Istnieją różne opinie co do matematycznej definicji wielościanu. Jugosłowiański matematyk Branko Grünbaum (1929 - 2018) wyraził następującą opinię: Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa, i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Chauchy’ego i wielu innych. Nigdy nie udało im się określić, czym są wielościany. Aby nie powtórzyć tego błędu, zacznijmy od definicji ostrosłupa.
Ostrosłup
Definicja: Ostrosłup
Ostrosłupem nazywamy taki wielościanwielościanwielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nie należy do płaszczyzny podstawy.
Zobacz, jak różne mogą być ostrosłupy. Użyj punktów na suwakach, aby zmieniać rodzaj ostrosłupa, jego wysokość i promień. Poruszając myszką na ilustracji możesz zaobserwować kształt bryły z różnej perspektywy. Przeciągnij myszką, aby bryła zaczęła się obracać. Zwróć uwagę na te elementy brył, które występują w definicji ostrosłupa. Pamiętaj, że nazwa ostrosłupa pochodzi od ilości boków wielokąta podstawy. Stąd na przykład ostrosłup czworokątny, to ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt. Jednocześnie jednak ten sam ostrosłup można nazwać pięciościanem, bo jest to wielościan o pięciu ścianach. Z drugiej strony, nie każdy pięciościan jest ostrosłupem czworokątnym! Uważaj zatem, czytając teksty zadań, by prawidłowo zinterpretować bryłę, której nazwę zamieścił autor.
Zapoznaj się apletem przedstawiającym rodzaje ostrosłupów, zwróć uwagę na te elementy bryły, które występują w definicji ostrosłupa. Pamiętaj, że nazwa ostrosłupa pochodzi od ilości boków wielokąta podstawy. Stąd na przykład ostrosłup czworokątny, to ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt. Jednocześnie jednak ten sam ostrosłup można nazwać pięciościanem, bo jest to wielościan o pięciu ścianach. Z drugiej strony, nie każdy pięciościan jest ostrosłupem czworokątnym! Uważaj zatem, czytając teksty zadań, by prawidłowo zinterpretować bryłę, której nazwę zamieścił autor.
RfMLb9dZaxvnd
Nazwijmy teraz podstawowe elementy ostrosłupa, aby móc precyzyjnie je charakteryzować i opisywać. Przypomnijmy podstawowe nazewnictwo, którego będziemy używać w przypadku ostrosłupów:
R1Zf6vOw4iiej
Prezentacja przedstawia budowę ostrosłupa.
Ilustracja pierwsza przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Wysokość ostrosłupa podpisano literą h, krawędź ściany bocznej podpisano literą e, z kolei wysokość jednego z trójkątów stanowiących ścianę boczną ostrosłupa podpisano wysokość ściany bocznej i zaznaczono literą s.
Ilustracja druga przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Wysokość ostrosłupa podpisano literą h, krawędź ściany bocznej podpisano literą e, wysokość ściany bocznej podpisano literą s. Jeden z trójkątów stanowiących ścianę boczną ostrosłupa zamalowano i podpisano ściana boczna.
Ilustracja trzecia przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Krawędź ściany bocznej podpisano literą e, wysokość ściany bocznej podpisano literą s. Wysokość h zaznaczono kolorem i podpisano wysokość ostrosłupa.
Ilustracja czwarta przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Wysokość ostrosłupa podpisano literą h, krawędź ściany bocznej podpisano literą e, wysokość ściany bocznej podpisano literą s. Punkt, w którym wysokość styka się z podstawą podpisano spodek wysokości.
Ilustracja piąta przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Wysokość ostrosłupa podpisano literą h, krawędź ściany bocznej podpisano literą e, wysokość ściany bocznej podpisano literą s. Punkt, w którym łączą się wierzchołki wszystkich ścian bocznych ostrosłupa podpisano wierzchołek.
Ilustracja szósta przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, którego obydwa boki podpisano literą a. Wysokość ostrosłupa podpisano literą h, wysokość ściany bocznej podpisano literą s, a krawędź ściany bocznej e zaznaczono kolorem i podpisano krawędź boczna.
Pracując na lekcjach matematyki w dziale stereometrii, szybko można zauważyć, że analiza treści zadania jest jednym z najważniejszych etapów jego rozwiązania. W zadaniach z geometrii, oprócz umiejętności poprawnej interpretacji pojęć użytych w poleceniu, kluczowe znaczenie dla rozwiązania zadania ma naszkicowanie użytecznego rysunku. Na poniższym przykładzie możesz zauważyć, że ta sama bryła obserwowana i rysowana w rzucie równoległym pod różnymi kątami, może być odebrana przez nas w zupełnie inny sposób. Posługując się poniższym apletem i zmieniając za pomocą myszki kąt obrotu dookoła osi poziomej i osi pionowej, obserwuj, która pozycja jest lepsza, by zauważyć najbardziej charakterystyczne własności bryły na płaskim rysunku. Przeciągnij myszką, aby bryła zaczęła się obracać.
Pracując na lekcjach matematyki w dziale stereometrii, szybko można zauważyć, że analiza treści zadania jest jednym z najważniejszych etapów jego rozwiązania. W zadaniach z geometrii, oprócz umiejętności poprawnej interpretacji pojęć użytych w poleceniu, kluczowe znaczenie dla rozwiązania zadania ma naszkicowanie użytecznego rysunku. Ta sama bryła obserwowana i rysowana w rzucie równoległym pod różnymi kątami, może być odebrana przez nas w zupełnie inny sposób. Zapoznaj się z apletem i zastanów jak najczytelniej narysować rysunek.
R1cxhMEGUiHNo
Skupimy się teraz na szkicowaniu ostrosłupów na płaszczyźnie. Należy zaznaczyć, że rysunek nie jest tu celem, jak na przykład w zadaniach konstrukcyjnych, ale jednym ze środków do uzyskania rozwiązania zadania. Dlatego też rysunek sporządzamy tak, aby były w nim możliwie najbardziej uwidocznione te elementy i te zależności, które wykorzystamy rozwiązując problem. Rysujemy więc w rzucie całą bryłę lub tylko jej część. Niekiedy obok rysunku zasadniczego wykonujemy rysunki pomocnicze ścian lub przekrojów ostrosłupa tak, jak wyglądają one w rzeczywistości, to znaczy nie zniekształcone w procesie rzutowania.
Mając rysunek przeprowadzamy analizę warunków zadania, co powinno doprowadzić do uświadomienia sobie własności danego ostrosłupa i zależności między jego elementami. Powinno również pozwolić na wykrycie nowych związków i zależności między elementami bryły, a czasami również do korekty pierwotnego rysunku.
Przykład 1
Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o bokach pozostających w stosunku dwa do jednego, a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy. Oblicz sumę długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa, jeżeli wiadomo, że jego wysokość ma długość i jest trzykrotnie dłuższa od krótszego boku prostokąta podstawy.
Rozwiązanie:
Zwróćmy uwagę na fakt, że najbardziej istotnym elementem charakteryzującym nasz ostrosłup jest informacja o jego spodku wysokości. Jeżeli pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy, to jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest jednocześnie jego wysokością. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania:
R12OHJHxrj69x
Zauważmy, że z definicji prostej prostopadłej do płaszczyzny wynika, że ściany ostrosłupa oraz są trójkątami prostokątnymi. Ponadto z treści zadania mamy dane długości , oraz .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla oraz otrzymujemy:
oraz analogicznie
Pozostaje obliczenie długości krawędzi ostrosłupa. W tym celu wróćmy do analizy własności bryły. Zauważmy, że rzutem prostokątnym prostej na płaszczyznę podstawy jest prosta oraz kąt jest prosty. Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłychtwierdzenie o trzech prostych prostopadłychtwierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika zatem, że kąt jest prosty, czyli jest prostokątny
Inaczej uzasadnić tę samą własność można, dorysowując prostopadłościan zawierający nasz ostrosłup.
R10Gxima7wqZA
Ponieważ w tym prostopadłościanie krawędź jest prostopadła do płaszczyzny , to jest prostopadła do każdego odcinaka zawartego w tej płaszczyźnie, w szczególności do odcinka . Ponownie możemy zatem wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w :
Ostatecznie suma długości krawędzi bocznych danego ostrosłupa jest równa
Zauważmy, że w rozwiązaniu tego zadania najbardziej istotnym krokiem było zauważenie, że ściana jest trójkątem prostokątnym. Warto zapamiętać, że w takim ostrosłupie również ściana jest trójkątem prostokątnym, czego dowodzimy analogicznie, jak w przypadku trójkąta .
Przykład 2
Podstawą ostrosłupa jest romb o boku i kącie ostrym . Spodek wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia się przekątnych podstawy. Wiedząc, że długość wysokości ostrosłupa jest równa długości dłuższej przekątnej podstawy ostrosłupa, oblicz pole jednej ściany bocznej ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Podstawą ostrosłupa jest romb, a więc jego boki są równej długości, przekątne zaś dzielą się na połowy, są do siebie wzajemnie prostopadłe i są dwusiecznymi kątów wewnętrznych rombu.
R5jSIKCdmOhKz
Zauważmy jednak, że szkic takiej bryły jest identyczny ze szkicem ostrosłupa o podstawie kwadratu. Aby lepiej zapamiętać, że podstawa jest rombem o kącie , narysujmy obok ten czworokąt bez zniekształceń rzutowych.
R1T7iSgsKIbny
Ważna jest dla nas dłuższa przekątna rombu, bo równa jest wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że długość odcinka można obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów dla trójkąta , którego kąt rozwarty ma miarę .
Wysokość ostrosłupa jest zatem równa i tworzy kąty proste z każdą prostą podstawy przechodząca przez punkt . Aby obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa (potrzebną do wyznaczenia jej pola), wystarczy zatem obliczyć długość promienia okręgu wpisanego do rombu. Możemy to zrobić wyznaczając połowę wysokości rombu.
Rgw6Ria7LmoT7
Korzystamy z wartości sinusa kąta w , pamiętając, że bok rombu ma długość . Promień okręgu wpisanego w romb jest równy Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .
RoNyke1smdOME
Teraz możemy już obliczyć pole ściany bocznej.
Zauważmy, że tym razem kluczowym elementem rozwiązania zadania było obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa. Niestety częstym błędem jest założenie, że ściana boczna jest trójkątem równoramiennym, a co za tym idzie, że punkt jest środkiem odcinka . Wynika to właśnie z niejednoznaczności rysunku rzutowego ostrosłupa o podstawie rombu i „utożsamianiu” go z rysunkiem ostrosłupa o podstawie kwadratu.
Słownik
wielościan
wielościan
wielościanem nazywamy bryłę przestrzenną, której wszystkie ściany są wielokątami
twierdzenie cosinusów
twierdzenie cosinusów
twierdzenie określające związek między kątem wewnętrznym trójkąta i bokami tego trójkąta. W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego
twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
Twierdzenie pozwalające ustalić prostopadłość prostych w przestrzeni. Jeżeli prosta jest rzutem prostokątnym prostej na daną płaszczyzną, to prosta leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej .