Warto przeczytać

„Pojedynczy pomiar, to nie pomiar ...”

Powiedzenie to znane jest wśród metrologów, którzy wiedzą, że wynik pomiaru to nie tylko wartość mierzonej wielkości podana z odpowiednią jednostką. Wynik pomiaru, aby był użyteczny i wiarygodny, musi być podany razem z niepewnością pomiarowąniepewność pomiarowa standardowaniepewnością pomiarową, a pojedynczy pomiar tego nie zapewnia.

Przedmiotem pomiaru jest nieznana „wartość prawdziwa”, której pomiar może być obarczony różnymi „błędamibłąd pomiarubłędami” (Rys. 1.). Błędy, które mogą zmieniać się przy powtarzaniu pomiaru, to „błędy przypadkowe”. Ten sam błąd, który towarzyszy wszystkim pomiarom, to „błąd systematyczny”. Jest też możliwe, że któryś z pomiarów da wynik kompletnie inny od pozostałych. Może to być „błąd gruby”, czyli pomyłka. Każdy z tych rodzajów błędów ma inny wpływ na wynik pomiarów i wymaga innej reakcji wykonującego pomiar (zob. materiały pt. Błąd przypadkowy, błąd systematyczny oraz Jakie mogą być źródła niepewności pomiarowych?).

R1dmvWobg0jXo

Na białym tle w lewym dolnym rogu rysunku małe fioletowe kółko, od którego odchodzi linia zakończona dwoma grotami i kończąca się na większym czerwonym kółku. Linia posiada podpis: błąd gruby. Od czerwonego kółka biegnie krótki odcinek z dwoma grotami, na końcu którego jest żółte kółko. Odcinek posiada podpis: błąd systematyczny. Od żółtego kółka prowadzi ku górze linia z dwoma grotami w kierunku fioletowego kółka. Linia jest podpisana: błąd przypadkowy. Prawa strona grafiki zawiera liczne fioletowe kółeczka. Z lewej strony podpis: czerwone kółko: wartość prawdziwa mierzonej wielkości; fioletowe kółko: wyniki serii pomiarów powtarzalnych; żółte kółko: wynik pomiaru‑wartość średnia.

Podstawowe zasady wykonywania pomiarów i szacowania ich niepewności są następujące:

1. Zawsze powtarzamy pomiar w sposób możliwie niezależny i dopiero potem podejmujemy decyzję, co będzie podstawą szacowania niepewności.

2. Jeśli wyniki niezależnych pomiarów tej samej wielkości różnią się, to wykonujemy serię pomiarów, wyliczamy wartość średnią i jej niepewność standardową. Taki sposób wyznaczania niepewności nazywamy „metodą typu A” (sposób wyznaczania tej niepewności został pokrótce opisany w dalszej części tego materiału).

3. Jeśli przy tym okazuje się, że wynik któregoś z pomiarów znacząco odbiega od pozostałych, to sprawdzamy tego przyczynę. Jeśli jest to rezultat pomyłki lub innej przyczyny niezwiązanej z badanym procesem (tzw. błąd gruby), to eliminujemy ten pomiar przy liczeniu wartości średniej. Jeśli okazuje się, że jest to nowe nieoczekiwane zjawisko, to badamy je szczegółowo - Nobel czeka.

4. Jeśli kilkakrotnie wykonany pomiar daje ten sam wynik, to znaczy, że w naszych warunkach pomiarowych nie rejestrujemy efektów o charakterze przypadkowym, które zawsze występują w pomiarach.  Dzieje się tak wtedy, gdy efekty te są niewielkie, albo przyrząd pomiarowy jest mało na nie czuły. W takim przypadku niepewność pomiaru szacujemy na podstawie informacji o dokładności stosowanych urządzeń pomiarowych, wykorzystujemy własne umiejętności poprawnego wykonania pomiarów, bierzemy pod uwagę własności obiektu mierzonego, stabilności warunków zewnętrznych itd. Wszystko to stanowi podstawę „metody typu B” (metoda ta została pokrótce opisana w dalszej części tego materiału).

5. Na podstawie tego wszystkiego wyznaczamy niepewność całkowitą, która zawiera w sobie składowe wyznaczone metodą A i metodą B.

6. Jeśli jedna ze składowych jest zaniedbywalnie mała w stosunku do drugiej, to może być pominięta przy wyznaczaniu niepewności całkowitej.

Szacowanie niepewności metodą A

Kiedy stwierdzamy, że wyniki niezależnych pomiarów tej samej wielkości różnią się, to wykonujemy serię pomiarów. Metoda ta ma zastosowanie wtedy, gdy podczas wykonywania pomiarów występują błędy przypadkowe. Liczba pomiarów w serii zależy od decyzji wykonującego pomiar. Im większa jest ta liczba, tym mniejsza niepewność wyniku.

I tak, za wynik serii $x_1,x_2,\dots x_N$ pomiarów powtarzalnych wielkości fizycznej $x$ przyjmuje się średnią arytmetyczną:

Rozrzut wyników pomiaru powtarzalnego charakteryzuje się przy pomocy wielkości zwanej odchyleniem standardowym:

a niepewność standardową typu A tego wyniku $x_\text{śr}$ oblicza się ze wzoru na odchylenie standardowe średniej:

Wzory (1) i (3) oraz przykłady ich stosowania zostały dokładnie omówione w materiale pt. Wynik serii pomiarów powtarzalnych i jego niepewność standardowa, do przeczytania którego gorąco Cię zachęcamy.

Szacowanie niepewności metodą B

Z reguły, metoda szacowania niepewności typu B sprowadza się do określania niepewności wynikających ze skończonej dokładności przyrządów pomiarowych. Przyrząd pomiarowy powinien gwarantować taką dokładność, aby wynik pomiaru różnił się od rzeczywistej wartości $x$ mierzonej wielkości nie więcej niż o działkę elementarną $∆_p x$ przyrządu (dolny indeks 'p' - jak 'przyrząd' - został użyty po to, by zaznaczyć, jakie jest źródło tej niepewności).

W przypadku prostych przyrządów mechanicznych (tj. linijka milimetrowa, suwmiarka, termometr, waga szalkowa) działka elementarna odpowiada odstępowi sąsiadujących kresek podziałki (odpowiednio: $\Delta_pd=1\text{ mm}$ dla linijki milimetrowej, $\Delta_pd=0,05\text{ mm}$ dla suwmiarki, $\Delta_pT=1\text{ K}$ dla termometru alkoholowego i $\Delta_p m=1\text{ g}$ dla wagi szalkowej). Dla przyrządów cyfrowych działka elementarna odpowiada jednostce dekady wskazującej najmniejszą wartość (Rys. 2.). Należy przy tym pamiętać, że w niektórych przyrządach dokładność może być też określona przez producenta w inny sposób (np. dla mierników elektromagnetycznych często zdarza się, że niepewność tę można wyznaczyć ze wzoru: $\Delta_px=\frac{\text{C}\cdot\text{zakres}}{100}$, gdzie $\text{C}$ jest „klasąklasa przyrządu pomiarowegoklasą” przyrządu, a „zakres” oznacza największą możliwą wartość, jaka można zmierzyć przy jego użyciu.

R1GJ3ftxLBgvf

Na białym tle widoczna jest pozioma biała linijka z podziałką milimetrową: na górze cyfry są od zera do piętnastu w kolorze czarnym, na dole cyfry są od piętnastu do trzydziestu do góry nogami w kolorze czerwonym. Pod linijką znajduje się przyrząd, na którym widać szereg białych przycisków na czarnym tle oraz mały ekran, na którym widać liczbę 3,18 metra. Jest to dalmierz cyfrowy.

Niekiedy, oprócz niepewności przyrządu pomiarowego do niepewności pomiarowej typu B dodaje się również tzw. niepewność eksperymentatora $\Delta_e x$. Jest ona określana przez osobę wykonującą pomiar, a jej wartość szacowana jest na podstawie umiejętności eksperymentatora i sposobu wykonywania pomiarów. Na przykład, podczas pomiaru czasu stoperem mechanicznym o dokładności $\Delta_pt=0{,}5\text{ s}$, niepewność związana z reakcją eksperymentatora wynosi ok. $\Delta_e t=0{,}2\text{ s}$. Obydwie niepewności są od siebie niezależne i aby uzyskać niepewność graniczną pomiaru czasu $\Delta t$ należy je do siebie dodać, tj. $\Delta t=\Delta_pt+\Delta_et=0{,}7\text{ s}$.

We wszystkich powyższych przypadkach wartość $\Delta x$ traktujemy jak niepewność granicznąniepewność pomiarowa granicznaniepewność graniczną (zwaną też niepewnością maksymalną) mierzonej wielkości $x$. Innymi słowy zakładamy, że odchylenie wyniku pomiaru $x$ od wartości rzeczywistej nie wykracza poza przedział $(x-\Delta x, x+\Delta x)$, gdzie

a z prawdopodobieństwem równym 0,68 mieści się w przedziale $(x-u_B(x),x+u_B(x))$, gdzie

Posługiwanie się wielkością $u_B(x)$ zamiast $\Delta x$ ułatwia porównywanie niepewności pomiarowych typu B z niepewnościami typu A, do których stosuje się tę samą zasadę 68% (Rys. 3.).

RYFPjRMUxgwAU

Na białym tle w lewym dolnym rogu rysunku małe fioletowe kółko, Z prawej strony szare duże koło, w środku którego jest żółte małe kółko, a wewnątrz i na zewnątrz liczne fioletowe kółeczka. Niedaleko brzegu szarego koła widać jedno czerwone kółko. Od żółtego kółka do brzegu szarego koła biegnie odcinek z dwoma grotami podpisany: mała litera u, początek nawiasu zwykłego, mała litera x, koniec nawiasu zwykłego. Z lewej strony podpis: czerwone kółko: wartość prawdziwa mierzonej wielkości; fioletowe kółko: wyniki serii pomiarów powtarzalnych; żółte kółko: wynik pomiaru‑wartość średnia.

Obliczanie niepewności całkowitej

Jeśli niepewność $u_A(x)$ jest porównywalna z niepewnością $u_B(x)$, to całkowita niepewność pomiaru powinna uwzględniać oba typy niepewności.

Oczywiście, jeśli jedna z tych niepewności jest dużo większa, np. o rząd wielkości, od drugiej, to tę drugą można pominąć i za niepewność całkowitą przyjąć tę, która ma wartość dominującą.

Prawidłowy zapis wyniku pomiaru

Zapis wyniku najlepiej zacząć od prawidłowego zapisu niepewności pomiarowej, ponieważ niepewność zaokrągla się do dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zapisuje się z dokładnością określoną przez prawidłowy zapis niepewności. Oznacza to, że ostatnia cyfra wyniku pomiaru i jego niepewności muszą stać na tym samym miejscu dziesiętnym. Zaokrąglanie niepewności i wyniku odbywa się zgodnie z zasadami zaokrągleń obowiązującymi w matematyce: cyfry 0‑4 zaokrągla się w dół (poprzedzająca je cyfra nie ulega zmianie), natomiast cyfry 5‑9 zaokrągla się w górę (cyfrę poprzedzającą zwiększa się o jeden).

Poniżej podano kilka przykładowych, poprawnych zapisów tego samego wyniku pomiaru:

• $t=12{,}345\text{ s},\hspace{0.5cm}u(t)=0{,}067\text{ s}$,

• $t=12{,}345~(0{,}067)\text{ s}$,

• $t=12{,}345~(67)\text{ s}$.

Ostatni zapis jest powszechnie stosowany w publikacjach naukowych i danych katalogowych, dlatego jest on najbardziej zalecany. Na koniec, zanim przejdziemy do przykładu, przypomnijmy jeszcze, że stosowany powszechnie (i niestety nie zawsze poprawnie) zapis niepewności pomiarowej przy użyciu symbolu $\pm$ odnosi się tylko do niepewności granicznej. Innymi słowy zapis wyniku pomiaru postaci:

$t=(12{,}345\pm 0{,}067)\text{ s}$

wcale nie oznacza, że niepewność standardowa $u(t)$ wynosi $0{,}067\text{ s}$. Oznacza on, że niepewność graniczna $\Delta t$ tego pomiaru jest równa $0{,}067\text{ s}$.

Przykład 1.

1. Co i w jaki sposób zmierzono?

Równoległa wiązka promieni świetlnych padająca na soczewkę, po przejściu przez nią, może skupić się w punkcie zwanym ogniskiem. Taką soczewkę nazywamy skupiającą (Rys. 4.).

R1O34xnLcTdmv

Na czarnym tle w centralnej części widać szklaną soczewkę dwuwypukłą. Z lewej strony widać jasne równoległe linie poziome wchodzące do soczewki. W soczewce widać linie o mniejszej intensywności i nieco zmienionym kierunku. Z soczewki wychodzą jasne linie, które zbiegają się w jednym punkcie. Widać również refleksy świetlne niedaleko soczewki. Przy liniach jest czerwona poświata.

Odległość między płaszczyzną soczewki, a ogniskiem nazywamy ogniskową $f$. Cechą soczewek rzeczywistych jest zależność długości ogniskowania promieni świetlnych od ich położenia pomiędzy środkiem a brzegiem soczewki (tzw. aberracja sferyczna). Jej efekt, widoczny na Rys. 4., sprawia, że trudno jest określić precyzyjnie wartość $f$.

W tym przykładzie zmierzymy wartość ogniskowej soczewki wykonując $N=20$ pomiarów ogniskowej. W każdym pomiarze oświetlimy fragment soczewki wiązką laserową, a następnie przesuwając ekran znajdujący się po drugiej stronie soczewki odszukamy punkt, w którym plamka lasera jest najmniejsza. Wartość odległości między soczewką a ekranem zmierzymy linijką o podziałce milinetrowej.

2. Seria pomiarowa

Wyniki pomiarów w milimetrach [mm], podane w przypadkowej kolejności, to:

56, 54, 54, 57, 53, 54, 55, 56, 55, 52, 58, 53, 51, 52, 55, 54, 54, 55, 53, 63.

3. Histogram

HistogramhistogramHistogram, który przygotowano na podstawie zebranych pomiarów cząstkowych, przedstawiono na Rys. 5. (zob. materiał pt. Co to takiego histogram?).

Rum5bGjwRhXSh

Na ilustracji znajduje się dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma jest wyskalowana od 50 do 63 i podpisana: mała litera f, początek nawiasu kwadratowego, mała litera m mała litera m, koniec nawiasu kwadratowego. Oś pionowa jest wyskalowana od zera do sześciu i ma podpis: liczba zderzeń. W polu wykresu widać dziewięć słupków prostokątnych o różnej barwie. Blisko punktów o współrzędnych 52 i 57 widać czarne przerywane pionowe linie biegnące przez całe pole wykresu, między liniami ustawiono odcinek z dwoma grotami. W środku między tymi pionowymi odcinkami jest gruba pionowa linia czarna. Na górze linii podpis: mała litera f wskaźnik dolny : mała litera ś mała litera r. Nad lewą przerywaną linią pionową podpis: mała litera f wskaźnik dolny : mała litera ś mała litera r; znak minus, mała litera u wskaźnik dolny c, początek nawiasu zwykłego, mała litera f, koniec nawiasu zwykłego. Nad prawą przerywaną linią pionową podpis: mała litera f wskaźnik dolny : mała litera ś mała litera r; znak plus, mała litera u wskaźnik dolny c, początek nawiasu zwykłego, mała litera f, koniec nawiasu zwykłego. Dziewiąty prostokąt jest w pobliżu punktu o współrzędnej 63.

Jak widać, jeden z pomiarów znacząco odbiega od pozostałych. Jego przyczyną może być nieusunięte zabrudzenie (okruch, tłuszcz, owad, itp.) znajdujące się na fragmencie soczewki. Uznajemy ten pomiar za błąd gruby i eliminujemy z dalszych obliczeń. Mamy zatem $N=19$ pomiarów.

4. Wynik pomiaru - średnia arytmetyczna

Obliczona ze wzoru (1), średnia z wykonanych pomiarów wynosi:

Powyższy wynik, podany z dokładnością do dziesięciotysięcznych części milimetra, wygląda nieco dziwacznie. Zaokrąglimy go dopiero wtedy, gdy wyznaczymy niepewność standardową pomiaru.

5. Odchylenie standardowe serii pomiarów - niepewność standardowa typu A

Niepewność $u_A(f)$ wartości $f_\text{śr}$ (7) wyznaczamy ze wzoru (3):

6. Dokładność przyrządu i niepewność eksperymentatora - niepewność standardowa typu B

Niepewność graniczną naszego przyrządu jest działka elementarna linijki $\Delta_pf=1\text{ mm}$. Chcąc oszacować niepewność eksperymentatora powinniśmy wziąć pod uwagę jego ostrość widzenia (właściwą metodą byłoby zaproszenie do eksperymentu wielu eksperymentatorów i porównanie średnich ogniskowych uzyskanych przez każdego z nich). Korzystając z tzw. równania soczewki (więcej na ten temat przeczytasz w materiale Badamy związek między ogniskową soczewki a położeniem przedmiotu i obrazu) można przyjąć, że wada wzroku 0,25 dioptrii skutkować będzie przesunięciem ostrej plamki na ekranie w odległości 10 cm od oka obserwatora o wartość $\Delta_e f=3\text{ mm}$.

Niepewność graniczna wyniesie zatem

a niepewność standardowa typu B

7. Niepewność całkowita i końcowy wynik

Standardową niepewność całkowitą wyznaczamy ze wzoru (6) i zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

a ostateczny wynik zapisujemy następująco:

Słowniczek