Przypuśćmy, że spędzamy czas nad jeziorem, nie mamy GPS, bo brak zasięgu naszej sieci telefonicznej, ale za to znamy twierdzenie sinusówtwierdzenie sinusówtwierdzenie sinusów i potrafimy obliczyć przybliżone wartości funkcji sinussinus kąta w trójkącie prostokątnymsinus. Chcielibyśmy przepłynąć jezioro, mamy bowiem doświadczenie w pływaniu na średnich dystansach. Ale czulibyśmy się lepiej, gdybyśmy znali odległość, jaka nas dzieli od punktu docelowego, jakim jest przystań po drugiej stronie jeziora.

Aby obliczyć dystans, który mamy do pokonania, tj. odległość od punktu $B$ do punktu $P$, obliczyliśmy odległość $\left|AB\right|=420 m$ oraz, wykorzystując busolę, kąty, pod jakimi widać dwa wyróżnione obiekty, odpowiednio z punktów $A$ i $B$ (patrz rysunek).

R1BlVyX4la0am

Ilustracja przedstawia mapkę terenu ze zbiornikiem wodnym na środku. Na mapie oznaczone są za pomocą pinezek punkty A, B, P, przy czym w punkcie P widać żaglówkę. Między punktami linią przerywaną narysowane są odcinki, przy czym odcinek AB ma długość czterystu dwudziestu metrów. Na ilustracji zaznaczone są również kąty. Kąt ABP wynosi 49 stopni, a kąt BAP 61 stopni.

Rachunków wcale nie będzie zbyt wiele. Z bilansu kątów w trójkącie mamy, że $\left|\sphericalangle APB\right|=70°$. Teraz możemy już skorzystać z odkrycia Snelliusa i posłużyć się twierdzeniem sinusów

$\frac{\left|AB\right|}{\sin 70°}=\frac{\left|BP\right|}{\sin 61°}$

Stąd otrzymujemy, że

$\left|BP\right|=\frac{\left|AB\right|\cdot \sin {61}^{\circ }}{\sin {70}^{\circ }}\approx \frac{420\cdot 0,8746}{0,9396}\approx 390,95 \mathrm{m}$

Decyzja, czy płynąć, może teraz okazać się łatwiejsza.

Najdłuższy bok trójkąta ma długość $20$, a dwa kąty tego trójkąta mają miary $20°$ oraz $40°$. Oblicz promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Mamy długość boku i kąt, a nawet dwa kąty w trójkącie. By zastosować twierdzenie sinusów potrzebujemy długości boku i kąta, ale pamiętajmy, że to musi być bok i kąt leżący naprzeciw tego boku. Oczywiście najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a ten nie jest jeszcze podany – jego miara jest równa

$180°-40°-20°=120°$

Teraz możemy już zapisać odpowiednią równość

Ponieważ

$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

więc

$R=\frac{1}{2}·\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

R1aTRLcETabpt1

Ilustracja przedstawia tablicę korkową, na której zaznaczone są trzy punkty: A, B oraz C. Poprowadzone są między nimi dwa odcinki: AC oraz CB. Odcinki tworzą kąt ostry ACB.

Krzysiek przyczepił sznurek o długości $10 \mathrm{cm}$ do korkowej tablicy. Następnie bawił się wbijając szpilkę w tablicę korkową i mierząc kąty powstałego trójkąta $ABC$.

W pewnym momencie Krzysiek zauważył, że kąty trójkąta są w stosunku $2:3:7$. Znajdź długości boków trójkąta $ABC$. Rozpatrz dwa przypadki.

Rozwiązanie

Niech $\alpha <\beta <\gamma$ będą kątami trójkąta $ABC$. Wówczas $\alpha =2x$, $\beta =3x$ oraz $\gamma =7x$ dla pewnego $x>0$ . Zatem $12x=180°$, więc $x=15°$. Zatem kąty mają miary: $\alpha =30°$, $\beta =45°$, $\gamma =105°$.

Rozpatrzmy trzy przypadki:

RtX4l3aopUGmm

Ilustracja przedstawia 3 rysunki trójkątów ABC. Każdy rysunek to jeden rozważany przypadek. Przypadek pierwszy: trójkąt ABC posiada kąty odpowiednio: przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, przy wierzchołku C kąt gama. Kąty alfa, beta, gama są ostre. Bok BC jest równy liczbie a, natomiast bok CA liczbie b. Przypadek drugi: trójkąt ABC posiada kąty odpowiednio: przy wierzchołku A kąt gama, przy wierzchołku B kąt alfa, przy wierzchołku C kąt beta. Kąty alfa i beta są ostre. Kąt gama jest rozwarty. . Bok BC jest równy liczbie b, natomiast bok CA liczbie a. Przypadek trzeci: trójkąt ABC posiada kąty odpowiednio: przy wierzchołku A kąt gama, przy wierzchołku B kąt beta, przy wierzchołku C kąt alfa. Kąty alfa i beta są ostre. Kąt gama jest rozwarty. Bok BC jest równy liczbie a, natomiast bok CA liczbie b.

Z treści zadania wiemy, że $a+b=10$ (długość sznurka).

Przypadek I

$\left\{\begin{array}{l}a+b=10\\ \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+b=10\\ \frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+b=10\\ b=\sqrt{2}a\end{array}\right.$

Zatem $a\left(\sqrt{2}+1\right)=10$, więc $a=\frac{10}{\sqrt{2}+1}=\frac{10\left(\sqrt{2}-1\right)}{1}=10\left(\sqrt{2}-1\right)$ oraz $b=10-10\left(\sqrt{2}-1\right)=10\left(2-\sqrt{2}\right)$

Pozostaje znaleźć długość trzeciego boku trójkąta $ABC$. Ponownie korzystmy z twierdzenia sinusów. Wykorzystamy dokładną wartość funkcji $\sin 105°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ (spróbuj uzasadnić tę równość wykorzystując wzory redukcyjne oraz wzór na sinus sumy).

$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\sin {105}^o}$

$\frac{10\left(\sqrt{2}-1\right)}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$c=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}·20\left(\sqrt{2}-1\right)=5\left(2\sqrt{3}+2-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$.

Zatem długości boków trójkąta $ABC$ to: $a=10\left(\sqrt{2}-1\right) \mathrm{cm}$, $b=10\left(2-\sqrt{2}\right) \mathrm{cm}$ i  $c=5\left(2\sqrt{3}+2-\sqrt{6}\right) \mathrm{cm}$.

Przypadek $\mathrm{II}$ i $\mathrm{III}$ pozostawimy jako ćwiczenie. Podamy jedynie wyniki:

Przypadek $\mathrm{II}$: $a=\frac{10\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$, $b=\frac{10+10\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$, $c=\frac{20\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$

Przypadek $\mathrm{III}$: $a=\frac{10\left(3-\sqrt{3}\right)}{3} \mathrm{cm}$, $b=\frac{10\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}$, $\frac{10\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$

sinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie

w dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie