Przeczytaj

Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny)Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny) z dodatniej liczby $a$ można zinterpretować jako krawędź sześcianu o objętości $a$ .

R17KyZERnivKn

Ilustracja przedstawia trzy sześciany na tle w kratkę. Sześciany ustawione są w jednym rzędzie, każdy z nich jest podpisany. Pierwszy od lewej jest sześcian o krawędzi o długości 1. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: V=1·1·1=1. Kolejny od lewej jest sześcian o krawędzi o długości 2. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: 83=2, bo V=2·2·2=8. Ostatni jest sześcian o krawędzi o długości 3. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: 273=3, bo V=3·3·3=27.

Ta prosta i obrazowa interpretacja ma jeden defekt: uwzględnia jedynie pierwiastek sześcienny z liczby dodatniej - rzeczywiście: i krawędź, i objętość mają dodatnie miary. W praktyce okazuje się, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby zdefiniować pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej: $\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ .

Zatem pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do sześcianu daje liczbę $a$ .

Przykład 1

$\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^{3} = 64$

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , bo ${(- 2)}^{3} = - 8$

$\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$ , bo ${(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}$

$\sqrt[3]{- 3 \frac{3}{8}} = \sqrt[3]{- \frac{27}{8}} = - \frac{3}{2} = - 1 \frac{1}{2}$ , bo ${(- \frac{3}{2})}^{3} = - \frac{27}{8}$

$\sqrt[3]{- 0, 125} = - 0, 5$ , bo ${(- 0, 5)}^{3} = - 0, 125$

$\sqrt[3]{0} = 0$ , bo $0^{3} = 0$

Przykład 2

Wyrażenie $\sqrt[3]{x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \in ℝ$ .

Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną $x$ ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznego dziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia $\sqrt[3]{x}$ jest zbiór wszystkich liczba rzeczywistych.

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera.

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 \neq 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru, zaś pierwiastek sześcienny jest zerem tylko wówczas, gdy zerem jest liczba podpierwiastkowa), czyli dla $x \neq 1$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x + 2}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 2 \neq 0$ , czyli dla $x \neq - 2$ . Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x^{2} - 4 \neq 0$ , czyli dla $x^{2} \neq 4$ . Oznacza to, że $x$ nie może być równe ani $2$ , ani $(- 2)$ , co możemy zapisać jako $x \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Przykład 4

$\sqrt[3]{3^{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}} = \sqrt[3]{- 27} = - 3$

$\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

$\sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = \sqrt[3]{- 125} = - 5$

Zwróć uwagę, że niezależnie od tego, jaką liczbą jest $x$ , prawdziwe są równości $\sqrt[3]{x^{3}} = x$ oraz ${(\sqrt[3]{x})}^{3} = x$ . Przy okazji odnotujmy, że równość, która jest prawdziwa dla każdego elementu dziedziny, nazywamy tożsamościątożsamośćtożsamością.

Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ zachodzą równości:

\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}

\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}

, o ile

b \neq 0

Przykład 5

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$

$\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \sqrt[3]{3}$

Przykład 6

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

b) $\frac{1}{\sqrt[3]{25}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{5}$

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu $\sqrt[3]{a^{3} + b^{3}}$ . Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu $\sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt[3]{b^{3}}$ . Rozważmy $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}}$ .

Poprawne obliczenie wygląda następująco $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}} = \sqrt[3]{8 + 1} = \sqrt[3]{9}$ .

Ponadto $\sqrt[3]{2^{3}} + \sqrt[3]{1^{3}} = 2 + 1 = 3$ , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}}$ , czyli liczbie $\sqrt[3]{9}$ .

Przykład 7

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} + \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} =$ $= 3 \sqrt[3]{2} + 2 \sqrt[3]{2} = 5 \sqrt[3]{2}$ .

Przypomnijmy jeszcze, że dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ .

Słownik

pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny)

pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której sześcian jest równy $a$ , czyli $\sqrt[3]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens liczbowy

tożsamość

równość prawdziwa dla każdego elementu dziedziny

Wprowadzenie

Test samosprawdzający

Własności pierwiastkowania

Słownik