Przeczytaj

Warto przeczytać

W ruchu postępowym miarą bezwładności jest masa. Im większa masa, tym większą siłę trzeba przyłożyć, aby nadać ciału to samo przyspieszenie. Jednakże, w przypadku ruchu obrotowego samo pojęcie masy to za mało, żeby poprawnie opisać zachowanie się ciała. Opisując ruch obrotowy musimy wprowadzić pojęcie momentu bezwładności. Jak jest ono zdefiniowane?

Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest w pewnym sensie odpowiednikiem masy w ruchu postępowym. Jest on, podobnie jak masa, miarą bezwładność ciała. W ruchu obrotowym wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach, których środki pokrywają się z osią obrotu ciała, zaś liniowa prędkość tych punktów zależy od ich odległości od osi obrotu. Wynika stąd, że na wartość momentu bezwładności ma wpływ nie tylko masa ciała i jego kształt, a także to, w jaki sposób ciało się obraca.

Możemy przeprowadzić następujące rozumowanie: Energia kinetyczna $E_{k}$ punktu materialnego o masie $m$ poruszającego się z prędkością $v$ jest równa $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ . Jeśli wiemy, że punkt ten porusza się po okręgu, to jego prędkość liniowa wynosi: $𝑣 = 𝜔 𝑟$ , gdzie $𝜔$ jest prędkością kątowąPrędkość kątowaprędkością kątową, zaś $r$ promieniem okręgu. Energię kinetyczną możemy wówczas zapisać w następujący sposób:

E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{m ω^{2} r^{2}}{2} = \frac{m r^{2} ω^{2}}{2} = \frac{I ω^{2}}{2} (1)

gdzie

I = m r^{2} (2)

jest momentem bezwładności punktu materialnego. Jak widać, w układzie SI, jednostką momentu bezwładności jest [kg⋅mIndeks górny 2].

Każde ciało będące w ruchu po okręgu posiada pewien moment bezwładności, który jest sumą momentów bezwładności wszystkich części składowych tego ciała, czyli:

I = \sum_{i = 1}^{n} I_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2} (3)

gdzie $I_{i}$ jest momentem bezwładności i‑tej części ciała, traktowanej jak punkt materialny, zaś $m_{i}$ oraz $r_{i}$ reprezentują odpowiednio masę i‑tej części ciała oraz promień okręgu, po którym się ona porusza. Jak już wspomniano, środki tych okręgów pokrywają się z osią obrotu ciała. Oznacza to, że moment bezwładności ciała zależy od osi obrotu! To samo ciało będzie miało różny moment bezwładności w zależności od tego, wokół jakiej osi będzie się obracało. Powyższe rozważania pozwalają zrozumieć doświadczenie z długopisem, które zostało opisane we wprowadzeniu do tego e‑materiału. W doświadczeniu tym masa długopisu nie zmienia się, ale zmienia się oś, wokół której obracamy długopis. Wraz ze zmianą osi obrotu, zmienia się odległość od niej różnych części długopisu. Zmienia się zatem jego moment bezwładności.

Powyższe rozważania zilustrujemy na przykładzie pręta.

Przykład 1

Jaki będzie moment bezwładności pręta o masie $m$ i długości $l$ , jeśli będziemy obracać go wokół pionowej osi, przechodzącej przez jeden z jego końców, jak pokazano to na Rys. 1.?

RrBAqQCV7pfwW

Rys. 1. Na rysunku znajduje się poziomy pręt. Narysowano przerywaną linią pionową oś obrotu przechodzącą przez lewy koniec pręta. — Rys. 1. Poziomy pręt obracany wokół pionowej osi przechodzącej przez jeden z jego końców.

Podzielmy ten pręt na $n$ bardzo małych części, o długości $Δr$ każda, na tyle małych, że będziemy je mogli traktować, jak punkty o bardzo małej masie $Δm$ . Oczywiście, długość całego pręta wynosi $l=n⋅Δr$ , a jego masa jest równa: $m=n⋅Δm$ . Zauważmy, że każdy z takich punktów znajduje się w odległości $r_{i} =i⋅Δr$ od osi obrotu pręta. Moment bezwładności pręta jest, zgodnie z Równ. (1), równy sumie momentów bezwładności wszystkich takich punktów, tzn.

I = Δ m \cdot r_{1}^{2} + Δ m \cdot r_{2}^{2} + . . . + Δ m \cdot r_{n}^{2} (4)

I = Δ m \cdot (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + . . . + r_{n}^{2}) (5)

I = Δ m \cdot ((1 Δ r)^{2} + (2 Δ r)^{2} + . . . + (n Δ r)^{2}) (6)

I = Δ m \cdot Δ r^{2} \cdot (1^{2} + 2^{2} + . . . + n^{2}) (7)

W ostatnim wyrażeniu, w nawiasie występuje suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych. W tablicach matematycznych można odnaleźć wartość tej sumy, która wynosi:

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}, (8)

(jeśli jesteś zainteresowany wyprowadzeniem powyższej zalezności, to możesz, na przykład, znaleźć w książce „Matematyka konkretna” R. Grahama i D. Knutha lub wyszukując tę frazę w Internecie).

Podstawiając wzór (8) do wyrażenia (7) dostajemy:

I = Δ m \cdot Δ r^{2} \cdot \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . (9)

Wyrażenie (9) jest poprawne dla każdej wartości $n$ . W przykładzie tym założyliśmy jednak, że $n$ jest bardzo dużą liczbą, co pozwala znacząco uprościć uzyskane wyrażenie poprzez zaniedbanie jedynek w obydwu nawiasach. W ten sposób otrzymujemy:

I = Δ m \cdot Δ r^{2} \cdot \frac{2 n^{3}}{6} = Δ m \cdot Δ r^{2} \cdot \frac{n^{3}}{3} . (10)

W końcu, podstawiając w powyższym wyrażeniu: $l=n⋅Δr$ oraz $m=n⋅Δm$ dostajemy:

I = \frac{1}{3} (n \cdot Δ m) {(n \cdot Δ r)}^{2} = \frac{1}{3} m l^{2} . (11)

Podsumowując: moment bezwładności pręta o masie $m$ i długości $l$ względem osi przechodzącej przez jego koniec wynosi:

I = \frac{1}{3} m l^{2} . (12)

Przykład 2

Jaki będzie moment bezwładności pręta o masie $m$ i długości $l$ , jeśli będziemy obracać go wokół pionowej osi, przechodzącej przez jego środek, jak pokazano to na Rys. 2.?

RgWnZR0iS0JR7

Rys. 2. Na rysunku znajduje się poziomy pręt. Narysowano przerywaną linią pionową oś obrotu przechodzącą przez środek pręta. — Rys. 2. Poziomy pręt obracany wokół osi pionowej, przechodzącej przez jego środek.

Moment bezwładności tego pręta możemy wyznaczyć w podobny sposób, jak zostało to zrobione w Przykładzie 1 (tzn. dzieląc pręt na bardzo małe części, które można traktować jak punkty materialne, a następnie sumując ich momenty bezwładności). Możemy też potraktować ten pręt jak układ dwóch prętów, każdy o długości $l_{p} = \frac{1}{2} l$ i masie $m_{p} = \frac{1}{2} m$ . Pręty te, traktowane osobno, obracają się dookoła osi przechodzących przez ich końce. Moment bezwładności każdego z tych prętów jest taki sam. Odpowiedni wzór (12) został wyprowadzony w Przykładzie 1. Korzystając z wyniku uzyskanego w poprzednim przykładzie, dostajemy wyrażenie opisujące moment bezładności pręta obracającego się wokół osi przechodzącej przez jego koniec:

I = 2 \cdot I_{p} = 2 (\frac{1}{3} m_{p} l_{p}^{2}) = \frac{1}{12} m l^{2} . (13)

Słowniczek

Prędkość kątowa

(ang.: angular velocity) stosunek zmiany kąta do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła

Wprowadzenie

Animacja

Warto przeczytać

Słowniczek