Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Jacob Steiner, szwajcarski matematyk, sformułował w pierwszej połowie XIX wieku twierdzenie, które dziś nazywamy twierdzeniem Steinera. Odpowiada ono na pytanie, jak obliczyć moment bezwładności ciała, jeśli jego oś obrotu nie przechodzi przez środek masy, jak na Rys. 1.

RajJ43XHWdBCx
Rys. 1. Obrót ciała wokół osi nieprzechodzącej przez jego środek masy

Twierdzenie Steinera ma następującą postać:

I=I0+mr02(1)

Gdzie: I0 – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (oś O), I – moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy (oś O’), r0 – odległość między tymi dwoma osiami, m – masa bryły.

Jeśli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, I0, łatwo obliczymy moment bezwładności względem innej osi. Rozważmy przykład jednorodnego pręta.

Przykład 1. Podłużny pręt

Spójrzmy na pręt o masie m i długości l. Wiemy, że jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do długości wynosi I0=112ml2. Obliczmy, jaki będzie moment bezwładności względem końca pręta (Rys. 2.).

R16Iy3fASbH9I
Rys. 2. Pręt obracany wokół środka masy oraz wokół końca

Skoro I=I0+mr02, a teraz odległość środka masy r0 to połowa długości pręta l/2, to:

I=112ml2+m(l2)2=112ml2+14ml2=112ml2+312ml2=412ml2=13ml2

Przykład 2. Drzwi

Możemy uznać, że drzwi o masie m to prostopadłościan o wysokości h, szerokości w i grubości d. Jeśli mamy do czynienia z drzwiami obrotowymi, jak w centrum handlowym, to są one zamocowane na osi pionowej przechodzącej przez ich środek masy. Wtedy ich moment bezwładności wynosi:

I0=112m(w2+d2)

Wyobraźmy sobie, że te same drzwi mają możliwość montażu również wzdłuż dłuższej krawędzi, jak zwykłe drzwi domowe. Gdyby takie drzwi były zamontowane we framudze, jak na Rys. 3., obracając się wzdłuż krawędzi, to jaki byłby ich moment bezwładności względem tej osi obrotu?

I=112m(w2+d2)+m(w2)2=112md2+112mw2+14mw2=112md2+13mw2

Jak widać, te same drzwi obracane wokół różnych osi mają różne momenty bezwładności.

R1OGwfffLFEuB
Rys. 3. Drzwi z lewej to drzwi obrotowe. Drzwi z prawej obracają się na zawiasach osadzonych we framudze

Przykład 3. Toczący się walec

Moment bezwładności walca o masie m i promieniu r wokół osi przechodzącej przez jego środek masy to I0=12mr2. A jeśli ten walec toczy się, to jaki jest jego moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu O', jaką jest linia styku zetknięcia walca z podłożem, jak na Rys. 4.?

R11PEoDF3wt6S
Rys. 4. Toczący się walec
I=12mr2+mr2=32mr2

Ponownie widzimy, że ten sam obiekt ma różne momenty bezwładności – w zależności od tego, wokół jakiej osi się obraca. Im dalej oś obrotu znajduje się od środka masy, tym większy staje się moment bezwładności.

Przykład 4. Układ Słoneczny

Jaki jest moment bezwładności planet w ruchu obrotowym dookoła Słońca? Jeśli przyjmiemy przybliżenie, że planety są jednorodnymi kulami, to moment bezwładności każdej z nich wokół osi przechodzącej przez ich środek masy obliczymy jako I=25mr2. Przyjrzyjmy się Ziemi i Marsowi. Ziemia ma masę około MZ = 5974 · 10Indeks górny 21 kg. Masa Marsa to MM = 641,9 · 10Indeks górny 21 kg. Promień Ziemi RZ = 6378 km, a promień Marsa RM = 3402 km. Zatem moment bezwładności każdego z nich wynosi odpowiednio:

{I0Z=25MZRZ2=2559741021kg(6378km)2=9,721037kgm2I0M=25MMRM2=25641,91021kg(3402km)2=2,971036kgm2

Czyli moment bezwładności Ziemi jako kuli jest 32 razy większy niż mniejszego i lżejszego Marsa. Ale teraz obliczmy moment bezwładności względem Słońca. Promień orbity Ziemi to średnio dZ = 149 597 887 km, a Marsa dM = 227 936 637 km. Zatem z twierdzenia Steinera:

{IZ=I0Z+mdZ2=9,721037kgm2+59741021kg(149597887km)2=1,331047kgm2IM=I0M+mdM2=2,971036kgm2+641,91021kg(227936637km)2=3,331046kgm2

Moment bezwładności Ziemi względem Słońca jest tylko cztery razy większy niż Marsa.

Słowniczek

Jacob Steiner
Jacob Steiner

szwajcarski matematyk, żyjący w latach 1796‑1863.