Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Podstawami każdego graniastosłupa są równoległe, przystające wielokąty znajdujące się w różnych płaszczyznach, a jego ściany boczne są prostokątami lub równoległobokami. Wielokątami są również przekroje graniastosłupów. Są to figury geometryczne, w których z łatwością można zastosować funkcje trygonometryczne. Najczęściej będziemy korzystać z funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.

Warto przypomnieć również dwa twierdzenia geometrii wykorzystujące funkcje trygonometryczne.

Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie: Twierdzenie cosinusów
a2=b2+c2-2·b·c·cosα,

gdzie:
a, b, c – są bokami trójkąta,
α – kąt trójkąta, który znajduje się na przeciwko boku a.

Twierdzenie sinusów
Twierdzenie: Twierdzenie sinusów
asinα=bsinβ=csinγ=2R,

gdzie:
a, b, c – są bokami trójkąta,
α, β, γ – są kątami, które znajdują się na przeciwko boków a, b, c odpowiednio,
R – jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przypomnijmy ponadto, że funkcje trygonometryczne są wykorzystywane we wzorach na pola wielokątów.

Pole trójkąta

P=a·b·sinα2,

gdzie:
a, b – są bokami trójkąta,
α – kąt między tymi bokami.

Pole równoległoboku

P=a·b·sinα,

gdzie:
a, b – są sąsiednimi bokami równoległoboku,
α – kąt między nimi.

P=p·q·sinγ2,

gdzie:
p, q – są przekątnymi równoległoboku,
γ – kąt między nimi.

Funkcje trygonometryczne kątów w podstawie i na ścianie bocznej

Przykład 1

W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach 3 cm4 cm i kącie o mierze 60° między nimi. Krawędź boczna ma długość 6 cm. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy podstawę tego graniastosłupa.

R1J6niIQ3FyEq

Możemy policzyć pole podstawy

Pp=4·3·sin60°2=12·322=33 cm2.

Do obliczenia pola powierzchni bocznej brakuje długości krawędzi oznaczonej przez c.

Wykorzystamy twierdzenie cosinusów

c2=42+32-2·4·3·cos60°,

czyli c2=25-24·12.

Ostatecznie c=13 cm.

Teraz możemy już obliczyć pole powierzchni bocznej

Pb=6·4+3+13=42+613 cm2.

A zatem Pc=63+42+613=6·7+3+13 cm2.

Przykład 2

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8 cm i tworzy kąt 48° z krawędzią podstawy. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

ReJulMmFwAmMA

Zaznaczony trójkąt jest prostokątny. Obliczamy długość krawędzi podstawy i wysokości z funkcji trygonometrycznych

cos48°=a8 oraz sin48°=H8.

Odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych

0,6691=a8 oraz 0,7431=H8,

czyli a5,35 cm oraz H5,94 cm.

Możemy już obliczyć objętość V=5,352·5,94170,02 cm3.

Funkcje trygonometryczne kątów między odcinkami w graniastosłupie

Przykład 3

W prostopadłościanie jedna z krawędzi podstawy jest dwukrotnie dłuższa od drugiej. Wysokość prostopadłościanu jest równa dłuższej krawędzi podstawy. Obliczymy miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościanprostopadłościanprostopadłościan i zaznaczmy na nim dane i szukany kąt.

R1D1ksPe8cdXK

Przekątna podstawy i przekątna mniejszej ściany bocznej mają tę samą długość.

Możemy ją policzyć z twierdzenia Pitagorasa

2a2+a2=d22. Czyli d2=a5.

Przekątna większej ściany bocznej jest przekątną kwadratu, tak więc d1=2a2.

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta zaznaczonego na rysunku

5a2=8a2+5a2-2·2a2·a5·cosα.

Wtedy 8a2=4a210·cosα, czyli cosα=84100,6324.

A stąd α51°.

Przykład 4

Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt, którego cosinus wynosi 55. Krawędź podstawy ma długość 2. Obliczymy długość wysokości tego graniastostosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1D0LZD3xPjc4

Zauważmy najpierw, że trójkąt, którego bokami są dłuższa i krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowegograniastosłup prawidłowygraniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest prostokątny.

Dłuższa przekątna bryły ma długość 4a2+H2, a krótsza 3a2+H2, co wynika z twierdzenia Pitagorasa.

Zauważmy, że a2+3a2+H22=4a2+H22, co z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oznacza, że jest to trójkąt prostokątny.

Mamy zatem cosα=2d, a stąd 55=2d, czyli d=25.

Z twierdzenia Pitagorasa

H2+42=252,

czyli H2=4 i ostatecznie H=2.

Funkcje trygonometryczne kąta między odcinkiem, a płaszczyzną w graniastosłupie

Przykład 5

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się romb o przekątnych długości 68. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 32°. Obliczymy sumę długości krawędzi tego graniastosłupa. Wynik podamy w przybliżeniu do 0 , 01 .

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

RbF84GvBwvkYT

Dłuższa przekątna graniastosłupa, dłuższa przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.

Obliczamy długość krawędzi bocznej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: tg32°=H8.

Stąd otrzymujemy 0,6249=H8 i ostatecznie H5.

Obliczamy długość krawędzi podstawy z twierdzenia Pitagorasa

32+42=a2, a stąd a=5.

A zatem suma wszystkich krawędzi wynosi 12·5=60.

Przykład 6

Sinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do ściany bocznej wynosi 6313. Długość tej przekątnej wynosi 13. Obliczymy objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R6txcbbrhds9v

W zaznaczonym trójkącie prostokątnym obliczamy długość boku a3, korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: sinα=a313.

Zatem 6313=a313, a stąd krawędź podstawy a=6.

Obliczymy teraz wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa.

R1YWuKTe6nRIR

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa

H2+122=132. Stąd H=5.

Wyznaczamy objętość tego graniastosłupa

V = 6 6 2 3 4 5 = 270 3 .

Funkcje trygonometryczne kątów między płaszczyznami

Przykład 7

Oblicz pole przekroju sześcianu przedstawionego na rysynku, wiedząc, że cosinus kąta nachylenia przekroju do podstawy wynosi 1011, a krawędź sześcianu ma długość 3.

R49ZBCKALnnpo

Kąt nachylenia przekroju do podstawy będzie kątem pomiędzy dłuższym bokiem prostokąta, a krawędzią podstawy.

Oznaczmy go na rysunku przez α.

RIjKazBJncjpF

Mamy więc cosα=1011, a stąd 3b=1011.

Ostatecznie b=3,3.

Przekrój jest prostokątem o wymiarach 3×3,3, więc jego pole wynosi

P=3·3,3=9,9.

Ważne!
  1. Przypomnijmy, że kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie prostymgraniastosłup prostygraniastosłupie prostym mają miarę taką, jak kąty w podstawie tego graniastosłupa.

  2. Wróćmy do Przykładu 1:
    W podstawie graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach 3 cm4 cm i kącie o mierze 60° między nimi. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli wiemy, że krawędź boczna ma długość 6 cm.
    Zadanie to mogłoby być sformułowane w sposób następujący:
    Kąt pomiędzy dwiema ścianami bocznymi graniastosłupa prostego trójkątnego ma miarę 60°. Krawędzie podstawy, na których zbudowane są te ściany, mają długość 3 cm4 cm. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość 6 cm.

Słownik

graniastosłup prosty
graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy
graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie jest wielokąt foremny

prostopadłościan
prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

wysokość graniastosłupa
wysokość graniastosłupa

odcinek, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw graniastosłupa i którego końce należą do rozłącznych płaszczyzn podstaw