Kątem środkowym w kolekołokole nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła.

R8Ayq5IKbLs3p

Na rysunku przedstawione jest koło o środku w punkcie $O$, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego $\beta$. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią przerywaną od środka $O$ poza jego wnętrze. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt $\beta$ do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły $\alpha$.

Na powyższym rysunku, dwie półproste, zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów środkowych danego okręgu o środku w punkcie $O$: kąta wypukłego $\beta$ oraz kąta wklęsłego $\alpha$. Zwykle jednak, ilustrując zagadnienie kątów środkowych, będziemy zaznaczali jedynie promienie danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.

R1UpGWwXxcfCs

Na rysunku przedstawiono koło o środku w punkcie $O$, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego $\beta$. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią ciągłą od środka koła do jego brzegu. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt $\beta$ do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły $\alpha$.

Rozważmy okrągokrągokrąg o środku $O$ i punkty $A$, $B$ leżące na tym okręgu. Kątem środkowym opartym na łuku $AB$ nazywamy kąt $AOB$, którego ramiona zawierają promienie $OA$ i $OB$ i w którym zawiera się łuk $AB$.

Punkty $A$, $B$ wyznaczają dwa łuki okręgu, tym samym dwa różne kąty środkowe, jak na rysunkach.

R1aIG1PwVuwsS

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie $O$, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego $\beta$. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: $A$ oraz $B$ leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk $AB$. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie $O$, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta wklęsłego $\alpha$. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: $A$ oraz $B$ leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono dłuższy łuk $AB$.

Zauważmy, że dla danego łuku okręgułuk okręgułuku okręgu istnieje jednoznacznie wyznaczony kąt środkowy i odwrotnie – każdy kąt środkowy danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza jego łuk. Ponadto, jeśli łuk okręgu jest mniejszy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wypukłym; jeśli łuk jest większy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wklęsłym.

Punkty $A$, $B$ leżące na okręgu dzielą go w stosunku $1:7$. Obliczymy miary kątów środkowych opartych na łuku $AB$.

Kąt środkowy oparty na łuku, którym jest cały okrąg, ma miarę $360°$. Na każdym z dwóch łuków, których końcami są punkty $A$, $B$, zaznaczono odpowiednio punkty  $P$ oraz $Q$. Wtedy $\stackrel{⏜}{APB}$ oznacza ten z łuków o końcach $A$, $B$, na którym leży punkt $P$.

R1Kmq4Jzs2KkZ

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Dwa promienie tego okręgu, to jest $OA$ oraz $OB$, wyznaczają kąt ostry $\alpha$. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk $AB$. Na tym łuku zaznaczono punkt $P$, a poza nim zaznaczono na okręgu punkt $Q$. Ułatwia to orientację związaną z położeniem łuku, o który nam chodzi. Teraz, mając trzy punkty odniesienia, łatwo bowiem rozróżnić, o który łuk chodzi. Mamy więc na rysunku krótszy łuk $APB$ oraz dłuższy łuk $AQB$.

Jeśli podzielimy okrąg na osiem równych łuków (części),  to punkty $A$, $B$ są końcami łuku $\stackrel{⏜}{APB}$, który stanowi ósmą część okręgu oraz łuku $\stackrel{⏜}{AQB}$, który stanowi pozostałą cześć okręgu, czyli $\frac{7}{8}$. Wtedy miara wypukłego kąta środkowego, opartego na łuku $AB$ jest równa: $\frac{1}{8}·360°=45°$, a miara kąta wklęsłego jest równa $315°$.

W praktyce, zamiast mówić o kącie rozpiętym na łuku $AB$, mówi się o kącie rozpiętym na cięciwiecięciwa okręgucięciwie $AB$, która odpowiada danemu kątowi środkowemu, pamiętając, że to przyporządkowanie nie jest jednoznaczne. Każdemu kątowi środkowemu odpowiada jedna cięciwa, ale każdej cięciwie odpowiadają dwa kąty środkowe, które w przypadku średnicy, są sobie równe

Rax8inQbfdLap

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie $O$, którego dwa promienie wyznaczają kąt wklęsły $\alpha$. Ramiona tego kąta to promienie $OA$ oraz $OB$. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk $AB$ oraz cięciwę $AB$, czyli odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie $O$, którego dwa promienie wyznaczają kąt wypukły $\alpha$. Ramiona tego kąta to promienie $OA$ oraz $OB$. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk $AB$ oraz cięciwę $AB$.

Bezpośrednio, korzystając z cechy $bbb$ przystawania trójkątów, możemy sformułować poniższe twierdzenie.

Dla danego okręgu wypukłe kąty środkowe rozpięte na cięciwach o równych długościach mają jednakowe miary.

R1Tn61XwkYjK9

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Dwa promienie tego okręgu, to jest $OA$ oraz $OB$, wyznaczają kąt ostry $\beta$ oparty na zaznaczonej cięciwie $AB$. Kolejne dwa promienie tego okręgu, to jest $OC$ oraz $OD$, wyznaczają kąt ostry $\gamma$ oparty na zaznaczonej cięciwie $CD$.

Oczywiście, analogiczne twierdzenie można sformułować dla  wklęsłych kątów środkowych.

Pozostaje zauważyć, że jeśli ograniczymy się tylko do kątów środkowych, które są wypukłe, to im dłuższa cięciwa, tym większa miara kąta środkowego rozpiętego na tej cięciwie.

R1Imk75a4KkRW

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$. Dwa promienie tego okręgu, to jest $OA$ oraz $OB$, wyznaczają kąt ostry $\beta$ oparty na zaznaczonej cięciwie $AB$. Kolejne dwa promienie tego okręgu, to jest $OC$ oraz $OD$, wyznaczają kąt rozwarty $\gamma$ oparty na zaznaczonej cięciwie $CD$.

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$

łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami

cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu