Niech $f\left(x\right)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_0$.

Ilorazem różnicowym funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_0$ dla przyrostu $h$ zmiennej niezależnej $x$ nazywamy wyrażenie

które jest równoważne wyrażeniu

Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

RU5WBbAftOj3C

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem $y=\mathrm{tg}\alpha ·x+b$. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne $\left(x_0+h;f\left(x_0+h\right)\right)$. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$. Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^3-4$ w punkcie $A=\left(-2,-12\right)$, gdy $h=5$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $x_0=-2$ oraz $f\left(x_0\right)=-12$.

Ponieważ $a=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, zatem:

$a=\frac{f\left(-2+5\right)-f\left(-2\right)}{5}=\frac{f\left(3\right)-f\left(-2\right)}{5}=\frac{23+12}{5}=7$.

Wyznaczymy równanie siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-2x^2+4$, gdy $x_0=-3$ oraz $h=7$.

Rozwiązanie

Ponieważ $x_0=-3$, zatem

$f\left(-3\right)=-2·{\left(-3\right)}^2+4=-14$.

$a=\frac{f\left(-3+7\right)-f\left(-3\right)}{7}=\frac{f\left(4\right)-f\left(-3\right)}{7}=\frac{-2·4^2+4-\left(-14\right)}{7}=-2$

Równanie siecznej do wykresu funkcji opisuje wzór: $y=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$, wobec tego:

$y=-2·\left(x+3\right)+\left(-14\right)=-2x-6-14=-2x-20$.

Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ we wzorze $y=ax+b$ siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^4-4$ dla $x_0=2$ i $h=2$.

Rozwiązanie

Jeżeli wykorzystamy wzór $b=-\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}·x_0+f\left(x_0\right)$, to:

$b=-\frac{f\left(2+2\right)-f\left(2\right)}{2}·2+f\left(2\right)=-f\left(4\right)+2·f\left(2\right)=$

$=-252+2·12=-228$

Sprawdzimy, czy sieczna do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^4-3$ dla $x_0=-3$ i $h=6$ jest prostą równoległą do osi $X$.

Rozwiązanie

Obliczamy:

$f\left(x_0\right)=f\left(-3\right)=2·{\left(-3\right)}^4-3=162-3=159$,

$f\left(x_0+h\right)=f\left(-3+6\right)=2·{\left(-3+6\right)}^4-3=162-3=159$.

Ponieważ zachodzi warunek $f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)$, zatem sieczna do wykresu funkcji jest prostą równoległą do osi $X$.

Wiadomo, że kąt nachylenia prostej do osi $X$ ma miarę $60°$. Prosta ta jest sieczną do wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2-1$ w punkcie o współrzędnych $\left(-2,3\right)$.

Wyznaczymy wartość przyrostu $h$ ($h\ne 0$), dla której podana prosta jest sieczną do wykresu funkcji $f$.

Rozwiązanie

Jeżeli kąt nachylenia prostej do osi $X$ ma miarę $60°$, to współczynnik kierunkowy siecznej do wykresu funkcji jest równy:

$a=\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$.

Zauważmy, że $x_0=-2$ oraz $f\left(x_0\right)=3$.

Korzystając ze wzoru $a=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, mamy:

$\sqrt{3}=\frac{{\left(-2+h\right)}^2-1-\left({\left(-2\right)}^2-1\right)}{h}$,

$\sqrt{3}h=4-4h+h^2-1-4+1$,

$h^2-4h-\sqrt{3}h=0$,

$h·\left(h-4-\sqrt{3}\right)=0$,

Zatem $h=0$ lub $h=4+\sqrt{3}$.

Ponieważ $h\ne 0$, więc $h=4+\sqrt{3}$.

stosunek różnicy wartości funkcji do różnicy argumentów, opisujący przyrost funkcji na danym przedziale

prosta, która przecina daną krzywą w co najmniej dwóch punktach