Warto przeczytać

Przykłady wykresów z publikacji naukowych z dziedziny fizyki

Przyjrzyj się wykresowiwykreswykresowi umieszczonemu na Rys. 1. Nie przejmuj się, że są na nim umieszczone nieznane Ci nazwy i symbole. Nie o nie teraz chodzi, ale o to, jak skonstruowany jest ten wykres.

R1bzFz91Xiwuw

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest wykres przedstawiający ilość ile razy cząstka o danej masie została wykryta w pewnym eksperymencie w funkcji masy. Ilość zliczeń z wielkiej litery Counts przyjmuje wartości od zera do stu sześćdziesięciu. Masa z wielkich liter Invariant Mass przyjmuje wartości od jeden i czterdzieści sześć setnych do jeden i sześćdziesiąt cztery setne. Na wykresie widoczne są punkty pomiarowe narysowane w postaci czarnych krzyżyków Układają się one na wykresie, w taki sposób, że początkowo rosną i osiągają maksymalną wartość około stu pięćdziesięciu, dla masy jeden i pięćdziesiąt trzy setne a następnie maleją i stabilizują wyniki na poziomie stu zliczeń. Na wykresie widoczne są trzy funkcje. Pierwsza funkcja oznaczona cyfrą jeden i opisaną z wielkich liter Background Fit, narysowana niebieską linią odzwierciedla początkowe punkty pomiarowe dla danych rosnących a następnie stabilizuje swoją wartość na poziomie stu zliczeń. Nie uwzględnia ona wartości maksymalnej dla punktów pomiarowych. Rośnie ona asymptotycznie do wartości sto. Druga fnkcja oznaczona cyfrą dwa i opisana z wielkich liter Breit Wigner Fit narysowana została żółtą linią dopasowana jest do punktów pomiarowych. Trzecia funkcja oznaczona cyfrą trzy i opisana jako z wielkich liter Total Fit ma profil gaussowski i dla masy jeden i pięćdziesiąt trzy setne osiąga wartość maksymalną równą około sześćdziesiąt. Dla wartości mas mniejszych i większych przyjmuje wartości bliskie zeru. Na wykresie wyróżniono jeden z punktów pomiarowych wielka litera X równe jeden i pół, której odpowiada wartość sześćdziesięciu pięciu zliczeń.

Na tym wykresie punkty pomiarowe zostały przestawione w kartezjańskim (prostokątnym) układzie współrzędnychukład współrzędnychkartezjańskim (prostokątnym) układzie współrzędnych. Odpowiadająca jednemu z punktów pomiarowych i zaznaczona na pionowej osi tego wykresu współrzędna Y = 65 mówi o tym, ile razy wynik pomiaru miał wartość X = 1,50. Na zamieszczonym wykresie widać na przykład, że najwięcej pomiarów miało wartości około 1,53.

Na omawianym wykresie zostały też umieszczone trzy krzywe. Krzywa nr 1 jakby nie zauważa, że w pobliżu wartości X=1,53 jest maksimum, a krzywa nr 2, w pobliżu tej wartości odciętej, podąża za punktami pomiarowymi. Krzywa nr 3, w dolnej części wykresu, jest rezultatem odejmowania krzywej nr 1 od krzywej nr 2.

Po co to wszystko? Uchylam tylko rąbka tajemnicy. Na osi odciętych, czyli poziomej, jest odłożona masa poszukiwanej przez nas cząstki w umownych jednostkach, a krzywa nr 2 pokazuje, że rzeczywiście widzimy ją jako maksimum w wynikach pomiarów. Wyłania się ona jednak na tle, które pokazuje krzywa nr 1. To, co zostało po odjęciu tła, to faktyczny wkład poszukiwanej cząstki do liczby wszystkich wykonanych pomiarów. Zarówno wysokość maksimum pod krzywą nr 3, jak i jego szerokość, to bardzo ważne informacje z punktu widzenia ich treści fizycznej, ale o tym nie będziemy tutaj mówić.

A teraz przyjrzyj się wykresowi trójwymiarowemu, przedstawionemu na Rys. 2. Jest to ten sam wykres, który został umieszczony w części „Czy to nie ciekawe?” tego materiału.

R8wZvtUV3gWTS

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest wykres konturowy, na którym oś pionowa opisana jest małą literą r z indeksem dolnym Time i w nawiasie kwadratowym małe litery fm dzielone przez małą literę c. Oś poziome opisana jest małą literą r z indeksem dolnym out i w nawiasie kwadratowym małe litery fm. Na osi pionowej zaznaczono wartości od minus dwudziestu do trzydziestu co dziesięć. Na osi poziomej zaznaczono wartości od minus dziesięciu do dwudziestu co dziesięć. Tło wykresu jest ciemnoniebieskie. Na środku znajdują się koncentryczne pola zaznaczone różnymi kolorami od jasnoniebieskiego do czerwonego. Obok wykresu po prawej stronie widoczna jest skala na której oznaczono wartości odpowiadające poszczególnym kolorom. Od zera do trzydziestu tysięcy, gdzie zero przyporządkowane jest kolorowi ciemnoniebieskiemu a wartość maksymalna odpowiada kolorowi czerwonemu. Na skali pomiędzy wartościami granicznymi znajdują się wszystkie kolory tęczy. Im cieplejszy jest kolor, tym wyższa wartość danych mu odpowiada. Skala kolorów stanowi trzecią oś oznaczoną na wykresie. Oś ta skierowana jest do czytelnika.

Ten typ wykresu nazywa się „wykresem konturowym”. U jego podstaw również leży prostokątny układ współrzędnych, z tym że skala trzeciej osi (która jest skierowana w stronę obserwatora, czyli w Twoją stronę), jest tu reprezentowana przez kolor. Na tym wykresie kolor punktu umieszczonego na płaszczyźnie, czyli mającego zadane wartości w kierunku osi poziomej i pionowej, mówi o tym, ile razy wynik pomiaru miał wartości podane na tychże osiach.

Wykres pokazany na Rys. 2. przypomina wyspę ze wzniesieniem, której szczyt występuje w okolicach początku układu współrzędnych, czyli w pobliżu zerowych wartości osi poziomej i pionowej. Zbocza „wyspy” opadają gwałtownie w kierunku dodatnich wartości na osi poziomej i ujemnych wartości na osi pionowej oraz łagodnie w stronę przeciwną. Liczby punktów pomiarowych w każdym kwadraciku o danym kolorze pokazane są na skali kolorów. Widać wyraźną zależność (korelację) pomiędzy wartościami punktów pomiarowych na osi poziomej i pionowej. Punkty pomiarowe układają się w kierunku rosnących w stronę ujemną wartości na osi poziomej i rosnących w stronę dodatnią wartości na osi pionowej.

Uchylając znów rąbka tajemnicy powiem, że wykres ten (Rys. 2.) przedstawia czasowo‑przestrzenne korelacje w procesie emisji cząstek w zderzeniach jądrowych.

Pokazałem Ci dwa przykłady wykresów z aktualnie prowadzonych prac w dziedzinie fizyki, bo takich prawdopodobnie nie będziesz mieć okazji zobaczyć w szkole. O tym zaś, jak konstruuje się wykresy, z którymi spotkasz się w praktyce szkolnej, opowiem w dalszej części tego materiału.

Jak prawidłowo konstruować wykresy?

Wykres stanowi graficzną prezentację zależności pomiędzy interesującym nas wielkościami np. napięciem elektrycznym i natężeniem prądu w obwodzie, przebytą drogą i czasem jazdy, zmianą temperatury i czasem stygnięcia wody w naczyniu itd. Danymi do sporządzenia wykresu są zwykle wyniki pomiarów, które mają określony zakres zmienności np. czas rozpoczęcia i zakończenia jazdy, początkowa i końcowa temperatura wody itd.

Badane zależności mają na ogół charakter ciągły, a punkty pomiarowe odzwierciedlają to dla wybranych wartości, które były przedmiotem pomiaru. Często charakter tych zależności jest znany i znane są równania, które je określają (np. $U=R\cdot I$ lub $s=\frac{a\cdot t^2}{2}$). Wtedy możliwe jest wyznaczenie wartości parametrów występujących w tych równaniach w oparciu o wyniki pomiarów. Jest to bardzo wartościowa informacja i często właśnie to jest celem pomiarów i konstrukcji wykresu.

W praktyce szkolnej często mamy do czynienia z zależnościami liniowymi postaci: $y=a\cdot x+b$. Przykładem takiej zależności jest prawo Ohma: $U=R\cdot I$, gdzie $y\equiv U$, $x\equiv I$, $a\equiv R$, zaś $b=0$. Także zależności nieliniowe można przekształcić tak, by sprowadzić je do zależności liniowych. Takie postępowanie nazywa się linearyzacją. Na przykład zależność położenia ciała od czasu w spodku swobodnym, czyli: $h=\frac{gt^2}{2}+h_0$, można zlinearyzować (czasem spotyka się termin „wyprostować”), przypisując: $y\equiv h$, $x\equiv t^2$, $a\equiv\frac{g}{2}$ oraz $b\equiv h_0$.

Teraz pokażemy przykładowy, prawidłowo skonstruowany wykres zależności pomiędzy napięciem elektrycznym i natężeniem prądu w obwodzie elektrycznym. Taki wykres można np. wykorzystać do wyznaczenia wartość oporu elektrycznego. W tym celu do przestawionych na wykresie punktów pomiarowych należy dopasować prostą - opór będzie wtedy równy współczynnikowi kierunkowemu dopasowanej prostej. O metodach dopasowywania prostych do punktów pomiarowych nie będziemy jednak tutaj mówić, bo zagadnieniu temu jest poświęcony odrębny materiał pt. Jak dopasować prostą do wyników pomiarów? W tym materiale omówimy za to elementy, które powinien posiadać prawidłowo skonstruowany wykres, np. taki jak ten pokazany na Rys. 3.

Rz0WzEhV9HQpS

Rys. 3. Na ilustracji widoczny jest wykres przedstawiający zależność napięcia elektrycznego wyrażonego w woltach wielka litera U i w nawiasie kwadratowym wielka litera V, w funkcji natężenia prądu wyrażonego w amperach wielka litera I i w nawiasie wielka litera A. na osi pionowej zaznaczono wartości od zera do dwunastu woltów. Na osi poziomej zaznaczono wartości od zera do dwóch dziesiątych ampera co pięć setnych ampera. Na wykresie zaznaczono czarnymi kropkami punkty eksperymentalne wraz z poziomymi i pionowymi słupkami niepewności. Na wykresie widoczna jest również czerwona funkcja liniowa dopasowana do punktów eksperymentalnych. Funkcja ta jest liniowo rosnąca i przedstawia prawo Ohma, zgodnie z którym napięcie elektryczne jest liniowo zależne od natężenia prądu a miarą proporcjonalności jest opór elektryczny, dla elementów elektrycznych pasywnych.

Wykres sporządzamy zwykle w układzie współrzędnych prostokątnych, przestrzegając przy tym następujących zasad:

1. Na osi pionowej odkładamy te wartości, które odpowiadają wartościom odkładanym na osi poziomej. Na Rys. 3. tymi wartościami są napięcie - U (oś pionowa) i natężenie prądu - I (oś pozioma).

2. Skale na obu osiach dobieramy tak, by obejmowały wartości wszystkich punktów pomiarowych, przy czym powierzchnia wykresu powinna mieć kształt zbliżony do kwadratu i może być obramowana.

3. Początek układu współrzędnych dobieramy tak, aby wartości najmniejsze w naszych danych znajdowały się w pobliżu początku osi układu. Nie oznacza to jednak, że współrzędne początku układu muszą mieć wartości równe zeru, choć na wykresie przedstawionym na Rys. 3. tak właśnie jest.

4. Zaznaczamy i opisujemy działki skali na osiach układu współrzędnych. Jednostki oznaczanych działek dobieramy tak, by łatwo można było odczytać współrzędne nanoszonych na wykres punktów pomiarowych.

5. Podpis osi powinien zawierać nazwę odkładanej wielkości lub jej symbol oraz wymiar odkładanej jednostki miary. Na Rys. 3. podpisy osi mają postać: I [A] oraz U [V], ale dozwolone są również inne oznaczenia osi np.: I, A oraz U, V. Czasem dla wygody pisania działek np. jako liczb naturalnych z niewielkiego zakresu dzieli się wszystkie dane przez odpowiednią (pod)wielokrotność jednostki. To też trzeba oddać przy opisie osi, np. zamiast I [mA] można napisać I/10Indeks górny 3³ A i na osi odkładać „bezwymiarowe natężenie prądu” - rzeczywiste, podzielone przez 1 miliamper.

6. Oznaczenia punktów pomiarowych muszą być wyraźnie widoczne, dlatego sugerowane jest, by w tym celu wybierać figury geometryczne (kółka, krzyżyki, trójkąty itp.).

7. Jeśli na jednym wykresie chcemy umieścić kilka serii danych, to punkty każdej z nich powinny być oznaczone innym symbolem i/lub kolorem. W takiej sytuacji punkty pomiarowe powinny być podpisane albo opisane odpowiednią legendą. Ta sama zasada odnosi się do krzywych teoretycznych (zob. Rys. 1.).

8. Niepewności związane z punktami pomiarowymi nanosimy w postaci odcinków pionowych i/lub poziomych o długościach odpowiadających podwójnym zakresom niepewności standardowych (zob. Rys. 3.). Bywa, że niepewności w różnych kierunkach są różne. Wtedy długości odcinków oznaczających niepewności w różnych kierunkach nie są jednakowe (zob. materiał pt. Przedstawianie niepewności pomiarowych w formie graficznej). Nie można zamiast odcinków niepewności rysować tzw. „prostokątów niepewności” (zwanych też „prostokątami błędów”) , ponieważ ich interpretacja nie jest jasna.

9. Jeśli punkty pomiarowe układają się na linii prostej, jak na Rys. 3., wtedy można do nich dopasować prostą. Więcej informacji o tym, w jaki sposób można taką prostą dopasować, znajdziesz w materiale pt. Jak dopasować prostą do wyników pomiarów? Tutaj powiemy tylko, że możesz w tym celu skorzystać z przezroczystej linijki, aby widzieć punkty nad i pod prostą. Najlepsze dopasowanie uzyskasz wtedy, gdy w przybliżeniu suma odległości od prostej punktów leżących nad nią i pod nią będzie najmniejsza.

10. Jeśli punkty nie układają się na linii prostej, wykreślamy ciągłą krzywą, bez nagłych załamań (nie musi ona przebiegać dokładnie przez wszystkie punkty pomiarowe, bo są one obarczone niepewnościami).

11. Nie wolno łączyć punktów pomiarowych linią łamaną.

Słowniczek