Funkcja $f$: ${\displaystyle \left\{-2,-1\frac{1}{3},-\frac{1}{2}, 0,1,2\frac{1}{2},3\right\}\to \left\{-1,-\frac{7}{8},-\frac{1}{2},-\frac{1}{9},1,2\frac{1}{8},3\frac{1}{2}\right\}}$
opisana jest za pomocą wzoru
${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-1}$.
Narysujemy graf funkcji $f$.

Rozwiązanie:

RmGPrINF0AdQd

Ilustracja przedstawia graf opisujący funkcję $f$. Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych równych elips, przy czym każda z nich reprezentuje jeden ze zbiorów - lewa zbiór $X$, a prawa zbiór $Y$. W każdym zbiorze umieszczone są elementy. Elementy ze zbioru $X$ mają przyporządkowane elementy ze zbioru $Y$ za pomocą strzałek przebiegających od danego elementu z $X$ do przyporządkowanemu mu elementu z $Y$. Pary utworzone przez funkcję są uporządkowane i są następujące: $\left(-2;1\right), \left(-1\frac{1}{3};-\frac{1}{9}\right), \left(-\frac{1}{2};-\frac{7}{8}\right), \left(0;-1\right), \left(1;-\frac{1}{2}\right), \left(2\frac{1}{2};2\frac{1}{8}\right), \left(3;3\frac{1}{2}\right)$. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają dokładnie jedno przyporządkowanie i wszystkie są wykorzystane.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Narysujmy graf tej funkcji.

Rozwiązanie:

R196CO9uzLBJ0

Ilustracja przedstawia graf opisujący funkcję $f$. Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych równych elips, przy czym każda z nich reprezentuje jeden ze zbiorów - lewa zbiór $X$, a prawa zbiór $Y$. W każdym zbiorze umieszczone są elementy. Elementy ze zbioru $X$ mają przyporządkowane elementy ze zbioru $Y$ za pomocą strzałek przebiegających od danego elementu z $X$ do przyporządkowanemu mu elementu z $Y$. Pary utworzone przez funkcję są uporządkowane i są następujące: $\left(-2\frac{1}{2};-2\right), \left(-1\frac{1}{4};-4\frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{8};-6\frac{3}{4}\right), \left(0;-7\right), \left(\frac{1}{6};-6\frac{2}{3}\right), \left(1\frac{4}{5};-3\frac{2}{5}\right), \left(2;-3\right), \left(3\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right), \left(4;1\right)$. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają dokładnie jedno przyporządkowanie i wszystkie są wykorzystane.

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ ze zbioru
${\displaystyle \left\{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\right\}}$
przyporządkowuje logarytm przy podstawie dwa  liczby $x$. Podamy wzór funkcji, narysujemy jej wykres oraz przedstawimy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji: $f\left(x\right)={\log }_{2}x$, gdy
${\displaystyle x\in \left\{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\right\}}$.

RsWHJqKbRhM0L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z sześciu punktów o następujących współrzędnych: $\left(\frac{1}{8};-3\right), \left(\frac{1}{4};-2\right), \left(\frac{1}{2};-1\right), \left(1;0\right), \left(2;1\right), \left(4;2\right), \left(8;3\right)$.

Zbiór par uporządkowanych:

${\displaystyle \left\{\left(\frac{1}{8}, -3\right), \left(\frac{1}{4}, -2\right), \left(\frac{1}{2}, -1\right), \left(1, 0\right), \left(2, 1\right), \left(4, 2\right), \left(8, 3\right)\right\}}$

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ ze zbioru $⟨30, 45⟩$ przyporządkowuje sumę jej dzielników naturalnych  mniejszych od liczby $x$. Opiszemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wykonamy najpierw tabelkę pomocniczą.

Po wykonaniu tabelki pomocniczej opiszemy funkcję $f$ za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{$$\left(30, 42\right)$, $\left(31, 1\right)$, $\left(32, 31\right)$, $\left(33, 15\right)$, $\left(34, 20\right)$, $\left(35, 13\right)$, $\left(36, 55\right)$, $\left(37, 1\right)$, $\left(38, 22\right)$, $\left(39, 17\right)$, $\left(40, 50\right)$, $\left(41, 1\right)$, $\left(42, 54\right)$, $\left(43, 1\right)$, $\left(44, 40\right)$, $\left(45, 33\right)$$\}$

Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wzoru
${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-5}}$,
gdzie ${\displaystyle x\in \left\{-3\frac{2}{5}, -2\frac{3}{7}, -1, 0, 1\frac{3}{4}, 4\frac{1}{8}\right\}}$.

Wyznaczymy zbiór wartości tej funkcji i zapiszemy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy zbiór wartości.

${\displaystyle f\left(-3\frac{2}{5}\right)= \frac{2·\left(-3\frac{2}{5}\right)+3}{-3\frac{2}{5} -5}=\frac{-\frac{19}{5}}{-\frac{42}{5}}=\frac{19}{42}}$

${\displaystyle f\left(-2\frac{3}{7}\right)=\frac{2·\left(-2\frac{3}{7}\right)+3}{-2\frac{3}{7}-5}=\frac{-\frac{13}{7}}{-\frac{52}{7}}=\frac{1}{4}}$

${\displaystyle f\left(-1\right)=\frac{2·\left(-1\right)+3}{-1-5}=-\frac{1}{6}}$

${\displaystyle f\left(0\right)=-\frac{3}{5}}$

${\displaystyle f\left(1\frac{3}{4}\right)=\frac{2·1\frac{3}{4}+3}{1\frac{3}{4}-5}=\frac{\frac{26}{4}}{-\frac{13}{4}}=-2}$

${\displaystyle f\left(4\frac{1}{8}\right)=\frac{2·4\frac{1}{8}+3}{4\frac{1}{8}-5}=\frac{\frac{90}{8}}{-\frac{7}{8}}=-\frac{90}{7}=-12\frac{6}{7}}$

${\displaystyle Z{W}_f=\left\{-12\frac{6}{7}, -2, -\frac{3}{5}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{19}{42}\right\}}$

Zapisujemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

${\displaystyle \left\{\left(-3\frac{2}{5}, \frac{19}{42}\right), \left(-2\frac{3}{7}, \frac{1}{4}\right), \left(-1, -\frac{1}{6}\right), \left(0, -\frac{3}{5}\right), \left(1\frac{3}{4}, -2\right), \left(4\frac{1}{8}, -12\frac{6}{7}\right)\right\}}$

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczb rzeczywistych