Przeczytaj

Reguła równoliczności

Dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$ .

Przykład 1

Wykażemy, że w zbiorze $\{k, k + 1, \dots, l - 1, l\}$ kolejnych liczb naturalnych od $k$ do $l$ jest $l - k + 1$ elementów.

Uzasadnienie podamy na dwa sposoby.

$I$ sposób:

Ponumerujmy, zaczynając od $1$ , kolejne liczby zapisane w zbiorze $\{k, k + 1, k + 2, \dots, l - 1, l\}$ i zauważmy, że w tak otrzymanym ciągu numer wyrazu jest niezmiennie o $k - 1$ mniejszy od tego wyrazu, zatem jego ostatni wyraz równy $l$ ma numer $l - (k - 1)$ .

Na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że w zbiorze $\{k, k + 1, k + 2, \dots, l - 1, l\}$ jest tyle samo elementów, co w zbiorze kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $l - k + 1$ . Oznacza to, że jest ich $l - k + 1$ .

Uwaga! Ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny $(a_{n})$ , o wyrazie pierwszym $a_{1} = k$ i różnicy $1$ jest określony wzorem ogólnym $a_{n} = k + n - 1$ . Gdy $a_{n} = l$ , to $k + n - 1 = l$ , skąd $n = l - k + 1$ .

$II$ sposób

Zauważmy, że zbiór $\{1, 2, \dots, l - 1, l\}$ , liczący $l$ elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:

podzbiór liczb mniejszych od $k$ : $\{1, 2, \dots, k - 2, k - 1\}$ , który ma $k - 1$ elementów

oraz podzbior kolejnych liczb od $k$ do $l$ : $\{k, k + 1, k + 2, \dots, l - 1, l\}$ .

Oznacza to, że zbiór $\{k, k + 1, k + 2, \dots, l - 1, l\}$ ma $l - (k - 1) = l - k + 1$ elementów.

Z powyższego spostrzeżenia wynika np., że w zbiorze $\{1410, 1411, \dots, 2020\}$ kolejnych liczb naturalnych od $1410$ do $2020$ jest dokładnie $611$ liczb, co dostajemy z następującego rachunku: $2020 - (1410 - 1) = 611$

Przykład 2

Wykażemy, że wszystkich trzycyfrowych liczb parzystych jest tyle samo, co trzycyfrowych liczb nieparzystych.

Zauważmy, że najmniejszą liczbą trzycyfrową jest liczba $100$ (parzysta), a największą liczbą trzycyfrową jest liczba $999$ (nieparzysta). Oznacza to, że:

liczb trzycyfrowych jest $999 - (100 - 1) = 900$ ,
zapisując wszystkie liczby trzycyfrowe rosnącom będziemy więc mogli dobrać je w pary tak, aby liczbie mniejszej, parzystej odpowiadała wzajemnie jednoznacznie liczba większa od niej o jeden, nieparzysta.

Można je na przykład wypisywać parami, w kolejnych wierszach, których będzie $450$ :

numer wiersza	liczba parzysta	liczba nieparzysta
$1$	$100$	$101$
$2$	$102$	$103$
$3$	$104$	$105$
$\dots$
$450$	$998$	$999$

Zatem trzycyfrowych liczb parzystych jest tyle samo, co trzycyfrowych liczb nieparzystych.

Powyższe rozumowanie możemy sformalizować. Ponieważ każdą naturalną liczbę parzystą da się zapisać w postaci $2 n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, więc do zbioru trzycyfrowych liczb parzystych należą wszystkie liczby spełniające dodatkowo warunek $100 \leq 2 n \leq 999$ . Zatem $n$ może przyjmować wartości $50, 51, 51, \dots, 499$ . Rozpatrzmy więc dwa ciągi:

ciąg $(a_{n})$ , opisany wzorem $a_{n} = 2 n$ , gdzie $n = 50, 51, \dots, 499$ ,

ciąg $(b_{n})$ , opisany wzorem $b_{n} = a_{n} + 1 = 2 n + 1$ , gdzie $n = 50, 51, \dots, 499$ .

W ciągu $(a_{n})$ występują kolejne parzyste liczby trzycyfrowe, a w ciągu $(b_{n})$ występują kolejne nieparzyste liczby trzycyfrowe.

wyrazy ciągu $(a_{n})$	wyrazy ciągu $(b_{n})$
$a_{50} = 100$	$b_{50} = 101$
$a_{51} = 102$	$b_{51} = 103$
$a_{52} = 104$	$b_{52} = 105$
$\dots$
$a_{499} = 998$	$b_{499} = 999$

Wyrazy ponumerowane są od $50$ do $499$ , więc na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że jest ich w obu ciągach tyle samo.

Obliczamy, że jest ich w każdym ciągu po $499 - (50 - 1) = 450$ .

Przykład 3

Rozstrzygniemy, których liczb trzycyfrowych jest więcej: tych, które dzielą się przez $7$ , czy tych, które dają resztę $3$ z dzielenia przez $7$ .

$I$ sposób:

Zapiszmy wszystkie liczby trzycyfrowe rosnąco.

Ponieważ $900$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $4$ , więc liczb w tym zbiorze nie da się podzielić na grupy siedmioelementowe.

Natomiast na grupy siedmioelementowe można podzielić zbiór $A = \{104, 105, \dots, 999\}$ , czyli zbiór kolejnych liczb trzycyfrowych, z którego usunięto cztery najmniejsze liczby trzycyfrowe: $100$ , $101$ , $102$ , $103$ .

Zapisując elementy zbioru $A$ w porządku rosnącym i z podziałem na grupy siedmioelementowe zauważymy, że tych grup jest $(900 - 4) : 7 = 128$ i w każdej z nich jest dokładnie jedna liczba podzielna przez $7$ oraz dokładnie jedna liczba, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $3$ .

Zatem na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że w zbiorze $A = \{104, 105, \dots, 999\}$ jest tyle samo liczb podzielnych przez $7$ , co liczb, które przy dzieleniu przez $7$ daja resztę $3$ .

Ponieważ wśród czterech usuniętych liczb nie ma żadnej podzielnej przez $7$ , natomiast dokładnie jedna z nich, $101$ , przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $3$ , więc wśród liczb trzycyfrowych więcej jest tych, które dają resztę $3$ z dzielenia przez $7$ niż tych, które dzielą się przez $7$ .

$II$ sposób:

Rozpatrzmy dwa ciągi:

ciąg $(a_{n})$ opisany wzorem $a_{n} = 7 n + 94$ , gdzie $n = 1, 2, \dots, 129$ ,

ciąg $(b_{n})$ opisany wzorem $b_{n} = 7 n + 98$ , gdzie $n = 1, 2, \dots, 128$ .

Ponieważ:

$a_{1} = 101$ , $a_{129} = 997$ , $a_{n} = 7 n + 94 = 7 (n + 13) + 3$ , oraz $a_{n + 1} - a_{n} = 7$ , więc w ciągu $(a_{n})$ jest każda z liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez $7$ dają resztę $3$ . Na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że tych liczb jest $129$ ;

$b_{1} = 105$ , $b_{128} = 994$ , $b_{n} = 7 n + 98 = 7 (n + 14)$ , oraz $b_{n + 1} - b_{n} = 7$ , więc w ciągu $(b_{n})$ jest każda z liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $7$ . Na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że tych liczb jest $128$ .

Wynika stąd, że liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez $7$ dają resztę $3$ jest o jedną więcej, niż liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $7$ .

Przykład 4

Rozpatrzmy wszystkie możliwe wyniki rzutu siedmioma symetrycznymi monetami o różnych nominałach. Rozstrzygnij, których wyników wśród nich jest więcej:

na dokładnie dwóch monetach wypadły reszki”, czy „na dokładnie dwóch monetach wypadły orły”,
„wypadło więcej orłów niż reszek”, czy „wypadło więcej reszek niż orłów”.

Rozwiązanie

Zapiszmy wynik każdego rzutu tymi siedmioma monetami w porządku przypisanym monetom od najniższego nominału do najwyższego, przy czym przez $o$ oznaczmy wynik ‘wypadł orzeł’, a przez $r$ – ‘wypadła reszka’.

Przykładowo ciąg: $o$ , $o$ , $o$ , $r$ , $o$ , $r$ , $r$ opisuje wynik rzutu, w którym na trzech pierwszych monetach oraz na piątej wypadły orły, a na pozostałych trzech – reszki.

Korzystając z powyższej umowy, rozpatrzmy dwa rodzaje ciągów:
$(1)$ ciagi, w których występują dokładnie dwa $r$ i pięć $o$ ; tych ciągow jest tyle samo, co wszystkich wyników, w których na dokładnie dwóch monetach wypadły reszki,
$(2)$ ciagi, w których występują dokładnie dwa $o$ i pięć $r$ ; tych ciągow jest tyle samo, co wszystkich wyników, w których na dokładnie dwóch monetach wypadły orły.
Zauważmy, że jeżeli w każdym ciągu typu $(1)$ zamienimy każde $o$ na $r$ i każde $r$ na $o$ , to otrzymamy ciąg typu $(2)$ , a jeżeli w każdym ciągu typu $(2)$ zamienimy każde $r$ na $o$ i każde $o$ na $r$ , to otrzymamy ciąg typu $(1)$ .
Zatem da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do siebie każdy ciąg typu $(1)$ z ciągiem typu $(2)$ , skąd, na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności, otrzymujemy, że wyników „na dokładnie dwóch monetach wypadły reszki” jest tyle samo, co wyników „na dokładnie dwóch monetach wypadły orły”.
Zauważmy, że jeżeli w ciągu opisującym przypadek „wypadło więcej orłów niż reszek” zamienimy każde $o$ na $r$ , to otrzymamy przypadek „wypadło więcej reszek niż orłów” i odwrotnie, jeżeli w ciągu opisującym przypadek „wypadło więcej reszek niż orłów” zamienimy każde $o$ na $r$ , to otrzymamy przypadek „wypadło więcej orłów niż reszek”.
Zatem każdy z wyników jednego przypadku da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do wyniku z drugiego przypadku.
Wobec tego wyników „wypadło więcej orłów niż reszek” jest tyle samo, co wyników „wypadło więcej reszek niż orłów”, co stwierdzamy, korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności.

Problem 1

Na zakończenie proponujemy samodzielne rozwiązanie problemu, który został podany we wstępie.

Na parapecie pod oknem leżała talia $52$ kart do brydża. Po otwarciu okna zrobił się przeciąg, który zwiał dziesięć kart z parapetu za okno. Oglądamy pierwszą kartę, która została na parapecie.

Który przypadek jest bardziej prawdopodobny:

„oglądana karta jest w kolorze czerwonym”,

czy

„oglądana karta jest w kolorze czarnym”?

Zauważmy, że sytuację z zagadki można przedstawić w następujący sposób.

Rozpatrzmy grę dwuosobową, w której biorą udział gracze $A$ i $B$ . Do tej gry będzie nam potrzebna talia $52$ kart do brydża, którą tasujemy, następnie odkładamy dziesięć kart leżących na wierzchu potasowanej talii i oglądamy jedenastą.

Jeśli oglądana karta będzie w kolorze czerwonym, to grę wygrywa gracz $A$ , w przeciwnym przypadku (tzn. kiedy oglądana karta będzie w kolorze czarnym) grę wygrywa gracz $B$ .

Gracze jedynie czekają na wynik losowania, więc w tej grze żaden z nich nie ma strategii wygrywającej (gra jest losowa).

Rozkład kart w talii: $26$ czerwonych, $26$ czarnych pokazuje, że te dwa zbiory kart są równoliczne.

Zatem każdej karcie czerwonej można wzajemnie jednoznacznie przyporządkować dokładnie jedną kartę czarną, np. według następującej zasady: karcie z daną rangą w kolorze kier $(♡)$ przypisujemy kartę z tą samą rangą w kolorze pik $(♤)$ , a karcie z daną rangą w kolorze karo $(♢)$ przypisujemy kartę z tą samą rangą w kolorze trefl $(♧)$ .

Wtedy każdemu przypadkowi, w którym wygrał gracz $A$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie dokładnie jeden przypadek, w którym wygrał gracz $B$ . Zatem na podstawie reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że gracze $A$ i $B$ mają takie same szanse na wygraną, ponieważ zbiory wyników odpowiadających wygranej każdego z nich są równoliczne.

Słownik

reguła równoliczności

Dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów), jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$

ciąg arytmetyczny

ciąg liczbowy o co najmniej trzech wyrazach, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) różni się od wyrazu poprzedniego o tę samą wartość, nazywaną różnicą ciągu arytmetycznego

Wprowadzenie

Animacja

Reguła równoliczności

Słownik