Przypomnijmy definicję równoległości wektorów. Niezerowe wektory są równoległe, jeśli zawarte są w prostych równoległych, tzn. mają ten sam kierunek. Dla wektora zerowego nie definiujemy równoległości.

Udowodnimy teraz twierdzenie podające kryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów niezerowych.

kryterium równoległości wektorów

Twierdzenie: kryterium równoległości wektorów

Wektory niezerowe $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $a\ne 0$ taka, że (1) $\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{u}$.

Dowód

Ponieważ twierdzenie ma postać równoważności, mamy do rozważenia dwie implikacje. Jeżeli wektory $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ spełniają równość $\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{u}$ to są równoległe na mocy definicji.

R1bLhV6ueWcQD

Na ilustracji przedstawione są dwie poziome proste jedna pod drugą. Na prostej położonej wyżej narysowany jest wektor u. Na prostej poniżej narysowany jest dłuższy wektor opisany jako $\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{u}$.

Załóżmy teraz, że wektory $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ są równoległe. Jeżeli mają ten sam zwrot, to przyjmując $a=\frac{\left|\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$, otrzymamy równość $\left|\overrightarrow{v}\right|=a·\left|\overrightarrow{u}\right|$, która w myśl definicji iloczynu wektora i liczby oznacza, że wektor $\overrightarrow{v}$ jest iloczynem wektora $\overrightarrow{u}$ i liczby $a=\frac{\left|\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$.

Gdy wektory $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ mają zwroty przeciwne, wystarczy przyjąć $a=-\frac{\left|\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$ i też otrzymamy równość (1).

Wniosek 1

Punkt $P$ leży na prostej $AB$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba $a$, że $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$.

R5FVsK5wxOzol

Na ilustracji przedstawiona jest pozioma prosta, na której zaznaczone są punkty kolejno: A, B, P.

Wniosek 2

Punkt $P$ leży na półprostej o początku $A$ i przechodzącej przez punkt $B$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba $a$, że $a\ge 0$ i $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$.

RcxNtHgdaX6iW

Na ilustracji przedstawiona jest pozioma półprosta o początku w punkcie A. Na półprostej zaznaczone są punkty kolejno B i P.

Wniosek 3

Punkt $P$ leży na półprostej dopełniającej do półprostej o początku w punkcie $A$ i przechodzącej przez punkt $B$, to jest leży na prostej $AB$ i nie leży na półprostej $AB$,  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba $a$, że $a\le 0$ i $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$.

RTTrTA5dbnWLN

Na ilustracji przedstawiona jest pozioma prosta, na której zaznaczone są punkty kolejno: P, A, B. Część prostej od lewej strony przez punkt P do punktu A jest żółta, od punktu A w prawo przez punkt B prosta ma kolor niebieski.

Wniosek 4

Punkt $P$ należy do odcinka $AB$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $a$ taka, że $0\le a\le 1$ i $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$.

RlbUf1Hd5oB8n

Na ilustracji zaznaczony jest odcinek AB. Mniej więcej na jego środku znajduje się punkt P.

Równania parametryczne

Powyższe wnioski pozwalają wprowadzić tzw. parametryzacje (lub równania parametryczne) następujących figur geometrycznych:

• równanie parametryczne prostej $AB$: jeżeli $a$ może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, to wszystkie punkty $P$ spełniające warunek $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$ tworzą prostą $AB$,

• równanie parametryczne półprostej $AB$: jeżeli $a$ może przyjąć dowolną wartość z przedziału $⟨0,\infty )$ to wszystkie punkty $P$ spełniające warunek $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$ tworzą półprostą $AB$,

• równanie parametryczne odcinka $AB$: jeżeli $a$ może przyjąć dowolną wartość z przedziału $⟨0,1⟩$, to wszystkie punkty $P$ spełniające warunek $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$ tworzą odcinek $AB$.

Słownik