Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Przeczytaj

W poniższych przykładach omówimy zadania dotyczące zliczania liczb naturalnych, których zapis dziesiętny spełnia kilka określonych w treści warunków.
Analizując te warunki będziemy wyraźnie rozróżniali kolejne etapy rozwiązania. Jeśli ponadto zauważymy potrzebę podzielenia rozwiązania na różne przypadki, to z zasady będziemy je rozważali jako przypadki rozłączne parami.

Przykład 1

Obliczymy, ile jest:

a) wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie trzech miejscach znajdują się cyfry parzyste,
b) wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których na dokładnie czterech miejscach stoją cyfry parzyste.

Rozwiązanie:

a) Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:

1 wybór trzech miejsc dla cyfr parzystych, z ośmiu dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej oraz zapisanie takich cyfr na wybranych miejscach;
ponieważ każdy wybór trzech miejsc z ośmiu to trzyelementowa kombinacjak-elementowa kombinacja zbioru n-elementowegokombinacja zbioru 8-elementowego, więc na podstawie twierdzenia o liczbie kombinacjiliczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowegotwierdzenia o liczbie kombinacji stwierdzamy, że takie trzy miejsca z ośmiu możemy wybrać na 83=8!3!·5!=56 sposobów.
Wtedy wszystkich możliwości rozmieszczenia cyfr parzystych na ustalonych miejscach jest tyle, ile jest 3–elementowych wariacji z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami czteroelementowego zbioru cyfr parzystych, czyli 43=64.
Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że w tym etapie jest 83·43=56·64=3584 możliwości;

2 zapisanie na pozostałych miejscach pięciu cyfr nieparzystych;
ponieważ wszystkich możliwości rozmieszczenia cyfr nieparzystych na pięciu pozostałych miejscach jest tyle, ile jest 5–elementowych wariacji z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami pięcioelementowego zbioru cyfr nieparzystych, więc w tym etapie mamy 55=3125 możliwości.

Korzystając jeszcze raz z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy ostatecznie, że wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie trzech miejscach znajdują się cyfry parzyste jest 83·43·55=3584·3125=11200000.

b)

I sposób:

Rozróżniamy dwa rozłączne przypadki:

  • 1 na pierwszym miejscu zapisana jest cyfra parzysta,

  • 2 na pierwszym miejscu jest cyfra nieparzysta.

W pierwszym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:

1.1 wybór pierwszej cyfry – po odrzuceniu zera pozostają nam 4 możliwości,
1.2 wybór 3 miejsc z pozostałych 6 w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, na których zapiszemy kolejne 3 cyfry parzyste (można to zrobić na 63=20 sposobów) oraz zapisanie takich cyfr na ustalonych miejscach (co można zrobić na 53=125 sposobów),
1.3 zapisanie cyfr nieparzystych na pozostałych 3 miejscach – można to zrobić na 53=125 sposobów.
Wynika stąd, że w tym przypadku jest 4⋅63⋅53⋅53=4⋅20⋅125⋅125=1250000 liczb spełniających warunki zadania.

W drugim przypadku zliczanie rozkładamy również na trzy etapy:

2.1 wybór pierwszej cyfry – ponieważ możemy tu zapisać dowolną cyfrę nieparzystą, więc mamy 5 możliwości,
2.2 wybór 4 miejsc z pozostałych 6 w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej, na których zapiszemy 4 cyfry parzyste (można to zrobić na 64=15 sposobów) oraz zapisanie takich cyfr na ustalonych miejscach (co można zrobić na 54=625 sposobów),
2.3 zapisanie cyfr nieparzystych na pozostałych 2 miejscach – można to zrobić na 52=25 sposobów.
Oznacza to, że w tym przypadku jest 5·64·54·52=5·15·625·25=1171875 liczb spełniających warunki zadania.

Korzystając z reguły dodawania obliczamy ostatecznie, że wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których na dokładnie czterech miejscach stoją cyfry parzyste jest 1250000+1171875=2421875.

II sposób:

Wypisujemy kolejno jedna za drugą siedem cyfr, wybierając każdą spośród 10 możliwych (dopuszczamy 0 na pierwszym miejscu), przy czym na dokładnie 4 miejscach zapisujemy cyfrę parzystą. W trzech etapach obliczamy, ile jest tak określonych ciągów 7–elementowych.
Mamy 74=7!4!·3!=35 możliwości wyboru 4 miejsc dla cyfr parzystych, cyfry te na ustalonych miejscach możemy zapisać na 54=625 sposobów, a na pozostałych 3 miejscach cyfry nieparzyste zapiszemy na 53=125 sposobów. Takich ciągów o 7 cyfrach jest zatem 74·54·53=35·625·125=2734375.

Wśród tych ciągów są takie, w których cyfra 0 zapisana jest na pierwszym miejscu. W każdym z nich na 3 spośród kolejnych 6 miejsc znajdują się cyfry parzyste. Miejsce dla nich można wybrać na 63=6!3!·3!=20 sposobów, zapisać cyfry parzyste na tych ustalonych 3 miejscach można na 53=125 sposobów, a zapisać cyfry nieparzyste na pozostałych 3 miejscach można również na 53=125 sposobów. Oznacza to, że ciągów z cyfrą 0 na pierwszym miejscu jest 63·53·53=20·125·125=312500.

Stąd wynika, że jest 2734375-312500=2421875 takich ciągów 7–elementowych, w których pierwszą cyfrą nie jest 0. Ponieważ każdy taki ciąg odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie 7–cyfrowej spełniającej warunki zadania, więc szukanych liczb 7–cyfrowych jest 2421875.

Przykład 2

Obliczymy, ile jest dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje zero, natomiast występują trzy cyfry 7 i dwie cyfry 5.

Rozwiązanie:

Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:

1 wybór 3 miejsc spośród 9 dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr 7 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 93=9!3!·6!=84 sposoby,
2 wybór 2 miejsc spośród pozostałych 6 dla dwóch cyfr 5 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 62=6!2!·4!=15 sposobów,
3 uzupełnienie każdego z pozostałych 4 miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród 7 dostępnych cyfr: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – można to zrobić na 74=2401 sposobów.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy, że wszystkich dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje zero, natomiast występują trzy cyfry 7 i dwie cyfry 5 jest 93·62·74=84·15·2401=3025260.

Przykład 3

Obliczymy, ile jest dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują trzy cyfry 7 i dwie cyfry 5.

Rozwiązanie:

I sposób:

Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki ze względu na pierwszą cyfrę zapisu dziesiętnego liczby naturalnej spełniającej warunki zadania:

  • jeśli jest to cyfra 7, to zliczanie rozkładamy na trzy następujące etapy:
    1 wybór 2 miejsc spośród 8 dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla dwóch cyfr 7 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 82=8!2!·6!=28 sposobów,
    2 wybór 2 miejsc spośród pozostałych 6 dla dwóch cyfr 5 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 62=6!2!·4!=15 sposobów,
    3 uzupełnienie każdego z pozostałych 4 miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród 8 dostępnych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – można to zrobić na 84=4096 sposobów,
    Zatem w tym przypadku jest 82·62·84=28·15·4096=1720320 liczb spełniających warunki zadania;

  • jeśli jest to cyfra 5, to zliczanie rozkładamy na trzy następujące etapy:
    1 wybór 3 miejsc spośród 8 dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr 7 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 83=8!3!·5!=56 sposobów,
    2 wybór 1 miejsca spośród pozostałych 5 dla jednej cyfry 5 i zapisanie tej cyfry na wybranym miejscu – można to zrobić na 5 sposobów,
    3 uzupełnienie każdego z pozostałych 4 miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród 8 dostępnych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – można to zrobić na 84=4096 sposobów.
    Oznacza to, że w tym przypadku jest 83·5·84=56·5·4096=1146880 liczb spełniających warunki zadania;

  • jeśli jest to cyfra niezerowa, różna od 5 i różna od 7, to zliczanie rozkładamy na cztery następujące etapy:
    1 wybór jednej cyfry spośród dostępnych na pierwsze miejsce zapisu dziesiętnego – można to zrobić na 7 sposobów,
    2 wybór 3 miejsc spośród 8 dostępnych w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby naturalnej dla trzech cyfr 7 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 83=8!3!·5!=56 sposobów,
    3 wybór 2 miejsc spośród pozostałych 5 dla dwóch cyfr 5 i zapisanie tych cyfr na wybranych miejscach – można to zrobić na 52=5!2!·3!=10 sposobów,
    4 uzupełnienie każdego z pozostałych 3 miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród 8 dostępnych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – można to zrobić na 83=512 sposobów.
    Wynika stąd, że w tym przypadku jest 7·83·55·83=7·56·10·512=2007040 liczb spełniających warunki zadania.

Wobec tego jest 1720320+1146880+2007040=4874240 wszystkich dziewięciocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują trzy cyfry 7 i dwie cyfry 5.

II sposób:

Wypisujemy kolejno jedna za drugą dziewięć cyfr, wybierając każdą spośród 10 możliwych (dopuszczamy 0 na pierwszym miejscu), przy czym na dokładnie 3 miejscach zapisujemy cyfrę 7 i na dokładnie 2 miejscach zapisujemy cyfrę 5. W trzech etapach obliczamy, ile jest tak określonych ciągów 9–elementowych.

1 wybieramy 3 miejsca spośród 9 dostępnych w ciągu dla trzech cyfr 7 i zapisujemy te cyfry na wybranych miejscach – można to zrobić na 93=9!3!·6!=84 sposoby,
2 wybieramy 2 miejsca spośród pozostałych 6 dla dwóch cyfr 5 i zapisujemy te cyfry na wybranych miejscach – można to zrobić na 62=6!2!·4!=15 sposobów,
3 uzupełniamy każde z pozostałych 4 miejsc cyfrą wybieraną za każdym razem spośród 8 dostępnych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 – można to zrobić na 84=4096 sposobów.
Oznacza to, że jest 93·62·84=84·15·4096=5160960 takich ciągów.

Wśród rozpatrywanych powyżej ciągów są takie, w których cyfra 0 zapisana jest na pierwszym miejscu. W każdym z nich na 3 miejscach wybranych spośród kolejnych 8 miejsc znajduje się cyfra 7, na 2 miejscach wybranych spośród pozostałych 5 miejsc znajduje się cyfra 5, a na każdym z jeszcze niewypełnionych 3 miejsc można wstawić za każdym razem jedną spośród 8 następujących cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy więc, że ciągów z cyfrą zero na pierwszym miejscu jest 83·52·83=56·10·512=286720.

Oznacza to, że jest 5160960-286720=4874240 takich ciągów 9–elementowych, w których pierwszą cyfrą nie jest 0. Ponieważ każdy taki ciąg odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie 9–cyfrowej spełniającej warunki zadania, więc szukanych liczb 9–cyfrowych jest 4874240.

Przykład 4

Obliczymy, ile jest wszystkich dwudziestocyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 9, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.

Rozwiązanie:

Z warunków zadania wynika, że możliwe są dwa następujące rozłączne przypadki:

  • w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby oprócz cyfr 2 oraz 3 jest jeszcze cyfra 4 oraz siedemnaście cyfr 0,

  • oprócz cyfr 2 oraz 3 w zapisie dziesiętnym rozpatrywanej liczby są jeszcze cztery cyfry 1 oraz czternaście cyfr 0.

W pierwszym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:

1 wybór jednej z trzech niezerowych cyfr do zapisania na pierwszym miejscu zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby – można to zrobić na 3 sposoby,
2 wybór miejsca (spośród 19 dostępnych) do zapisania kolejnej niezerowej cyfry – można to zrobić na 19 sposobów,
3 wybór miejsca (spośród 18 dostępnych) do zapisania trzeciej niezerowej cyfry i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą 0 – można to zrobić na 18 sposobów.
Zatem w tym przypadku jest 3·19·18 = 1026 liczb spełniających warunki zadania.

Drugi przypadek dzielimy na kolejne dwa rozłączne przypadki (ze względu na pierwszą cyfrę zapisu dziesiętnego):

  • pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 2 lub 3;
    w tym przypadku zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
    1 wybór jednej z cyfr: 2 lub 3 do zapisania na pierwszym miejscu zapisu dziesiętnego rozpatrywanej liczby – można to zrobić na 2 sposoby,
    2 wybór miejsca (spośród 19 dostępnych) do zapisania drugiej z tych cyfr – można to zrobić na 19 sposobów,
    3 wybór czterech miejsc (spośród 18 dostępnych) do zapisania czterech cyfr 1 i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą 0 – można to zrobić na 184=18!4!·14!=3060 sposobów.
    Zatem przy tak ustalonych warunkach jest 2·19·184=2·19·3060=116280 liczb.

  • pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 1;
    w tym przypadku zliczanie również rozkładamy na trzy etapy:
    1 wybór miejsca (spośród 19 dostępnych) do zapisania cyfry 2 – można to zrobić na 19 sposobów,
    2 wybór miejsca (spośród 18 dostępnych) do zapisania cyfry 3 – można to zrobić na 18 sposobów,
    3 wybór trzech miejsc (spośród 17 dostępnych) do zapisania trzech cyfr 1 i uzupełnienie każdego z pozostałych miejsc cyfrą 0 – można to zrobić na 173=17!3!·14!=680 sposobów.
    Zatem przy tak ustalonych warunkach jest 19·18·173=19·18·680=232560 liczb.
    Wobec tego w drugim przypadku mamy ogółem 116280+232560=348840 możliwości.

Na koniec sumujemy liczby możliwości otrzymane w omówionych powyżej przypadkach i stwierdzamy, że wszystkich liczb naturalnych spełniających warunki zadania jest 1026+348840=349866.

Przykład 5

Obliczymy, ile jest liczb naturalnych, które są mniejsze niż 1010 i których iloczyn cyfr jest równy 125.

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

  • 125=53, co oznacza, że w zapisie dziesiętnym każdej liczby spełniającej warunki zadania występują trzy cyfry 5, a więc rozpatrywać będziemy liczby co najmniej trzycyfrowe,

  • jeżeli liczba spełniająca warunki zadania ma w zapisie więcej niż trzy cyfry, to każda z cyfr różnych od 5 jest równa 1,

  • ponieważ liczba spełniająca warunki zadania jest mniejsza niż 1010, więc może być co najwyżej 9–cyfrowa.

Wynika stąd, że szukamy liczb k–cyfrowych, w których zapisie występują 3 cyfry 5, a pozostałe k-3 cyfr to cyfry 1, gdzie k=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ponieważ miejsca do wstawienia trzech cyfr 5 w zapisie każdej takiej liczby wyznaczymy na k3 sposobów i wtedy na pozostałych rozmieścimy cyfry 1, więc wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest tyle, ile jest równa suma
33+43+53+63+73+83+93.

Korzystając z reguły sumowania współczynników dwumianowych po górnym indeksie. stwierdzamy, że powyższa suma jest równa 104=10!4!·6!=210.

Słownik

k-elementowa kombinacja zbioru n-elementowego
k-elementowa kombinacja zbioru n-elementowego

każdy k–elementowy podzbiór zbioru n–elementowego, gdzie 0≤k≤n, nazywamy k–elementową kombinacją tego zbioru n–elementowego

liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego
liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego

liczba wszystkich k–elementowych kombinacji zbioru n–elementowego, gdzie 0≤k≤n, jest równa

nk=n!k!·n-k!=n·n-1·…·n-k+11·2·…·k
wariacja z powtórzeniami
wariacja z powtórzeniami

k–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami) ze zbioru n–elementowego

reguła mnożenia
reguła mnożenia

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z k1 sposobów, druga – na jeden z k2 sposobów, trzecia – na jeden z k3 sposobów i tak dalej do n – tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kn sposobów, jest równa

k1·k2·…·kn
Wprowadzenie
Prezentacja multimedialna