Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na lekcji przedstawimy kilka typów nierówności trygonometrycznych. Wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych przede wszystkim są wykorzystywane do zapisania wyrażeń występujących w nierówności w postaci iloczynowej, gdyż porównywanie wyrażeń zapisanych w postaci iloczynu z zerem jest znacząco łatwiejsze.

Przykład 1

Uzasadnimy, że zachodzi nierówność sin143°+sin23°>sin82°.

Rozwiązanie

Na początku przekształcimy lewą stronę nierówności poprzez obliczenie sumy sinusów z wykorzystaniem wzoru na sumę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na sumę sinusów:

sin143°+sin23°=2sin143°+23°2cos143°-23°2=2sin83°cos60°=sin83°.

Ponieważ funkcja sinus jest funkcją rosnącą w przedziale (0°,90°), zatem

sin83°>sin82°.

Stąd otrzymujemy tezę.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność: sin(2x-π3)-cos(π4+2x)<0.

Rozwiązanie

Najpierw korzystamy ze wzoru redukcyjnego sin(π2-x)=cosx i zapisujemy nierówność w postaci:

sin(2x-π3)-sin(π4-2x)<0.

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:

2sin2x-π3-π4+2x2cos2x-π3+π4-2x2<0

2sin(2x-7π24)cos(-π24)<0.

Ponieważ cos(-π24) jest liczbą dodatnią nierówność sprowadza się do postaci:

sin(2x-7π24)<0.

Zatem możemy zapisać elementy spełniające nierówność z zadania:

2x-7π24(-π+2kπ,2kπ), gdzie k

2x(-π+7π24+2kπ,7π24+2kπ), gdzie k

2x(-17π24+2kπ,7π24+2kπ), gdzie k

Ostatecznie odpowiedź jest następująca:

x(-17π48+kπ,7π48+kπ), gdzie k.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: sin3x+sin5x>0.

Rozwiązanie

Na początek skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:

2sin4xcosx>0

Nierówność tę możemy zapisać jako alternatywę warunków:

(sin4x>0cosx>0) lub (sin4x<0cosx<0).

Przypadek 1.

Rozwiążemy koniunkcje warunków: sin4x>0cosx>0.

Nierówność sin4x>0 jest równoważna warunkowi:

4x(0+2kπ,π+2kπ), gdzie k

czyli

x(kπ2,π4+kπ2), gdzie k.

Nierówność cosx>0 jest równoważna warunkowi x(-π2+2kπ,π2+2kπ), gdzie k.

Zatem w pierwszym przypadku otrzymujemy:

x(2kπ,π4+2kπ)(3π2+2kπ,7π4+2kπ), gdzie k.

Przypadek 2.

Rozwiążemy koniunkcję warunków: sin4x<0cosx<0.

Nierówność sin4x<0 jest spełniona dla 4x(π+2kπ,2π+2kπ), gdzie k

czyli

x(π4+kπ2,π2+kπ2), gdzie k.

Nierówność cosx<0 jest spełniona dla

x(π2+2kπ,3π2+2kπ), gdzie k.

Zatem w drugim przypadku otrzymujemy:

x(3π4+2kπ,π+2kπ)(5π4+2kπ,3π2+2kπ), gdzie k.

Odpowiedź:

2kπ,π4+2kπ3π4+2kπ,π+2kπ5π4+2kπ,3π2+2kπ

3π2+2kπ,7π4+2kπ,

gdzie k.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność: cos(6π7-x)+cos(π5+x)cos37π70.

Rozwiązanie

Lewą stronę nierówności przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy:

2cos6π7-x+π5+x2cos6π7-x-π5-x2cos37π70

2cos37π70cos(23π70-x)cos37π70

Ponieważ cos37π70 jest liczbą ujemną, zatem po podzieleniu przez tę liczbę otrzymujemy:

cos(23π70-x)12.

Liczbami spełniającymi powyższą nierówność są:

(23π70-x)-π3+2kπ,π3+2kπ, gdzie k.

Stąd otrzymujemy:

-x-π3-23π70+2kπ,π3-23π70+2kπ, gdzie k.

Zatem

x-π3+23π70+2kπ,π3+23π70+2kπ, gdzie k.

Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: x-π210+2kπ,139π210+2kπ, gdzie k.

Słownik

wzory na sumę oraz różnicę sinusów
wzory na sumę oraz różnicę sinusów
sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2
sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2

dla dowolnych α,β

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2
cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2

dla dowolnych α,β