Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W tym materiale pokażemy kilka ciekawych zastosowań wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. Na początek więc przypomnienie tych wzorów.

RP2bxE90v27vu

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

a+b2=a2+2ab+b2

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń.

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

a-b2=a2-2ab+b2

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy sumy kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń.

Na przestrzeni wieków wielu matematyków pasjonowało się sposobami przedstawiania liczb naturalnych w postaci sumy kwadratów. W rozważaniach wykorzystywali zależności arytmetyczne – my wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.

Przyda nam się jeszcze przypomnienie ważnego pojęcia – liczby kwadratowe.

Liczba kwadratowa, to liczba całkowita, która jest kwadratem liczby całkowitej.

Przykłady liczb kwadratowych:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

W pierwszym przykładzie skorzystamy z ważnego twierdzenia, które z reguły wykorzystywane jest w związku z twierdzeniem Pitagorasa.

Twierdzenie o liczbie naturalnych rozwiązań równania
Twierdzenie: Twierdzenie o liczbie naturalnych rozwiązań równania

Równanie

x2+x+12=y2

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.

Każde rozwiązanie naturalne równania jest postaci

xn, yn

gdzie:
x1=3y1=5

xn+1=3xn+2yn+1yn+1=4xn+3yn+2, gdzie n+

Przykład 1

Znajdziemy taką liczbę kwadratową y, która jest sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych.

Na podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy, że takich liczb jest nieskończenie wiele.

Zatem podamy tylko przykłady czterech z nich.

  • 32+42=52y=25

  • 202+212=292y=841

  • 1192+1202=1692y=28561

  • 6962+6972=9852y=970225

Przykład 2

Wykażemy, że równanie x2+x+12+x+22=y2 nie ma rozwiązań z zbiorze liczb naturalnych.

Przekształcamy równanie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeńwzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

x2+x+12+x+22=y2

x2+x2+2x+1+x2+4x+4=y2

3x2+6x+5=y2

3x2+6x+3+2=y2

3x+12+2=y2

y2-3x+12=2

Liczba 3x+12 jest podzielna przez 3.

Liczba kwadratowa y2 w dzieleniu przez 3 nigdy nie daje reszty 2. Zatem lewa strona równania nie równa się prawej – równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych, co należało wykazać.

Przykład 3

Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi dodatnimi. Wykażemy, że jeżeli

1a2+1b2=1c2,

to a4+b4+c4 jest liczbą kwadratową.

Z równości 1a2+1b2=1c2 wynika, że

b2·c2+a2·c2=a2·b2

Przekształcimy teraz wyrażenie a4+b4+c4, dodając i odejmując to samo wyrażenie.

a4+b4+c4=a4+b4+c4+2·a2·b2-2·a2·b2

Drugie z wyrażeń a2·b2 zastępujemy przez b2·c2+a2·c2.

a4+b4+c4=a4+b4+c4+2·a2·b2-2b2·c2+a2·c2

a4+b4+c4=a4+b4+c4+2·a2·b2-2·b2·c2-2·a2·c2

Prawą stronę równości „zwijamy” w kwadrat trójmianu, co kończy dowód.

a4+b4+c4=a2+b2-c22

Ze wzorów skróconego mnożenia warto skorzystać, uzasadniając, że dane wyrażenie przyjmuje wartości nieujemne.

Przykład 4

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wykażemy, że

a4+4a3+8a2+16a+160.

Przekształcimy tak lewą stronę nierówności, żeby zapisać ją w postaci sumy wyrażeń, które przyjmują tylko wartości nieujemne.

L=a4+4a3+8a2+16a+16

L=a4+4a3+4a2+4a2+16a+16

L=(a4+4a3+4a2)+(4a2+16a+16)

Wyrażenia w nawiasach zapisujemy jako kwadraty dwóch wyrażeń.

L=(a2+2a)2+(2a+4)2

Dla każdej liczby rzeczywistej a:

a2+2a202a+420.

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej a

a2+2a2+2a+420,

co należało wykazać.

W ostatnim przykładzie pokażemy związek liczb kwadratowych z ciągiem arytmetycznym.

Przykład 5

Wykażemy, że jeżeli liczby 1, a2, b2 tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny, to liczby 1, 3a+2b2, 4a+3b2 w tej kolejności, również tworzą ciąg arytmetyczny.

Liczby 1, a2, b2 tworzą ciąg arytmetyczny, zatem różnica między kolejnymi wyrazami jest stała

a2-1=b2-a2

b2=2a2-1 *

Zbadamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

1, 3a+2b2, 4a+3b2.

3a+2b2-1=9a2+12ab+4b2-1

4a+3b2-3a+2b2=16a2+24ab+9b2-9a2-12ab-4b2

4a+3b2-3a+2b2=7a2+5b2+12ab

Porównujemy otrzymane wyrażenia.

9a2+12ab+4b2-1=7a2+5b2+12ab

2a2-1=b2

Prawdziwość ostatniej równości wynika z równości *. Różnica między kolejnymi wyrazami rozpatrywanego ciągu jest stała, zatem jest to ciag arytmetyczny, co należało wykazać.

Słownik

wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń
wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń
a+b2=a2+2ab+b2

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń

wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
a-b2=a2-2ab+b2

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy sumy kwadratów tych wyrażeń i podwojonego iloczynu tych wyrażeń