Wektor wypadkowywektor wypadkowyWektor wypadkowy

Wyobraźmy sobie uproszczoną mapę z zaznaczonymi miejscowościami $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$. Z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ można dostać się bezpośrednio poruszając się wzdłuż wektora $\overrightarrow{AC}$, ale można też zrobić to inaczej. Można najpierw przemieścić się z miejscowości $A$ do miejscowości $B$, a dopiero później do $C$. Ale można też zrobić po drodze dwa przystanki: w pierwszym etapie przemieszczamy się z miejscowości $A$ do miejscowości $D$, w drugim – z miejscowości $D$ do miejscowości $E$, zaś w trzecim – z miejscowości $E$ do miejscowości $C$. Sytuację ilustruje poniższy rysunek. W takim przypadku powiemy, że wektor $\overrightarrow{AC}$ jest wektorem wypadkowym dla wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ oraz wektor $\overrightarrow{AC}$ jest wektorem wypadkowym dla wektorów $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DE}$ i $\overrightarrow{EC}$. Zwróćmy jeszcze uwagę, w jaki sposób powstają łańcuchy wektorów, których wektorem wypadkowym jest $\overrightarrow{AC}$. Każdy z tych łańcuchów spełnia trzy warunki:

• początek pierwszego wektora pokrywa się z początkiem wektora wypadkowego,

• koniec jednego wektora pokrywa się z początkiem następnego,

• koniec ostatniego wektora łańcucha pokrywa się z końcem wektora wypadkowego.

Rko3Nn3J9lK8f

W przykładzie znajduje się kartka w kratkę na której zaznaczone są punkty A, B, C, D oraz E. Punkty te połączone są odcinkami. Od punktu A wychodzą strzałki do punktu B oraz D, od punktu D wychodzi strzałka do punktu E, od punktu E wychodzi strzałka do punktu C, od punktu B również wychodzi strzałka do punktu C. Od punktu A wychodzi duża strzałka do punktu C.

Suma dwóch wektorów - reguła równoległoboku, reguła trójkąta

Sumę wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ wyznaczamy następująco: dowolny punkt $O$ płaszczyzny obieramy jako początek wektora $\overrightarrow{u}$, a koniec wektora $\overrightarrow{u}$ obieramy za początek wektora $\overrightarrow{v}$.
Wektor, którego początek znajduje się w punkcie $O$, a końcem jest koniec wektora $\overrightarrow{v}$ nazywamy sumą wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ i oznaczamy $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

R11IUNJsNGG1b

Ilustracja przedstawia dwa ukośne wektory: $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$. Narysowano kolejne wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, tak że punkt końcowy $\overrightarrow{u}$ jest początkiem $\overrightarrow{v}$. Narysowano również $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, który ma początek w początku wektora u i koniec w końcu wektora v. Wektory u, v oraz u + v utworzyły trójkąt.

Wektory, których sumę chcemy wyznaczyć nazywamy wektorami składowymi.

Opisana powyżej procedura otrzymywania wektora będącego sumą dwóch wektorów o różnych kierunkach nosi nazwę reguły trójkąta. Jak widać na powyższej ilustracji, gdy wektory mają różne kierunki, początki i końce rozważanych wektorów tworzą wierzchołki trójkąta. Zauważmy jeszcze, że chcąc zastosować opisany algorytm do wektorów, które mają ten sam kierunek, wszystkie początki i końce rozważanych wektorów będą leżeć na jednej prostej, zatem nie utworzą trójkąta. Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają ten sam zwrot, wówczas ich suma ma ten sam zwrot, który mają składniki.

R1XtzBfbMZf0o

Ilustracja przedstawia dwa poziome wektory skierowane w prawo $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$. Narysowano kolejne wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$, tak że koniec jednego wektora jest początkiem drugiego. Narysowano $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Gdy wektory mające ten sam kierunek, mają przeciwne zwroty, wówczas ich suma ma zwrot taki jak składnik o większej długości.

R1dtAE0ts64WT

Ilustracja przedstawia dwa poziome wektory: $\overrightarrow{u}$ skierowany w prawo oraz $\overrightarrow{v}$ skierowany w lewo. Narysowano kolejne wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ oraz $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Na powyższych ilustracjach niebieski wektor jest sumą wektorów czerwonego i czarnego.

Aby wyznaczyć sumę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować tzw. regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący sumę wektorów $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ można uzyskać jako przekątną równoległoboku skonstruowanego z użyciem wektorów $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$.

Opiszemy teraz jak wykorzystać w praktyce regułę równoległoboku dla dwóch wektorów o różnych kierunkach.

R120YOtQjVMOt

Ilustracja przedstawia dwa wektory: $\overrightarrow{u}$ jest ukośny, natomiast $\overrightarrow{v}$ jest poziomy.

Wektory ustawiamy tak, aby miały wspólny początek.

RgkENiIppSqdA

Ilustracja przedstawia dwa wektory: $\overrightarrow{u}$ jest skierowany w prawo i w górę, $\overrightarrow{v}$ jest skierowany w prawo. Oba wektory mają ten sam punkt początkowy.

Przez końce każdego z wektorów prowadzimy proste równoległe do drugiego z nich. Początek obu wektorów, ich końce i punkt przecięcia prostych równoległych do wektorów są wierzchołkami równoległoboku.

Rrc0ray8YXbA6

Ilustracja przedstawia dwa wektory. Ukośny $\overrightarrow{u}$ oraz poziomy $\overrightarrow{v}$ mają ten sam początek. Narysowano przerywaną linią dwie proste: jedna jest równoległa do $\overrightarrow{v}$ i przechodzi przez punkt końcowy $\overrightarrow{u}$, druga prosta jest równoległa do $\overrightarrow{u}$ i przechodzi przez punkt końcowy $\overrightarrow{v}$. Proste przecinają się ze sobą i tworzą wraz z wektorami u i v równoległobok.

Przekątna równoległoboku zawiera wektor będący sumą rozważanych wektorów: jego początek jest wspólnym początkiem obu wektorów składowych, zaś koniec jest punktem przecięcia poprowadzonych prostych.

R1OyLFpNxnRxn

Ilustracja przedstawia trzy wektory. Z jednego punktu początkowego wychodzą wektory: ukośny $\overrightarrow{u}$, poziomy $\overrightarrow{v}$ oraz ukośny $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$. Zaznaczono dwie proste równoległe do $\overrightarrow{u}$ oraz $\overrightarrow{v}$. Oba wektory wraz z prostymi tworzą równoległobok, którego dłuższa przekątna o początku we wspólnym początku trzech wektorów i o końcu w punkcie przecięcia dwóch prostych, jest sumą wektorów u i v.

Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha

Jeśli chcemy dodać więcej niż dwa wektory korzystamy z tzw. reguły łańcucha, która polega na utworzeniu łańcucha wektorów w taki sposób, że koniec jednego z nich staje się początkiem następnego. Sumą wektorów użytych do utworzenia łańcucha nazywamy wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu w końcu ostatniego wektora. Poniżej przedstawiono zastosowanie reguły łańcucha dla otrzymania sumy trzech wektorów: $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$.

RDLr6TEiUdo3x

Ilustracja przedstawia trzy grupy wektorów na kratkowanym tle. Grupa pierwsza. Grupa ta przedstawia trzy wektory narysowane blisko siebie: $\overrightarrow{u}$ o przesunięciu dwie kratki w górę oraz dwie kratki w prawo, $\overrightarrow{v}$ o przesunięciu dwie kratki w dół oraz siedem kratek w prawo, $\overrightarrow{w}$ o przesunięciu dwie kratki w prawo oraz pięć kratek w górę. Grupa druga. Grupa te przedstawia poprzednio narysowane wektory w kolejności: $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$, lecz tym razem w punkcie końcowym wektora, zaczyna się kolejny wektor. Grupa trzecia. Grupa ta przedstawia to co poprzednia grupa, ale teraz narysowano wektor u dodać v dodać w, który ma początek w początku wektora u i koniec w końcu wektora w.

Regułę łańcucha można stosować dla dowolnie wielu wektorów.

Słownik