Przeczytaj

W wielu okolicznościach życia codziennego spotykamy się z sytuacjami, które można opisać za pomocą ciągu arytmetycznego. Podamy teraz kilka takich przykładów.

Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, z których będziemy korzystać.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

W pierwszym i drugim przykładzie korzystać będziemy bezpośrednio z definicji ciągu arytmetycznego.

Przykład 1

W zegarze wahadłowym, przy każdym uderzeniu zegara, „waga” obniża się o $3 mm$ . Obliczymy o ile centymetrów obniży się „waga” w ciągu dwunastu godzin, jeżeli zegar wybija tylko godziny.

Po wybiciu godziny $1$ „waga” obniży się o $3 mm$ ,

po wybiciu godziny $2$ „waga” obniży się o $6 mm$ ,

po wybiciu godziny $3$ „waga” obniży się o $9 mm$ ,

$. . .$

Zauważmy, że liczby określające długość odcinka, o który obniża się „waga” są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $3$ i różnicy $3$ .

Oznaczmy $(a_{n})$ ten ciąg i obliczmy jego kolejne wyrazy, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.

$\{\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 3 \end{cases}$

$a_{1} = 3$

$a_{2} = 3 + 3 = 6$

$a_{3} = 6 + 3 = 9$

$a_{4} = 9 + 3 = 12$

$a_{5} = 12 + 3 = 15$

$a_{6} = 15 + 3 = 18$

$a_{7} = 18 + 3 = 21$

$a_{8} = 21 + 3 = 24$

$a_{9} = 24 + 3 = 27$

$a_{10} = 27 + 3 = 30$

$a_{11} = 30 + 3 = 33$

$a_{12} = 33 + 3 = 36$

Dodajemy otrzymane liczby.

$3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 = 234$

„Waga” obniży się o $234 mm$ , czyli o $23, 4 cm$ .

Przykład 2

W pewnym zakładzie pracy każdy pracownik dostaje raz w roku podwyżkę – za każdym razem taką samą. Pani Eliza pracowała w tym zakładzie przez $7$ lat. Obliczymy, ile łącznie zarobiła pani Eliza przez siedem lat pracy w tym zakładzie, jeżeli w czwartym roku pracy zarobiła $40000 zł$ .

Pani Eliza co roku dostawała taką samą kwotę podwyżki – oznaczmy ją $p zł$ .

Oznaczmy kwotę, jaką zarobiła pani Eliza w pierwszym roku przez $k zł$ .

W kolejnych latach zarobiła więc pani Eliza następujące kwoty (w $zł$ ):

$k$

$k + p$

$k + 2 p$

$k + 3 p$

$k + 4 p$

$k + 5 p$

$k + 6 p$

Zatem w sumie zarobiła (w $zł$ ): $7 k + 21 p = 7 (k + 3 p)$ .

Zauważmy, że $k + 3 p = 40000$ .

Czyli:

$7 (k + 3 p) = 7 \cdot 40000 = 280000$

Odpowiedź:

Pani Eliza zarobiła łącznie $280000 zł$ .

Teraz zastosowanie wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę kolejnych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego.

Przykład 3

Z prostopadłościennego zbiornika o wymiarach $6 dm \times 4 dm \times 5 dm$ napełnionego w całości wodą wypływa woda. W ciągu pierwszej minuty wypłynęło $4 {dm}^{3}$ wody, a w każdej następnej minucie o $2 {dm}^{3}$ więcej niż w poprzedniej. Obliczymy, ile litrów wody zostanie w pojemniku po $5$ minutach.

Liczby określające objętość wypływającej wody tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $4$ i różnicy $2$ .

Zapiszmy wzór ogólny tego ciągu.

$a_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 2$

$a_{n} = 2 n + 2$ dla $n = 1, 2, 3, . . .$

Obliczymy, ile litrów wody wyciekło ze zbiornika po $5$ minutach. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{4 + 2 n + 2}{2} \cdot n$

$S_{n} = (3 + n) n$

Do uzyskanego wzoru w miejsce zmiennej podstawiamy $5$ .

$S_{10} = (3 + 5) \cdot 5 = 40$

Po $5$ minutach wyciekło $40 {dm}^{3} = 40 l$ wody.

W pojemniku było $6 dm \cdot 4 dm \cdot 5 dm = 120 {dm}^{3}$ , czyli $120 l$ wody.

Obliczamy, ile wody zostało.

$120 - 40 = 80$

Odpowiedź:

W pojemniku zostało $80 l$ wody.

Przykład 4

Rafał miał do rozwiązania $440$ zadań z matematyki. Pierwszego dnia rozwiązał $20$ zadań i postanowił zwiększyć tempo rozwiązywania zadań – każdego dnia rozwiązywać $10$ więcej zadań niż w dniu poprzednim. W ciągu ilu dni Rafał rozwiązał wszystkie zadania?

Liczby rozwiązanych zadań w poszczególnych dniach tworzą $n$ –wyrazowy ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, w którym

$a_{1} = 20$

$r = 10$

Zapisujemy wzór ogólny tego ciągu.

$a_{n} = 20 + (n - 1) \cdot 10 = 10 n + 10$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ –kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Do zapisanego wzoru podstawiamy znalezione wielkości.

$S_{n} = \frac{20 + 10 n + 10}{2} \cdot n$

Z treści zadania wynika, że suma ta jest równa $440$ .

Otrzymujemy równanie:

$\frac{20 + 10 n + 10}{2} \cdot n = 440$

$\frac{10 n^{2} + 30 n}{2} = 440$

$10 n^{2} + 30 n - 880 = 0 | : 10$

$n^{2} + 3 n - 88 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$Δ = 9 + 352 = 361$

$\sqrt{Δ} = 19$

$n_{1} = \frac{- 3 - 19}{2} < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$n_{2} = \frac{- 3 + 19}{2} = 8$

Odpowiedź:

Rafał wszystkie zadania rozwiązał w ciągu $8$ dni.

Przykład 5

W turnieju szachowym rozegrano $630$ partii, przy czym każdy z uczestników turnieju grał z każdym tylko jeden raz. Obliczymy, ilu było uczestników turnieju.

Zauważmy, że jeśli ponumerujemy zawodników, to liczby partii rozegranych przez kolejnych uczestników są kolejnymi wyrazami $n$ –wyrazowego ciągu arytmetycznego.

Istotnie:

pierwszy uczestnik nie gra z nikim – $a_{1} = 0$

drugi uczestnik gra z pierwszym – $a_{2} = 1$

trzeci uczestnik gra z pierwszym i drugim – $a_{3} = 2$

czwarty uczestnik gra z pierwszym, drugim i trzecim – $a_{4} = 3$

$. . .$

W tak utworzonym ciągu:

$a_{1} = 0$ ,

$r = 1$ .

Dana jest suma ciągu:

$S_{n} = 630$

Należy znaleźć $n$ –liczbę uczestników turnieju.

Korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych $n$ –wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n$

$S_{n} = \frac{2 \cdot 0 + (n - 1) \cdot 1}{2} \cdot n$

$\frac{n^{2} - n}{2} = 630$

Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$n^{2} - n - 1260 = 0$

$Δ = 1 + 5040 = 5041$

$\sqrt{Δ} = 71$

$n_{1} = \frac{1 - 71}{2} < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$n_{2} = \frac{1 + 71}{2} = 36$

Odpowiedź:

W turnieju uczestniczyło $36$ zawodników.

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

Wprowadzenie

Infografika

Słownik