Warto przeczytać

Jakim ruchem może poruszać się bryła sztywna?

Najkrótsza odpowiedź na tytułowe pytanie brzmi: bryła sztywna może poruszać się ruchem postępowym lub ruchem obrotowym. Każdy z tych ruchów może występować niezależnie od drugiego. Bryła może też wykonywać oba ruchy jednocześnie. W tym przypadku mogą wystąpić ciekawe powiązania pomiędzy tymi ruchami.

Ruch postępowy

Opis ruchu postępowego bryły sztywnej jest bardzo zbliżony do opisu ruchu punktu materialnego. Polega on na ustaleniu układu współrzędnych i na podaniu w nim położenia wybranego punktu bryły. Najczęściej podajemy zależność od czasu położenia środka masy O bryły $\vec{r}_{śm}(t)$ (Rys. 1). Położenie $\vec{r}_P(t)$ dowolnego innego punktu P bryły różni się od $\vec{r}_{śm}(t)$ o wektor, którego kierunek, zwrot i wartość są stałe w czasie. Tak więc wektory prędkości tych punktów są jednakowe, choć są zaczepione w różnych punktach.

RoceIZD84ZGsX

Rys. 1. Rysunek przedstawia trzy kule koloru niebieskiego w trójwymiarowym układzie współrzędnych (x; y; z). Trójwymiarowość w płaszczyźnie xy pokazano za pomocą pionowych jasnobłękitnych odcinków i odcinków równoległych do osi x poprowadzonych ukośnie w lewo w płaszczyźnie xy. Na powierzchni każdej kuli narysowano cztery linie ciągłe o kształcie łuku elipsy, będące rzutami fragmentów okręgów, których płaszczyzny są poziome. Linia odpowiadająca okręgowi o największym promieniu jest w każdej kuli uzupełniona linią przerywaną – domyka łuk ciągły do pełnej elipsy. Środki kul oznaczone są czarnym punktem; nad środkiem każdej kuli, na jej powierzchni umieszczono taki sam punkt. Na obwodzie kuli naniesiono czerwony punkt, na prawo i w dół od środka każdej. Jedną z kul umieszczono po lewej stronie rysunku, w pobliżu początku układu współrzędnych. Środek tej kuli dodatkowo oznaczono wielką literą O, a czerwony punkt na jej powierzchni czerwoną wielką literą P. Z początku układu współrzędnych wyprowadzono dwie ukośne strzałki: czarna biegnie w prawo w górę i kończy się w punkcie O; czerwona biegnie także w prawo w górę, pod nieco mniejszym kątem do poziomu i kończy się w punkcie P. Strzałki opisano – czarną symbolem wektora mała litera r z indeksem dolnym małymi literami śm, czerwoną symbolem wektora mała litera r z indeksem dolnym wielka litera P. Pozostałe dwie kule umieszczono po prawej stronie rysunku, jedna pod drugą. Dolna kula jest nieco jaśniejsza niż górna. Środki kul połączono czarną pionową linią z cienką strzałką wewnątrz. Czerwone punkty na powierzchni kul połączono czerwoną pionową linią z cienką strzałką wewnątrz. Linie te mają jednakowe długości. Ze środka górnej kuli wyprowadzono czarną pionową strzałkę skierowaną w dół, wzdłuż czarnej linii, z opisem wektor mała litera v z indeksem dolnym małymi literami śm. Z czerwonego punktu na górnej kuli wyprowadzono czerwoną pionową strzałkę skierowaną w dół, wzdłuż czerwonej linii, z opisem wektor mała litera v z indeksem dolnym wielka litera P. Długości obu strzałek są jednakowe i stanowią niecałą połowę długości cienkich linii.

Gdy ruch bryły jest prostoliniowy, tory punktów są równoległe. Przykładem takiej sytuacji może być upuszczona piłka, spadająca na ziemię.

Ruch obrotowy

Opis ruchu obrotowego polega na określeniu osi obrotu. Może ona być wyznaczona właściwościami bryły lub warunkami, w jakich odbywa się obrót. W wielu sytuacjach mamy możliwość wyboru osi obrotu. Często wybieramy oś przechodzącą przez środek masy bryły, ale w wielu przypadkach przyjęcie innej osi obrotu ułatwia opis.

Każdemu punktowi bryły przypisujemy odległość $d$ od osi obrotu. Każdy punkt, dla którego $d>0$, porusza się po okręgu. Środek tego okręgu leży na osi obrotu, a jego płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu. Skoro bryła jest sztywna, to prędkości kątowe $\omega$ wszystkich punktów są jednakowe. Odległości $d_P$ i $d_Q$ różnych punktów P i Q mogą natomiast być różne. Wtedy punkty takie krążą wokół osi z prędkościami liniowymi $v_P=\omega\cdot d_P$ oraz $v_Q=\omega\cdot d_Q$ o różnych wartościach. Tak zachowują się punkty na powierzchni piłki leżącej na stole i wprawionej w ruch obrotowy (Rys. 2.)

R1DqDrLKUL2Vi

Rys. 2. Rysunek przedstawia kulę koloru jasnoniebieskiego w trójwymiarowym układzie współrzędnych (x; y; z). Trójwymiarowość w płaszczyźnie xy pokazano za pomocą pionowych jasnobłękitnych odcinków i odcinków równoległych do osi x poprowadzonych ukośnie w lewo w płaszczyźnie xy. Środek kuli oznaczono czarną kropką i opisano wielką literą O. Przez punkt O oraz przez dwa punkty leżące na kuli nad nim oraz pod nim poprowadzono pionową linię ciągłą poza kulą i przerywaną w jej wnętrzu. Wokół górnego ciągłego odcinka narysowano linię krzywą w kształcie eliptycznym, nie w pełni zamkniętą, zakończoną na prawym dolnym końcu strzałką skierowaną w prawo. Na powierzchni kuli narysowano cztery linie o kształcie eliptycznym, będące rzutami okręgów, których płaszczyzny są poziome. Na jednej z linii, odpowiadającej okręgowi o największym promieniu, naniesiono czerwony punkt opisany wielką literą P, na prawo i w dół od punktu opisanego wielką literą O. Odcinek OP łączący te punkty opisano małą literą d z indeksem dolnym wielka litera P. Z punktu P wyprowadzono ukośną czerwoną strzałkę w kierunku w prawo i w górę, opisaną jako wektor mała litera v z indeksem dolnym wielka litera P. Na linii poprowadzonej powyżej poprzedniej, odpowiadającej okręgowi o mniejszym promieniu, naniesiono punkt opisany wielką literą Q w kolorze oliwkowym na prawo i w górę od punktu wielka litera O. Odcinek OQ łączący te punkty opisano małą literą d z indeksem dolnym wielka litera Q. Z punktu wielka litera Q wyprowadzono ukośną oliwkową strzałkę w kierunku w prawo i w górę, opisaną jako wektor mała litera v z indeksem dolnym wielka litera Q. Strzałka ta jest krótsza od wektora mała litera v z indeksem dolnym wielka litera P.

Współwystępowanie obu ruchów bryły

Wiele sportów związanych jest z odpowiednim rzucaniem czy uderzaniem piłki. Na pewno potrafisz wymienić kilka z nich. A czy znasz sport, w którym wprawia się piłkę w ruch postępowy, ale nie wykorzystuje się możliwości wprawienia jej w ruch obrotowy? Niewiele jest takich.
Oto przykład: piłkarz kopiący piłkę nożną wprawia ją w ruch postępowy - to oczywiste. Przy silnych kopnięciach, na dużą odległość, gdy piłka przez długi czas leci w powietrzu, zostaje ona także w sposób celowy podkręcona. Modelowo polega to na wprawieniu jej w ruch obrotowy, na przykład wokół pionowej osi. Skutkiem jest wtedy „skręcanie” piłki w locie, w lewo lub w prawo, zależnie od kierunku nadanego jej obrotu. Może to zdezorientować zawodników drużyny przeciwnej, na przykład bramkarza. Czy znasz pojęcie „rogale Deyny” - strzały z rzutu rożnego, które wpadały wprost do bramki?

Ciekawostka

RQhOfqVBZmmau1

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia nabrzeże portowe, dźwig i kontenery; w tle widać budynki. Do nabrzeża przycumowany jest statek, pokazany od strony rufy i lewej burty. Na pokładzie statku znajdują się dwa dźwigi, szalupa ratunkowa oraz maszt antenowy. W każdym z dwóch narożników rufy oraz na każdej burcie umieszczone są w pozycji pionowej cztery jednakowe cylindry. Wysokość pionowych cylindrów jest około dwa razy większa niż odległość pomiędzy pokładem statku a wodą i prawie dwa razy większa niż szerokość statku.

Takie zachowanie piłki jest przykładem występowania efektu MagnusaEfekt Magnusaefektu Magnusa.

U podstaw tego efektu leży pojawianie się, w cieczach i gazach, różnic ciśnień związanych z różnymi prędkościami przemieszczania się poszczególnych warstw ośrodka. Więcej o tym przeczytasz w e‑materiale „Prawo Bernoulliego”.

Jeśli zaś zainteresuje Cię specyficznie efekt Magnusa, to poszukaj informacji o nim samodzielnie, na przykład w Internecie. Dowiesz się, między innymi, że siły powodujące efekt Magnusa mogą być nawet wykorzystywane do napędu statków.

Zwróć także uwagę, że zawodnik może wprawić piłkę w ruch postępowy, nadając jej jednocześnie ruch obrotowy względem dowolnie zorientowanej osi, z prędkością kątową o wartości niezależnej bezpośrednio od wartości prędkości środka masy piłki. Nieco inaczej jest w sytuacji, gdy piłka nie przemieszcza się w powietrzu, lecz toczy się po nawierzchni boiska.

Toczenie się bryły po powierzchni

Gdy bryła o kształcie kuli toczy się po powierzchni, jej oś obrotu może przyjmować dowolną orientację względem tej powierzchni. By uprościć nasze rozważania, ograniczymy się do opisu toczenia się bryły takiej jak walec czy koło. Ustalimy, że oś obrotu jest równoległa do powierzchni i prostopadła do wektora prędkości środka masy walca. Takie założenia pozwolą nam opisać toczenie się na przykładzie kół samochodu jadącego po jezdni. Przeanalizujemy trzy przykłady; w każdym opiszemy inną relację pomiędzy ruchem obrotowym kół i ruchem postępowym samochodu.

Przykład 1. Normalna jazda - toczenie bez poślizgu

Kiedy jedziemy spokojnie po jezdni poziomej lub o niewielkiej stromiźnie, koła płynnie toczą się po asfalcie. Taką sytuację nazywamy toczeniem bez poślizgu. Oznacza to, że prędkość ruchu postępowego środka masy oraz prędkość kątowa kół są w prostej, jednoznacznej relacji: każdy pełen obrót koła o promieniu $R$ oznacza, że w czasie tego obrotu przemieszczenie samochodu $\Delta x$ jest równe obwodowi koła, czyli $2\pi R$. Jeśli oznaczymy okres obrotu koła jako $T$, to otrzymamy związek

Po lewej stronie, po podzieleniu obu stron równania przez 'T', rozpoznajemy prędkość środka masy samochodu. Po prawej zauważamy iloczyn prędkości kątowej obrotu koła i jego promienia:

Na Rys. 4. pokazano skutek toczenia się bez poślizgu w postaci żartobliwego zapisu zasady składania ruchów. Po lewej stronie znaku „dodawania prędkości” przedstawiony jest ruch postępowy koła. Wszystkie trzy wyróżnione punkty - punkt najwyższy koła (w chwili przedstawionej na rysunku), punkt środkowy koła oraz jego punkt najniższy, w którym koło styka się z jezdnią - poruszają się z prędkościami względem ziemi o jednakowych kierunku, zwrocie i wartości. Na prawo od znaku „dodawania” przedstawiono ruch obrotowy koła. Punkt środkowy koła, który leży na osi, jest względem tej osi nieruchomy. Punkty najwyższy i najniższy mają, względem osi, prędkości liniowe o jednakowej wartości, ale o przeciwnych zwrotach.

R19xokoYyLcW6

Rys. 3. Z lewej strony rysunku pokazano toczące się koło. Do środka masy koła przyłożono wektor prędkości ruchu postępowego środka masy. Wektor prędkości skierowany jest poziomo w prawo i oznaczony literą wielkie V z indeksem dolnym śm. Takie same wektory prędkości ruchu postępowego przyłożono do najwyższego i najniższego punktu na obwodzie koła. Obok na prawo narysowano to samo koło z wektorami prędkości ruchu obrotowego. Wektor prędkości ruchu obrotowego przyłożony do najwyższego punktu na obwodzie koła skierowany jest poziomo w prawo i oznaczony równością wielkie V równa się omega razy wielkie R. Wektor prędkości ruchu obrotowego przyłożony do najniższego punktu na obwodzie koła, czyli punktu styczności z podłożem, skierowany jest poziomo w lewo i również oznaczony równością wielkie V równa się omega razy wielkie R. Z prawej strony rysunku pokazano to samo koło, ale wektory prędkości punktów koła są sumą wektorową prędkości w ruchu postępowym i obrotowym. Wektor prędkości przyłożony do środka koła skierowany jest poziomo w prawo i ma taką samą długość jak wektor prędkości środka masy z pierwszego rysunku. Wektor prędkości przyłożony do najwyższego punktu na obwodzie koła ma długość dwa razy większą niż wektor prędkości środka masy, skierowany jest poziomo w prawo i oznaczony równością wielkie V równa się wielkie V z indeksem dolnym śm plus omega razy wielkie R równa się dwa razy wielkie V z indeksem dolnym śm. Do najniższego punktu na obwodzie koła, czyli punktu styczności z podłożem, nie jest przyłożony żaden wektor. Pod tym punktem zapisano równość: wielkie V równa się wielkie V z indeksem dolnym śm minus omega razy wielkie R równa się zero.

Na rysunku po prawej „równości” widzimy złożenie tych ruchów. Uwzględniono w nim związek (1). Jeśli przyjrzymy się punktowi, w którym bryła styka się z podłożem, to stwierdzimy, że jego prędkość liniowa względem ziemi wynosi zero – jest to właśnie toczenie bez poślizgu.

Przykład 2. Poślizg na oblodzonej drodze

Kiedy jedziemy po oblodzonej nawierzchni, możemy wpaść w poślizg. Samochód cały czas porusza się naprzód ruchem postępowym z praktycznie niezmienioną prędkością, mimo naciśnięcia hamulców. Ale prędkość obrotowa naszych kół zmalała - nie jest więc spełniony warunek (1), gdyż $\omega R\lt v_{śm}$. Mówimy wtedy o  toczeniu się z poślizgiem, ślizganiu lub zsuwaniu. Prędkość koła w punkcie styku z podłożem z Rys. 3. jest różna od zera i ma zwrot zgodny z $\vec{v}_{śm}$. Czyli, ujmując rzecz nieco nieprecyzyjnie, samochód szybciej się porusza, niż koło się obraca.

Przykład 3. Buksowanie podczas próby ruszenia

Kiedy próbujemy gwałtownie ruszyć z błota lub śniegu, zdarza się, że koła napędowe zaczynają bardzo szybko się obracać. Ale samochód praktycznie stoi w miejscu. Taka sytuacja nazywa się buksowaniem. Prędkość obrotowa naszych kół jest duża, ale nie następuje zauważalny (i pożądany) postępowy ruch środka masy. W tym przypadku warunek (1) jest niespełniony, gdyż $\omega R>v_{śm}.$ Prędkość koła w punkcie styku z podłożem z Rys. 3. jest różna od zera, ale ma zwrot przeciwny do $\vec{v}_{śm}.$ Taką sytuację określilibyśmy więc potocznie: koło szybciej się obraca, niż samochód się porusza.

Tarcie statyczne, tarcie kinetyczne, tarcie toczne

Przyczyną różnych zachowań samochodu na drodze jest zmienność warunków jazdy. Mówi się o zmianie przyczepności kół do podłoża. W fizyce najprostszym opisem tego pojęcia są siły tarcia występujące na styku koła z podłożem. Wymieńmy tu trzy podstawowe siły:

• Siła tarcia statycznego występuje w przypadku toczenia bez poślizgu. W punkcie (dokładniej: w obszarze) styczności koła z podłożem nie występuje ich względne przemieszczenie. Ten stan zapewnia najlepszą przyczepność; samochód zachowuje się w sposób przewidywalny.

• Siła tarcia kinetycznego „zastępuje” siłę tarcia statycznego, gdy dochodzi do poślizgu lub do buksowania. Mówimy wtedy, że samochód stracił przyczepność - hamowanie czy przyspieszanie stają się mniej efektywne. Potrafi dojść wtedy do nietypowego zachowania samochodu, np. do obrotu po drodze.

• Siła tarcia tocznegoTarcie tocznetarcia tocznego występuje zawsze, gdy koło się toczy, niezależnie od występowania poślizgu. W typowych warunkach (jazda bez poślizgu, także bez gwałtownego hamowania czy przyspieszania) tarcie toczne wspomaga tarcie statyczne w utrzymaniu przyczepności kół. Głównym skutkiem obecności tarcia tocznego jest jednak „przeciwstawianie się ruchowi”, czyli rozpraszanie energii kinetycznej pojazdu.

Więcej informacji o toczeniu się bryły sztywnej w obecności różnych sił znajdziesz w e‑materiale „Jak zastosować zasady dynamiki dla ruchu obrotowego?”.

Słowniczek