centymetrów. I spadła z tej wysokości.

• Teraz piłka odbija się na wysokość $180·\frac{2}{3}=120$ centymetrów i z tej wysokości spada.

• I kolejne odbicie – tym razem na wysokość $120·\frac{2}{3}=80$ centymetrów.

• $...$

Zauważmy, że wyznaczone liczby

$270$, $180$, $120$, $80$, $...$

tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q=\frac{2}{3}$ i pierwszym wyrazie $270$.

Aby obliczyć łączną długość drogi, musimy uwzględnić ruch piłki w górę i w dół.

RfY5uq3mnTXBd

Ilustracja przedstawia ruch piłki w górę i w dół. Na dole rysunku narysowano zieloną grubą linię symbolizującą płaszczyznę, od której odbija się piłka. Pokazano także pięć poziomów, na które wznosi się piłka. Zilustrowano to w ten sposób, że jedną piłkę narysowano tuż na płaszczyzną, drugą piłkę nad pierwszą na konkretnej wysokości. I powtórzono ten schemat pięciokrotnie. Od lewej strony narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość $270$ centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości, a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano pionową strzałkę z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość $180$ centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość $120$ centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość $80$ centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Po prawo narysowano taki sam schemat, piłka druga wznosi się tu na najniższą wysokość, przy czym tej wysokości na rysunku nie określono. Tu również znajdują się dwie pionowe przeciwstawne strzałki pomiędzy piłkami.

Obliczamy długość drogi $s$ przebytej przez piłkę – skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznegosuma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznegosumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$s=270+2·\frac{2}{3}·270 ·\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^4}{1-\frac{2}{3}}$

$s=270+\frac{4}{3}·\frac{3}{1}·270·\left(1-\frac{16}{81}\right)$

$s=270+1080·\frac{65}{81}=270+ 866\frac{2}{3}$

$s=1136\frac{2}{3} \mathrm{cm}$

Odpowiedź:

Piłka przebyła drogę długości $1136\frac{2}{3} \mathrm{cm}$.

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

• $S_n=n·a_1$, gdy $q=1$

• $S_n= a_1·\frac{1-q^n}{1-q}$ gdy $q\ne 1$

jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$, to $n$–ty wyraz tego ciągu określony jest wzorem: