Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Intuicyjne pojęcie granicy funkcji

Zanim spróbujemy sformułować intuicyjną definicję granicy funkcji, przypomnijmy sobie czym jest granica ciągugranica ciągugranica ciągu . Intuicyjnie jest to taka liczba , do której dążą wyrazy tego ciągu, tzn. prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu znajdują się dowolnie blisko liczby . Do zilustrowania pojęcia granicy funkcji wykorzystamy pojęcia ciągu argumentów oraz ciągu wartości funkcji. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 1

Niech funkcja f : dana będzie wzorem . Rozważmy ciąg argumentów tej funkcji dany wzorem . Oczywiście ciąg ten jest zbieżny oraz . Sprawdzimy czy zbieżny jest ciąg wartości . Ponieważ

oraz

,

więc korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów wnioskujemy,  że ciąg wartości jest zbieżny oraz

Zauważmy, że powyższe rozumowanie możemy powtórzyć dla jakiegokolwiek ciągu argumentów zbieżnego do . Istotnie jeśli ciąg jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji takim, że , to

Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic otrzymujemy

W powyższym przykładzie udało nam się wykazać następującą własność funkcji :

Jeżeli argumenty funkcji dążą w dowolny sposób do liczby , to wartości funkcji odpowiadające tym argumentom dążą zawsze do liczby .

Poniższa grafika przedstawia interpetację graficzną powyższej własności.

RiCSMpUsphok4

Własność zilustrowana powyżej oznacza, że funkcja posiada w punkcie granicę równą , co symbolicznie zapisujemy następująco

Granica funkcji - pojęcie intuicyjne
Granica funkcji - pojęcie intuicyjne

Powiemy, że funkcja posiada w punkcie granicę równą liczbie , jeśli dla argumentów tej funkcji różnych od oraz dążących w dowolny sposób do , wartości funkcji odpowiadające tym argumentom zawsze dążą do liczby . Poprzez sformułowanie „dążą” rozumiemy istnienie granicy odpowiedniego nieskończonego ciągu (tzn. ciągu argumentów lub ciągu wartości funkcji). Fakt posiadania przez funkcję granicy w punkcie równej , zapisujemy następująco

Przykład 2

Rozważmy funkcję f : określoną wzorem

Zbadamy istnienie granicy funkcji w punkcie . W tym celu weźmy dowolny ciąg zbieżny do liczby . Wówczas

Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Z dowolności wyboru ciągu zbieżnego do wynika, że granicą funkcji w punkcie jest liczba .

Czy granica funkcji zawsze istnieje?

Na postawione wyżej pytanie odpowie następujący przykład.

Przykład 3

Rozważmy funkcję daną wzorem

fx=1-x dla x02x-1 dla x>0

Rozważmy ciąg . Oczywiście jest to ciąg zbieżny do . Ponieważ xn>0 dla każdego więc . Stąd

limnfxn=01=1.

Z drugiej strony przyjmując widzimy, że dla każdego oraz że . Zatem . Stąd w tym przypadku

Udało nam się zatem wskazać dwa ciągi argumentów funkcji , które są zbieżne do zera. Jednak ciągi wartości dla tych ciągów argumentów są zbieżne do różnych granic (odpowiednio do oraz ). Oznacza to, że funkcja nie posiada granicy w punkcie .

Powyższy przykład ilustruje poniższa grafika.

R12x9M6vmqLBE
Przykład 4

Rozważmy funkcję f : daną wzorem

fx=xx.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy

a. jeśli , to ;

b. jeśli , to ;

Widzimy stąd, że biorąc dowolny ciąg zbieżny do liczby oraz taki, że dla każdego dostajemy

Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg zbieżny do liczby oraz taki, że dla każdego dostajemy

Wskazaliśmy zatem dwa ciągi argumentów funkcji takie, że ciągi wartości im odpowiadające mają różne granice. Oznacza to, że funkcja nie posiada granicy w punkcie

Ważne!

Podsumowując rozważania zawarte w tym temacie możemy powiedzieć, że funkcja posiada w punkcie granicę równą liczbie , jeśli spełniony jest warunek: dla argumentów funkcji różnych od oraz dążących w dowolny sposób do , wartości funkcji odpowiadające tym argumentom zawsze dążą do liczby g. Fakt ten jest podstawą definicji granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego.

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu
prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszytskie wyrazy ciągu poza co najwyżej skończona ich ilością

granica ciągu
granica ciągu

liczba rzeczywista g taka, że dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna N taka, że dla każdej liczby naturalnej n>N zachodzi an-g<ε