Równanie

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.

Każde rozwiązanie naturalne równania jest postaci

gdzie:
$x_1=3$ i $y_1=5$

$x_{n+1}=3x_n+2y_n+1$ i $y_{n+1}=4x_n+3y_n+2$, gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$

Znajdziemy taką liczbę kwadratową $y$, która jest sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych.

Na podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy, że takich liczb jest nieskończenie wiele.

Zatem podamy tylko przykłady czterech z nich.

• $3^2+4^2=5^2\Rightarrow y=25$

• ${20}^2+{21}^2={29}^2\Rightarrow y=841$

• ${119}^2+{120}^2={169}^2\Rightarrow y=28561$

• ${696}^2+{697}^2={985}^2\Rightarrow y=970225$

Wykażemy, że równanie $x^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2=y^2$ nie ma rozwiązań z zbiorze liczb naturalnych.

Przekształcamy równanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeńwzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

$x^2+{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2=y^2$

$x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=y^2$

$3x^2+6x+5=y^2$

$3x^2+6x+3+2=y^2$

$3{\left(x+1\right)}^2+2=y^2$

$y^2-3{\left(x+1\right)}^2=2$

Liczba $3{\left(x+1\right)}^2$.

Liczba kwadratowa $y^2$ w dzieleniu przez $3$ nigdy nie daje reszty $2$. Zatem lewa strona równania nie równa się prawej – równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych, co należało wykazać.

Niech $a$, $b$, $c$ będą liczbami naturalnymi dodatnimi. Wykażemy, że jeżeli

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}$,

to $a^4+b^4+c^4$ jest liczbą kwadratową.

Z równości $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}$ wynika, że

$b^2·c^2+a^2·c^2=a^2·b^2$

Przekształcimy teraz wyrażenie $a^4+b^4+c^4$, dodając i odejmując to samo wyrażenie.

$a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+c^4+\left(2·a^2·b^2-2·a^2·b^2\right)$

Drugie z wyrażeń $a^2·b^2$ zastępujemy przez $b^2·c^2+a^2·c^2$.

$a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+c^4+2·a^2·b^2-2\left(b^2·c^2+a^2·c^2\right)$

$a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+c^4+2·a^2·b^2-2·b^2·c^2-2·a^2·c^2$

Prawą stronę równości „zwijamy” w kwadrat trójmianu, co kończy dowód.

$a^4+b^4+c^4={\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2$

Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wykażemy, że

$a^4+4a^3+8a^2+16a+16⩾0$.

Przekształcimy tak lewą stronę nierówności, żeby zapisać ją w postaci sumy wyrażeń, które przyjmują tylko wartości nieujemne.

$L=a^4+4a^3+8a^2+16a+16$

$L=a^4+4a^3+4a^2+4a^2+16a+16$

$L=\left(a^4+4a^3+4a^2\right)+\left(4a^2+16a+16\right)$

Wyrażenia w nawiasach zapisujemy jako kwadraty dwóch wyrażeń.

$L={\left(a^2+2a\right)}^2+{\left(2a+4\right)}^2$

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$:

${\left(a^2+2a\right)}^2⩾0$.

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej $a$

${\left(a^2+2a\right)}^2+{\left(2a+4\right)}^2⩾0$,

co należało wykazać.

Wykażemy, że jeżeli liczby $1$, $a^2$, $b^2$ tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny, to liczby $1$, ${\left(3a+2b\right)}^2$, ${\left(4a+3b\right)}^2$ w tej kolejności, również tworzą ciąg arytmetyczny.

Liczby $1$, $a^2$, $b^2$ tworzą ciąg arytmetyczny, zatem różnica między kolejnymi wyrazami jest stała

$a^2-1=b^2-a^2$

$b^2=2a^2-1 \left(*\right)$

Zbadamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

$\left(1, {\left(3a+2b\right)}^2, {\left(4a+3b\right)}^2\right)$.

${\left(3a+2b\right)}^2-1=9a^2+12ab+4b^2-1$

${\left(4a+3b\right)}^2-{\left(3a+2b\right)}^2=16a^2+24ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2$

${\left(4a+3b\right)}^2-{\left(3a+2b\right)}^2=7a^2+5b^2+12ab$

Porównujemy otrzymane wyrażenia.

$9a^2+12ab+4b^2-1=7a^2+5b^2+12ab$

$2a^2-1=b^2$

Prawdziwość ostatniej równości wynika z równości $\left(*\right)$. Różnica między kolejnymi wyrazami rozpatrywanego ciągu jest stała, zatem jest to ciag arytmetyczny, co należało wykazać.

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy sumy kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń