Warto przeczytać

Podczas jazdy na rowerze możemy się zastanowić, jakim ruchem się poruszamy. Jadąc prostą drogą, poruszamy się ruchem postępowym. Wchodząc w zakręt, poruszamy się ruchem krzywoliniowym po okręgu. Ale co z kołami? Gdy pedałujemy, one cały czas obracają się dookoła osi, na której są umocowane. To zdecydowanie jest ruch obrotowy. Ale ich środek masy też się przemieszcza, razem z całym rowerem. Jakim zatem ruchem porusza się punkt na powierzchni naszej opony? Odpowiedź jest prosta: ruchem złożonym – jest to złożenie ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Potraktujmy je oddzielnie i przyjrzyjmy się, czym te ruchy się różnią.

R125e2pr9Ue2d

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia sportowca jadącego na rowerze. W tle widoczne są rozmyte fragmenty ulicy, po której porusza się rowerzysta. Jazda na rowerze jest przykładem ruchu postępowego, ponieważ rowerzysta porusza się po linii prostej lub łuku, ale nie obraca się podczas ruchu wokół żadnej osi.

Rys. 1. Jazda na rowerze

W ruchu postępowym będziemy analizować zmianę położenia środka masy. Środek masy będzie się przemieszczał w ogólności po krzywoliniowym torze, a w szczególności po linii prostej – jak w przypadku jadącego prosto roweru. W ruchu obrotowym będziemy analizować obrót całego ciała dookoła osi obrotu. W szczególności ta oś obrotu może przechodzić przez środek masy ciała, jak w przypadku koła rowerowego, ale może być to również dowolna inna oś. W takim razie będziemy stosować różne wielkości do opisu tych ruchów. Przyjrzyjmy im się, usiłując ustalić różnice i zobaczyć analogie. Pomocą będą postawione pytania.

• Co jest przyczyną ruchu postępowego i obrotowego?

Aby nieruchome ciało wprowadzić w ruch postępowy, należy przyłożyć do niego siłę ${\overrightarrow{F}}_1$(Rys. 2.).  Jeśli siła ta następnie będzie zrównoważona, ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnym. Jeśli siła pozostanie niezrównoważona, ciało będzie poruszało się ruchem przyspieszonym. Aby ciało, które się nie obraca, wprowadzić w ruch obrotowy, musimy przyłożyć do niego moment siły $\overrightarrow{M}$. Różnica między siłą i momentem siłymoment siłymomentem siły jest taka, że siła przyłożona jest do środka masy ciała, a moment siły w pewnej odległości $r$ od środka masy. Jeśli wektor $\overrightarrow{r}$ jest prostopadły do kierunku działania siły, jak w prawej części Rys. 2., to odległość $r$ nazywamy ramieniem siły. Różnica ta została przedstawiona na Rys. 2. Matematycznie moment siły jest zdefiniowany jako iloczyn wektorowy siły i wektora łączącego oś obrotu z punktem przyłożenia siły:

R1KWHQPonurAv

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części. Po lewej widoczne jest ciało przedstawione w postaci poziomego niebieskiego prostokąta, leżącego na poziomej płaskiej powierzchni narysowanej niebieską linią. Do środka ciała przyłożono wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym jeden. Wektor prędkości skierowany jest w prawo i przedstawiony w postaci czerwonej, poziomej strzałki. Klocek porusza się ruchem postępowym. Po prawej stronie ilustracji zaprezentowano okrąg narysowany czarną linią. Promień okręgu wektor mała litera r zaznaczono w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej w prawo i łączącej środek okręgu z jego obwodem. Z punktu na obwodzie okręgu, który wskazuje strzałka promienia wychodzi wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Wektor siły widoczny jest w postaci czarnej pionowej strzałki skierowanej w górę. Każde ciało, które obraca się wokół dowolnej osi, na przykład środka okręgu, porusza się ruchem obrotowym. Nad rysunkami, na środku ilustracji przedstawiono równanie wiążące moment siły wielka litera M ze strzałką oznaczającą wektor z siłą przyłożoną do punktu ciała w ruchu obrotowym wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu siły i ramienia siły mała litera r. Ramię siły to odległość ciała lub punktu w obrębie ciała od osi obrotu.

• Jaka jest miara bezwładności ciała?

W ruchu postępowym miarą bezwładności ciała jest jego masa $m$. Im większa masa, tym większa musi być wartość siły, żeby nadać ciału określone przyspieszenie. W przypadku ruchu obrotowego, miarą bezwładności ciała jest moment bezwładności $I$. Moment bezwładnościmoment bezwładnościMoment bezwładności definiujemy jako $I=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$.

• Jakim ruchem będzie poruszało się ciało w zależności od działających na nie sił i momentów sił?

Odpowiedź na to pytanie stanowi treść zasady dynamiki Newtona. Pierwsza dla ruchu postępowego stwierdza, że jeśli na ciało nie działa siła, lub działające siły się równoważą, ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Dla ruchu obrotowego zasada ta mówi, że jeśli na ciało nie działają momenty sił, lub działające momenty sił się równoważą, to ciało się nie obraca lub obraca się ruchem jednostajnym.

A co się dzieje, jeśli siły się nie równoważą? Wtedy zastosujemy drugą zasadę dynamiki Newtona. W ruchu postępowym przyczyną ruchu przyspieszonego masy $m$ jest działanie niezrównoważonej wypadkowej siły $\overrightarrow{F}$. Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu postępowego stwierdza, że przyspieszenie, jakiego dozna takie ciało, będzie równe $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$.

W ruchu obrotowym przyczyną przyspieszonego obrotu ciała o momencie bezwładnościmoment bezwładnościmomencie bezwładności $I$ jest działanie niezrównoważonego wypadkowego momentu siłymoment siłymomentu siły $\overrightarrow{M}$. Przyspieszenie kątowe, jakiego dozna takie ciało, będzie równe $\overrightarrow{\epsilon }=\frac{\overrightarrow{M}}{I}$.

Drugą zasadę dynamiki możemy zapisać również w inny sposób. Ciało będące w ruchu ma pęd $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ . Zmiana pędu wymaga działania niezrównoważonej siły $\overrightarrow{F}$ w czasie $t$. Ciało, które się obraca, ma moment pędu $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=I\overrightarrow{\omega }$. Zmiana momentu pędu wymaga działania niezrównoważonego momentu siłymoment siłymomentu siły $\overrightarrow{M}$ w czasie $t$. Podsumowując:

Możemy zauważyć, że powyższe dwa sposoby zapisu drugiej zasady dynamiki są tożsame, jeśli masa i moment bezwładnościmoment bezwładnościmoment bezwładności są stałe. Wtedy:

• Jak opisywać ruch ciała poruszającego się ruchem postępowym i obrotowym?

Skoro w ruchu postępowym dochodzi do przemieszczenia środka masy, to będziemy opisywać zmianę wektora położenia w czasie $\overrightarrow{r}\left(t\right)$. Zmiana wektora położenia w czasie, to wektor przemieszczenia $\overrightarrow{\Delta r}$. W ruchu obrotowym ciało będzie obracało się dookoła osi obrotu. Skoro następuje obrót ciała, to zadamy pytanie, o jaki kąt obróciło się to ciało w czasie $\Delta t$?

To, jak szybko zmienia się wektor przemieszczenia $\overrightarrow{\Delta r}$ ciała, zależy od jego prędkości $\overrightarrow{v}\left(t\right)$. To, o jak duży kąt $\Delta \alpha$ obróciło się ciało, zależy od jego prędkości kątowej $\omega \left(t\right)$. Prędkość definiujemy jako zmianę wektora przemieszczenia w czasie, a prędkość kątową jako zmianę kąta w czasie:

To, czy prędkość ciała jest stała, czy zmienna zależy od wartości jego przyspieszenia $a\left(t\right)$. W ruchu obrotowym to, czy obrót następuje ze stałą, czy zmienną prędkością kątową zależy od tego, jakie jest przyspieszenie kątowe $\epsilon \left(t\right)$. Przyspieszenie definiujemy jako zmianę prędkości w czasie, a przyspieszenie kątowe jako zmianę prędkości kątowej w czasie:

Prędkość liniowa $v$ punktu znajdującego się w odległości $R$ od osi obrotu ciała obracającego się z prędkością kątową $\omega$ wynosi:

Przyspieszenie liniowe $a$ punktu znajdującego się w odległości $R$ od osi obrotu ciała obracającego się z przyspieszeniem kątowym $\epsilon$ wynosi:

Równania ruchu opisujące ruch postępowy jednostajnie zmienny i ruch obrotowy jednostajnie zmienny punktu materialnego mają analogiczną postać, znaną z kinematyki – prezentujemy je poniżej dla ruchu jednostajnie zmiennego:

• Jaką energię ma to ciało?

W ruchu postępowym energia kinetyczna ciała ma wartość związaną z jego masą i prędkością, wynosi ona $E_{kpost}=\frac{m{v}^2}{2}$. Energia ruchu obrotowego punktu materialnego ma analogiczną postać, którą możemy wyprowadzić, wstawiając do powyższego równania zależność $v=\omega R$:

Aby poznać energię kinetyczną bryły sztywnej, musimy zsumować energię kinetyczną wszystkich jej elementów. Wtedy:

Słowniczek