Warto przeczytać

Jakob SteinerJakob SteinerJakob Steiner, szwajcarski matematyk, sformułował w pierwszej połowie XIX wieku twierdzenie, które dziś nazywamy twierdzeniem Steinera. Odpowiada ono na pytanie, jak obliczyć moment bezwładności ciała, jeśli jego oś obrotu nie przechodzi przez środek masy, jak na Rys. 1.

RajJ43XHWdBCx

Rys. 1. Na rysunku znajduje się bryła o kształcie zbliżonym do wydłużonej poziomo kuli, zwężonej z lewej strony. W środku bryły zaznaczono środek masy oznaczony literą wielkie O. Przez ten punkt przechodzi pionowa linia oznaczona przy dolnym i górnym końcu literami O – O. Obok linii zapisano literę wielkie i z indeksem dolnym zero. Na lewo od bryły narysowano drugą pionową linię oznaczoną przy dolnym i górnym końcu literami O prim – O prim. Wokół tej linii narysowano łuk zakończony strzałką wskazującą kierunek obrotu bryły przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Odległość między dwiema pionowymi liniami oznaczono literą małe r z indeksem dolnym zero.

Twierdzenie Steinera ma następującą postać:

Gdzie: $I_0$ – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (oś O), $I$ – moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy (oś O’), $r_0$ – odległość między tymi dwoma osiami, $m$ – masa bryły.

Jeśli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, $I_0$, łatwo obliczymy moment bezwładności względem innej osi. Rozważmy przykład jednorodnego pręta.

Przykład 1. Podłużny pręt

Spójrzmy na pręt o masie $m$ i długości $l$. Wiemy, że jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do długości wynosi $I_0=\frac{1}{12}m{l}^2$. Obliczmy, jaki będzie moment bezwładności względem końca pręta (Rys. 2.).

R16Iy3fASbH9I

Rys. 2. Na rysunku znajduje się pionowa linia prosta stanowiąca oś obrotu poziomego pręta. Wokół osi narysowano łuk zakończony strzałką wskazującą kierunek obrotu przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Pręt pokazany jest w dwóch położeniach względem osi. U góry narysowano poziomy pręt, którego środek leży na osi. U dołu narysowano poziomy pręt, którego prawy koniec leży na osi. Obok rysunku zapisano równanie: wielkie i z indeksem dolnym zero równa się jedna dwunasta razy małe m razy małe L do kwadratu.

Skoro $I=I_0+m{r}_0^2$, a teraz odległość środka masy $r_0$ to połowa długości pręta $l/2$, to:

Przykład 2. Drzwi

Możemy uznać, że drzwi o masie m to prostopadłościan o wysokości $h$, szerokości w i grubości $d$. Jeśli mamy do czynienia z drzwiami obrotowymi, jak w centrum handlowym, to są one zamocowane na osi pionowej przechodzącej przez ich środek masy. Wtedy ich moment bezwładności wynosi:

Wyobraźmy sobie, że te same drzwi mają możliwość montażu również wzdłuż dłuższej krawędzi, jak zwykłe drzwi domowe. Gdyby takie drzwi były zamontowane we framudze, jak na Rys. 3., obracając się wzdłuż krawędzi, to jaki byłby ich moment bezwładności względem tej osi obrotu?

Jak widać, te same drzwi obracane wokół różnych osi mają różne momenty bezwładności.

R1OGwfffLFEuB

Rys. 3. Rysunek składa się z dwóch części. Z lewej strony znajduje się prostokąt symbolizujący drzwi. Oś obrotu drzwi to pionowa linia przechodząca przez środki poziomych krawędzi prostokąta. Z prawej strony również znajduje się prostokąt symbolizujący drzwi. Oś obrotu w tym przypadku to pionowa linia przechodząca przez lewą, pionową krawędź prostokąta.

Przykład 3. Toczący się walec

Moment bezwładności walca o masie $m$ i promieniu $r$ wokół osi przechodzącej przez jego środek masy to $I_0=\frac{1}{2}m{r}^2$. A jeśli ten walec toczy się, to jaki jest jego moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu O', jaką jest linia styku zetknięcia walca z podłożem, jak na Rys. 4.?

R11PEoDF3wt6S

Rys. 4. Na rysunku znajduje się pozioma linia prosta. Stycznie do tej linii narysowano koło, które stanowi podstawę toczącego się walca. Zaznaczono punkt styczności i oznaczono go literą wielkie O prim. Nad kołem narysowano łuk zakończony strzałką wskazującą kierunek obrotu walca zgodny z ruchem wskazówek zegara. Środek koła oznaczono literą wielkie O. Narysowano promień koła i oznaczono go literą małe r.

Ponownie widzimy, że ten sam obiekt ma różne momenty bezwładności – w zależności od tego, wokół jakiej osi się obraca. Im dalej oś obrotu znajduje się od środka masy, tym większy staje się moment bezwładności.

Przykład 4. Układ Słoneczny

Jaki jest moment bezwładności planet w ruchu obrotowym dookoła Słońca? Jeśli przyjmiemy przybliżenie, że planety są jednorodnymi kulami, to moment bezwładności każdej z nich wokół osi przechodzącej przez ich środek masy obliczymy jako $I=\frac{2}{5}m{r}^2$. Przyjrzyjmy się Ziemi i Marsowi. Ziemia ma masę około $M_Z$ = 5974 · 10Indeks górny 21²¹ kg. Masa Marsa to $M_M$ = 641,9 · 10Indeks górny 21²¹ kg. Promień Ziemi $R_Z$ = 6378 km, a promień Marsa $R_M$ = 3402 km. Zatem moment bezwładności każdego z nich wynosi odpowiednio:

Czyli moment bezwładności Ziemi jako kuli jest 32 razy większy niż mniejszego i lżejszego Marsa. Ale teraz obliczmy moment bezwładności względem Słońca. Promień orbity Ziemi to średnio $d_Z$ = 149 597 887 km, a Marsa $d_M$ = 227 936 637 km. Zatem z twierdzenia Steinera:

Moment bezwładności Ziemi względem Słońca jest tylko cztery razy większy niż Marsa.

Słowniczek