Wypiszemy teraz kilka par wektorów przeciwnych wyznaczonych przez wierzchołki równoległoboku. Wektorami przeciwnymi są na przykład $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$ i $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DA}$ i $\overrightarrow{BC}$. Możemy zapisać ten fakt z użyciem znaków równości: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$.

R8vwYW9vMp6wh

Na ilustracji znajduje się równoległobok ABCD.

Rozważmy sześciokąt foremny $ABCDEF$. Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta oznaczmy literą $G$. Z własności sześciokąta foremnego wynika, że odcinki $AB$, $FC$, $ED$ są równoległe. Tę samą własność mają odcinki $AF$, $BE$, $CD$. Równoległe są również odcinki $BC$, $AD$ i $FE$. Ponadto wiadomo, że każdy z trójkatów $ABG$, $BCG$, $CDG$, $DEG$, $EFG$ i $FAG$ jest równoboczny i przystający do pozostałych.

RAJ6Wq0OBQrRA

Na ilustracji znajduje się sześciokąt ABCDEF. Oznaczmy przez G środek tego sześciokąta. Są też zaznaczone dłuższe przekątne sześciokąta, które tworzą sześć trójkątów równobocznych.

Wówczas:

• wektory $\overrightarrow{AD}$ i $\overrightarrow{CB}$ nie są przeciwne, ponieważ mają różne długości, pomimo że mają ten sam kierunek i przeciwne zwroty,

• wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{ED}$ nie są przeciwne, ponieważ mają zgodne zwroty, pomimo że mają ten sam kierunek i tę samą długość,

• wektory $\overrightarrow{AG}$ i $\overrightarrow{GB}$ nie są przeciwne, ponieważ wektory mają różne kierunki, pomimo że mają tę samą długość.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Niech $K$, $L$, $M$, $N$ będą odpowiednio środkami boków $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tego czworokąta. Uzasadnimy, że wektory $\overrightarrow{KL}$ i $MN$ są przeciwne.

RkXBI1WYYhdyE

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły A B C D. W połowie odcinka A D zaznaczono punkt N, w połowie odcinka D C zaznaczono punkt M, w połowie odcinka B C zaznaczono punkt L, w połowie odcinka A B zaznaczono punkt K. Zaznaczono wektory: $\overrightarrow{KL}$ oraz $\overrightarrow{MN}$.

Uzasadnienie

Zauważmy, że odcinek $KL$ jest linią środkową trójkąta $ABC$ (łączy środki boków $AB$ i $BC$ trójkąta $ABC$), zaś odcinek $MN$ jest linią środkową trójkątalinia środkowa trójkątalinią środkową trójkąta $ACD$ (łączy środki boków $AD$ i $CD$ trójkąta $ACD$). Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta wiemy, że jest ona równoległa do trzeciego boku trójkąta i jej długość jest połową długości trzeciego boku. Ponieważ każdy z odcinków $MN$ i $KL$ jest równoległy do odcinka $AC$ i ich długości są równe połowie długości odcinka $AC$, więc wektory $\overrightarrow{KL}$ i $\overrightarrow{MN}$ są zawarte w równoległych odcinkach. Mają więc ten sam kierunek oraz równe długości. Z uporządkowania punktów $K$ i $L$ oraz $N$ i $M$ widzimy, że zwroty wektorów $\overrightarrow{KL}$ i $\overrightarrow{MN}$ są przeciwne. Zatem wektory $\overrightarrow{KL}$ i $\overrightarrow{MN}$ są przeciwne.

Uzasadnimy, że wybrane pary wektorów są parami wektorów przeciwnych.

RHIuoWyCi3S42

Na ilustracji znajduje się kartka w kratkę. Oznaczono, że jedna kratka to jedna jednostka. Na kartce oznaczone są punkty: A, B, C, D, E, F, G oraz H. Od punktu C leżącego w dolnym lewym rogu obrazka odchodzi strzałka do punktu B leżącego nad C o trzy kratki wyżej i dwie kratki w prawo. Od punktu B odchodzi strzałka do punktu F leżącego trzy kratki w prawo i jedną w dół od punktu B. Od punktu F odchodzą dwie strzałki. Jedna strzałka do punktu G leżącego dwie kratki w lewo i jedną w dół od punktu F oraz strzałka do punktu E leżącego dwie kratki w prawo i jedną w górę od punktu F. Od punktu E odchodzi strzałka do punktu D leżącego trzy kratki w lewo i jedną w górę od punktu E. Od punktu A leżącego na górze obrazka odchodzą dwie strzałki: jedna do punktu B leżącego dwie kratki w lewo i trzy w dół od punktu A oraz strzałka do punktu H leżącego trzy kratki w prawo i jedną w dół od punktu A.

Zauważmy, że aby przemieścić się z punktu $A$ do punktu $B$ wystarczy przesunąć się o dwie jednostki w lewo i trzy jednostki w dół. Dokładnie taki sam ruch pozwala przemieścić się z punktu $B$ do punktu $C$. Oznacza to, że wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ są równoległe (mają to samo nachylenie do poziomych lini siatki) i mają równe długości (wynika to np. z twierdzenia Pitagorasa lub przystawania odpowiednich trójkątów prostokątnych). Kierunki ruchu od punktów początkowych do końcowych wskazują też, że te wektory mają takie same zwroty. Zatem wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ są równe, a wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CB}$ są przeciwne.

Zwróćmy uwagę, że aby dostać się z punktu $A$ do punktu $H$ możemy wykonać przesunięcie o trzy jednostki w prawo i jedną jednostkę w dół. Dokładnie taka sama sekwencja ruchów pozwala przemieścić się z punktu $D$ do punktu $E$ oraz z punktu $B$ do punktu $F$. Argumenty analogiczne jak w poprzednim przypadku pozwalają stwierdzić, że wektory $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{DE}$ i $\overrightarrow{BF}$ są równe. Wynika stąd, że wektor $\overrightarrow{ED}$ jest przeciwny do wektorów $\overrightarrow{AH}$ i $\overrightarrow{BF}$.

Zauważmy jeszcze, że wektory $\overrightarrow{FE}$ i $\overrightarrow{FG}$ są wektorami przeciwnymi - z powodów podobnych do powyższych.

Romb $ABCD$ i trapez $EGHJ$ można podzielić na przystające trójkąty równoboczne $ABD$, $DBC$, $EFJ$, $FHJ$, $FGH$. Wypiszemy przykładowe pary wektorów przeciwnych.

RnwWAJeqNxpE8

Ilustracja przedstawia dwie figury geometryczne. Pierwsza z nich to romb A B C D, zaznaczono w nim również przekątne. Druga z figur to trapez równoramienny E G H J. Punkt F leży dokładnie w połowie dłuższej podstawy E G. Zaznaczono na trapezie odcinki J F oraz H F, dzieląc tym samym trapez na trzy trójkąty równoboczne. Wyróżniono również w trapezie przekątną E H.

Zauważmy, że przeciwne są m. in. wektory w następujących parach:

• $\overrightarrow{AD}$ i $\overrightarrow{JE}$

• $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{FE}$

• $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AC}$

• $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{HE}$

• $\overrightarrow{DB}$ i $\overrightarrow{FJ}$

• $\overrightarrow{BD}$ i $\overrightarrow{HG}$

• $\overrightarrow{DC}$ i $\overrightarrow{GF}$.

wektory, które mają ten sam kierunek, równe długości i przeciwne zwroty

prosta, na której leżą początek i koniec niezerowego wektora

odległość początku wektora od jego końca

odcinek łączący punkty będące środkami dwóch boków trójkąta, linia środkowa trójkąta jest równoległa do trzeciego boku trójkąta, a jej długość jest równa połowie długości tego boku