Warto przeczytać

Choć o ciśnieniu hydrostatycznym pisaliśmy e‑materiale Ciśnienie hydrostatyczne w obliczeniach), przypomnijmy, że:

W tym e‑materiale będziemy analizować zachowanie się cieczy w naczyniach połączonych.

Typowymi naczyniami połączonymi, często stosowanymi w pracowniach fizycznych i w rozważaniach teoretycznych, są naczynia w kształcie litery U, tzw. U–rurkiU‑rurkaU–rurki, których ramiona mają równe powierzchnie przekroju (Rys. 1.).

Warunek równowagi cieczy w naczyniach połączonych

Jeżeli do U–rurki nalejemy wody, to w obu jej ramionach wysokość słupa cieczy ustali się na jednakowym poziomie (Rys. 1.). Stanie się tak, ponieważ na ustalonej głębokości ciśnienie hydrostatyczne jest w całym naczyniu takie samo. Zależy ono jedynie od wysokości słupa wody i jej gęstości - por. wzór (1).

R1a6vTjZ2TkOo

Rys. 1. Na rysunku widać przezroczystą rurkę w kształcie litery „U” wypełnioną niebieską jednorodną cieczą o gęstości opisanej małą literą d. Wysokość słupów cieczy w obu pionowych ramionach rurki jest taka sama i opisana małą literą h. Na ciecz w rurce u jej wylotów działa ciśnienie atmosferyczne opisane małą literą p z indeksem dolnym zero.

Efekt ten wykorzystywany jest np. w wodowskazach (Rys. 2.), czyli przyrządach stosowanych do sprawdzania poziomu cieczy w zbiornikach wodnych.

RX3sfjaEwOOIE

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono w dużym uproszczeniu las, w którym wykopano studzienkę z wodą. Woda w studzience ma ten sam poziom, co woda (w zbiorniku) w rzece znajdującej się obok ponieważ jest połączona z nią poziomą rurą. Nad studzienką wybudowano wieżę. W studzience pływa pływak z podczepioną tyczką, na której górnym końcu znajduje się rysik oznaczający na skali rejestratora wysokość poziomu wody w studni. Informacja ta, dzięki antenie, za pomocą fal radiowych jest przekazywana do instytutów badawczych.

Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeżeli do U–rurki nalejemy wody, a potem do jednego z jej ramion dolejemy trochę nafty (ciecze te nie mieszają się, co możesz wiedzieć z lekcji chemii). W takiej sytuacji poziomy tych cieczy w obu ramionach będą różne (Rys. 3.) - dzieje się tak, ponieważ gęstości wody i nafty są różne. Można to łatwo wywnioskować, analizując warunek równowagi cieczy w naczyniach połączonychwarunek równowagi cieczy w naczyniach połączonychwarunek równowagi cieczy w naczyniach połączonych, w których - w każdym miejscu na ustalonej głębokości - ciśnienie hydrostatyczne musi być takie samo. Gdyby było inaczej, równowaga nie byłaby zachowana i ciecz zaczęłaby się poruszać i np. wylewać z naczynia.

R1YCaRH4Y6YWc

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono przezroczystą rurkę w kształcie litery „U” wypełnioną niebieską jednorodną cieczą o gęstości opisanej małą literą d z indeksem dolnym jeden. Do lewego ramienia rurki wlano dodatkowo trochę kremowej cieczy o gęstości d z indeksem dolnym dwa. Nad cieczami w rurce u jej wylotów panuje ciśnienie atmosferyczne opisane małą literą p z indeksem dolnym zero. Wysokość słupa kremowej cieczy w lewym ramieniu opisano małą literą h z indeksem dolnym dwa. Zmierzono także wysokość fragmentu słupa cieczy niebieskiej w prawym ramieniu rurki rozpoczynając pomiar w górę, od wysokości, na której znajduje się dolny koniec słupa cieczy kremowej. Wysokość tę oznaczono małą literą h z indeksem dolnym jeden.

Zapisując warunek równowagi ciśnień w U‑rurce przy pomocy wzoru (1), dostajemy

gdzie $p_0$ oznacza ciśnienie atmosferyczneciśnienie atmosferyczneciśnienie atmosferyczne, zaś gęstość i wysokość słupa wody oznaczono odpowiednio indeksami 1 i 2.

Wzór (2) może być wykorzystany do pomiaru gęstości jednej z cieczy, oczywiście pod warunkiem, że gęstość drugiej cieczy jest znana. Ogólnie rzecz biorąc, warunek równowagi ciśnień hydrostatycznych w naczyniach połączonych można również wykorzystać do zbadania zależności między gęstościami trzech niemieszających się cieczy (Przykład 1. poniżej), a nawet do wyznaczenia różnicy gęstości dwóch mieszających się cieczy (Przykład 2. poniżej).

Przykład 1. Trzy niemieszające się ciecze w U‑rurce

Do U‑rurki o przekroju poprzecznym $S = 1\,\text{cm}^2$ wlano rtęć o gęstości $d =13,6\,\text{g/cm}^3$. Następnie do obydwu ramion U‑rurki dolano dwie różne ciecze: wodę i naftę, o gęstościach $d_w = 1\,\text{g/cm}^3$ i $d_n = 0,8\,\text{g/cm}^3$. Obie ciecze miały tę samą objętość $V = 10\,\text{ml}$. Znajdźmy różnicę wysokości cieczy w ramionach U‑rurki.

R1CuOd6RZbuII

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono przezroczystą rurkę w kształcie litery „U” wypełnioną częściowo rtęcią (przedstawioną w szarym kolorze) o gęstości opisanej małą literą d. Do lewego ramienia rurki wlano dodatkowo trochę wody (niebieskiej cieczy) o gęstości opisanej małą literą d z indeksem dolnym jeden, a do prawego ramienia rurki wlano dodatkowo tyle samo nafty (żółtej cieczy) o gęstości opisanej małą literą d z indeksem dolnym dwa. Ponieważ rurka ma tę samą średnicę na całej swojej długości to wysokości słupów obydwu tych cieczy są takie same i opisano je wielką literą H. Całkowita wysokość słupa cieczy w prawym ramieniu jest wyższa od tego w lewym o wysokość opisaną małą literą h.

Zauważ, że różnica poziomów cieczy $h$ jest równa różnicy poziomów rtęci w ramionach U–rurki. Z warunku równowagi wynika, że ciśnienia hydrostatyczne na tym samym poziomie będą równe, gdy

gdzie $H=\frac{V}{S}=10\,\text{cm}^2$. Po przekształceniu zależności (3) dostajemy

Przykład 2. Dwie mieszające się ciecze w rurce Harrego

Przeanalizujmy doświadczenie z użyciem odwróconej U‑rurki, na górze której umieszczono zawór pozwalający na odpompowanie powietrza (przyrządmanometrprzyrząd taki nosi nazwę rurki Harrego). Doświadczenie, o którym będzie mowa, zostało zilustrowane na Rys. 5. Jeśli znamy gęstość jednej z cieczy (np. wody), doświadczenie to pozwala wyznaczyć gęstość drugiej cieczy (np. soku owocowego).

RoERItRdOifm2

Rys. 5. rysunek a. (po lewej) Na rysunku przedstawiono odwróconą ramionami w dół rurkę w kształcie litery „U”. Lewe ramię rurki zanurzone jest w pojemniku z niebieską cieczą o gęstości oznaczonej małą literą d z indeksem dolnym jeden. Natomiast prawe ramię jest zanurzone w pojemniku z różową cieczą o gęstości opisanej małą literą d z indeksem dolnym dwa. Na ciecz w obu pojemnikach działa ciśnienie atmosferyczne opisane małą literą p z indeksem dolnym zero. Z górnej części rurki wyprowadzono przezroczysty kawałek przelotowy rurki z zaworem pozwalającym na odsysanie powietrza z górnej rurki za pomocą pompy próżniowej. Na rysunku przedstawiono sytuację przed wypompowaniem powietrza przy otwartym zaworze. W tej sytuacji ciecze w ramionach rurki mają ten sam poziom, co w naczyniach, w których są zanurzone.
rysunek b. (po prawej) Na rysunku przedstawiono odwróconą ramionami w dół rurkę w kształcie litery „U”. Lewe ramię rurki zanurzone jest w pojemniku z niebieską cieczą o gęstości oznaczonej małą literą d z indeksem dolnym jeden. Natomiast prawe ramię jest zanurzone w pojemniku z różową cieczą o gęstości opisanej małą literą d z indeksem dolnym dwa. Na ciecz w obu pojemnikach działa ciśnienie atmosferyczne opisane małą literą p z indeksem dolnym zero. Z górnej części rurki wyprowadzono przezroczysty kawałek przelotowy rurki z zaworem pozwalającym na odsysanie powietrza z górnej rurki za pomocą pompy próżniowej. Na rysunku przedstawiono sytuację po wypompowaniu powietrza z rurki i zamknięciu zaworu. W tej sytuacji ciecze w ramionach rurki unoszą się na znaczną wysokość ponad poziom cieczy, w których są zanurzone. W przypadku lewego ramienia wysokość tę oznaczono małą literą h z indeksem dolnym jeden. W przypadku prawego ramienia wysokość tę oznaczono małą literą h z indeksem dolnym dwa.

W tym celu w otwartych, wypełnionych dwiema różnymi cieczami naczyniach umieszczamy wyloty ramion rurki w taki sposób, jak zostało to pokazane na Rys. 5a. Następnie, korzystając z umieszczonego na szczycie rurki zaworu odpompowujemy z rurki nieco powietrza. Odpompowanie powietrza spowoduje „zassanie” do ramion rurki cieczy (Rys. 5b.). Wysokość słupów cieczy zależy od tego, ile powietrza wypompowano z rurki. W stanie równowagi suma ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez słup cieczy i ciśnienia powietrza $p_x$ znajdującego się w rurce równa jest ciśnieniu atmosferycznemuciśnienie atmosferyczneciśnieniu atmosferycznemu $p_0$:

Wynika stąd, że

Jeśli znamy gęstość jednej z cieczy, np. $d_1$, to - korzystając z powyższej zależności i mierząc wysokości $h_1$ i $h_2$ - możemy łatwo wyznaczyć gęstość drugiej cieczy $d_2$.

Np. gdybyśmy w doświadczeniu z rurką Harrego wykorzystali wodę o gęstości $d_1=1\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ i spirytus o gęstości $d_2=0,79\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, to przy znajomości wysokości słupa wody $h_1=10\,\text{cm}$ moglibyśmy nie tylko wyznaczyć wysokość słupa spirytusu,

ale także wartość ciśnienia $p_x$ (wzór (5)) wytworzonego w rurce. Przy założeniu, że na zewnątrz panują normalne warunkiwarunki normalnenormalne warunki atmosferyczne, wynosiłoby ono

Słowniczek