Przeczytaj
Na lekcji przedstawimy kilka typów nierówności trygonometrycznych. Wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych przede wszystkim są wykorzystywane do zapisania wyrażeń występujących w nierówności w postaci iloczynowej, gdyż porównywanie wyrażeń zapisanych w postaci iloczynu z zerem jest znacząco łatwiejsze.
Uzasadnimy, że zachodzi nierówność .
Rozwiązanie
Na początku przekształcimy lewą stronę nierówności poprzez obliczenie sumy sinusów z wykorzystaniem wzoru na sumę sinusówwzoru na sumę sinusów:
.
Ponieważ funkcja sinus jest funkcją rosnącą w przedziale , zatem
.
Stąd otrzymujemy tezę.
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Najpierw korzystamy ze wzoru redukcyjnego i zapisujemy nierówność w postaci:
.
Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:
.
Ponieważ jest liczbą dodatnią nierówność sprowadza się do postaci:
.
Zatem możemy zapisać elementy spełniające nierówność z zadania:
, gdzie
, gdzie
, gdzie
Ostatecznie odpowiedź jest następująca:
, gdzie .
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Na początek skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:
Nierówność tę możemy zapisać jako alternatywę warunków:
( i ) lub ( i ).
Przypadek 1.
Rozwiążemy koniunkcje warunków: i .
Nierówność jest równoważna warunkowi:
, gdzie
czyli
, gdzie .
Nierówność jest równoważna warunkowi , gdzie .
Zatem w pierwszym przypadku otrzymujemy:
, gdzie .
Przypadek 2.
Rozwiążemy koniunkcję warunków: i .
Nierówność jest spełniona dla , gdzie
czyli
, gdzie .
Nierówność jest spełniona dla
, gdzie .
Zatem w drugim przypadku otrzymujemy:
, gdzie .
Odpowiedź:
,
gdzie .
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Lewą stronę nierówności przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy:
Ponieważ jest liczbą ujemną, zatem po podzieleniu przez tę liczbę otrzymujemy:
.
Liczbami spełniającymi powyższą nierówność są:
, gdzie .
Stąd otrzymujemy:
, gdzie .
Zatem
, gdzie .
Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: , gdzie .
Słownik
dla dowolnych
dla dowolnych