Przeczytaj

Miarę łukową kątamiara łukowa kątaMiarę łukową kąta stosuje się w większości nauk technicznych. Jak ją wyznaczyć?

Narysujmy okrąg o promieniu $r$ i kącie środkowym $α$ .

Kąt $α$ wycina w okręgu łuk o długości $l$ .

Długość łuku $l$ obliczamy ze wzoru $l = \frac{α}{360 °} \cdot 2 π r$ .

RNNw0trR2jdfD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie wykreślono okrąg o środku w punkcie 0;0 i promieniu r. Z początku układu współrzędnych wyprowadzono półprostą, która przecina okrąg i tworzy z dodatnią półosią OX kąt ostry α. Łuk, który powstał na okręgu między punktem przecięcia z osią X a z półprostą opisano jako l.

miara łukowa kąta

Definicja: miara łukowa kąta

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku $l$ do długości promienia $r$ .

Korzystając z definicji oraz rysunku możemy zapisać, że:

α = \frac{l}{r}

Zauważmy, że przy zmianie długości promienia $r$ , zmienia się proporcjonalnie długość łuku $l$ , zatem stosunek tych wielkości jest zawsze taki sam.

Podstawową jednostką miary łukowej kąta jest $1$ radianradianradian (w skrócie zapisujemy: $rad$ ). Zapis $rad$ będziemy pomijać.

radian

Definicja: radian

Radianem nazywamy miarę kąta jednostkowego w mierze łukowej.

Jeżeli $r = 1$ , to miara łukowa kąta jest równa długości wyznaczonego łuku.

Przykład 1

Obliczymy miarę łukową kąta środkowego, jeżeli promień okręgu ma długość $\frac{4}{5}$ , a łuk wycięty przez kąt środkowy ma długość $8$ .

Narysujmy okrąg i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RY3iNokZpTyG5

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Wewnątrz okręgu wykreślono ostry kąt środkowy α, który wycina z okręgu łuk l.

Z danych przedstawionych w zadaniu wynika, że $r = \frac{4}{5}$ oraz $l = 8$ .

Zatem korzystając ze wzoru na miarę łukową kąta $α = \frac{l}{r}$ , otrzymujemy:

$α = \frac{8}{\frac{4}{5}} = 8 \cdot \frac{5}{4} = 10$

Przykład 2

Obliczymy, ile radianów ma kąt półpełny.

Narysujmy okrąg o promieniu $r = 1$ i zaznaczmy w jego środku kąt półpełny.

R1YFieuihVAju

Korzystając ze wzoru na długość łuku otrzymujemy:

$l = \frac{180 °}{360 °} \cdot 2 π \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 2 π = π$

$α = \frac{l}{r}$ , zatem $α = \frac{π}{1} = π$ .

Liczba $π$ oznacza stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Jest to wielkość stała, która nie zależy od długości promienia okręgu.

W tabeli przedstawiono miary podstawowych kątów w stopniach i radianach.

miara kąta w stopniach	$90 °$	$180 °$	$270 °$	$360 °$
miara kąta w radianach	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3}{2} π$	$2 π$

Na podstawie tabeli możemy wyciągnąć następujące wnioski:

jeżeli kąt $α$ jest ostry, to $0 < α < \frac{π}{2}$ ,
jeżeli kąt $α$ jest rozwarty, to $\frac{π}{2} < α < π$ ,
jeżeli kąt $α$ jest wypukły, to $0 < α < π$ ,
jeżeli kąt $α$ jest wklęsły, to $π < α < 2 π$ .

Przykład 3

Wyznaczymy miarę łukową kąta wewnętrznego w pięciokącie foremnym.

R1OJ7q6aAHLPd

Rysunek przedstawia pięciokąt foremny z zaznaczonym przy lewym dolnym wierzchołku kątem wewnętrznym α.

Sumę miar kątów wewnętrznych w dowolnym wielokącie obliczamy ze wzoru $S = (n - 2) \cdot π$ , gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta.

Zatem suma miar kątów wewnętrznych pięciokąta wynosi: $(5 - 2) \cdot π = 3 π$ .

Ponieważ miary kątów wewnętrznych w pięciokącie foremnym są jednakowe, zatem miara jednego kąta $α$ wynosi:

$α = 3 π : 5 = \frac{3}{5} π$

Przykład 4

Pokażemy, że kąt o mierze $1$ radiana jest mniejszy od kąta o mierze $60 °$ .

Narysujmy trójkąt równoboczny $A O B$ o boku długości $1$ oraz łuk $A C B$ wyznaczony przez ramiona kąta środkowego o wierzchołku w punkcie $O$ .

RGSRBYROgTEo1

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O i promieniu 1. Wewnątrz okręgu wykreślono kąt środkowy o mierze sześćdziesięciu stopni. Kąt ten wycina z okręgu łuk AB, przy czym między punktem A i B oznaczono dodatkowo na łuku punkt C.

Kąt ma miarę $1 rad$ wtedy i tylko wtedy, gdy długość łuku jest taka sama jak długość promienia okręgu, w którym ten łuk został wyznaczony przez ramiona kąta środkowego.

Niech $l$ będzie długością łuku ACB. Wówczas miarę łukową kąta $60 °$ obliczymy jako stosunek długości łuku do długości boku trójkąta, czyli $\frac{l}{1}$ .

Zauważmy, że długość łuku $A C B$ jest większa od długości boku trójkąta $A O B$ , zatem $l > 1$ .

Wobec tego $\frac{l}{1} > 1$ .

Czyli kąt o mierze $1 rad$ jest mniejszy od kąta o mierze $60 °$ .

Ciekawostka

Kąt o mierze $1 rad$ jest w przybliżeniu równy kątowi o mierze $57, 3 °$ , co wynika z tego, że $1 rad = \frac{180 °}{π}$ .

Słownik

miara łukowa kąta

stosunek długości łuku wyznaczonego przez kąt środkowy w okręgu do długości promienia tego okręgu

radian

miara kąta jednostkowego w mierze łukowej kąta

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik