Przeczytaj

Przypomnijmy na początek wzory, z których będziemy korzystać.

wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie: wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory:

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}

tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}

Poniżej przedstawimy przykłady, jak wykorzystać wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania równań.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie: $\sin 2 x + \sin 4 x = 0$ .

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Najpierw skorzystamy ze wzoru na sumę sinusów:

$2 \sin \frac{2 x + 4 x}{2} \cdot \cos \frac{4 x - 2 x}{2} = 0$ .

Stąd otrzymujemy:

$\sin 3 x \cdot \cos x = 0$ .

Zatem $\sin 3 x = 0$ lub $\cos x = 0$ .

Otrzymujemy odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi sposób

Przedstawimy drugi sposób, w którym nie odwołujemy się do wzorów na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych. Jest to bardzo przydatna metoda opierająca się na porównywaniu wartości tej samej funkcji trygonometrycznej.

Zapiszmy równanie w postaci:

$\sin 2 x = - \sin 4 x$ .

Wykorzystajmy nieparzystość funkcji sinus:

$\sin 2 x = \sin (- 4 x)$ .

Zatem z porównania wartości funkcji sinus otrzymujemy, że: $2 x = - 4 x + 2 k π$ lub $2 x = π - (- 4 x) + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Stąd dostajemy już odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: $\cos 4 x - \sin 4 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Korzystając ze wzoru redukcyjnego, zapiszmy równanie tak, aby otrzymać różnicę cosinusów:

$\cos 4 x - \cos (\frac{π}{2} - 4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:

$- 2 \sin \frac{4 x + \frac{π}{2} - 4 x}{2} \sin \frac{4 x - \frac{π}{2} + x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$- 2 \sin \frac{π}{4} \sin (4 x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$- 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (4 x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Wykorzystując wzór: $\sin (\frac{π}{2} + y) = - \cos y$ , otrzymujemy:

$\sqrt{2} \cos (4 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\cos (4 x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ .

Stąd otrzymujemy:

$4 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 π k$ lub $4 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{3} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$4 x = \frac{π}{12} + 2 k π$ lub $4 x = - \frac{7 π}{12} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2}$ lub $x = - \frac{7 π}{48} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi sposób

Wykorzystamy tożsamość trygonometryczną: dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna: $\cos^{2} 4 x + \sin^{2} 4 x = 1$ .

Z równania danego w zadaniu wyliczamy np. $\cos 4 x = \sin 4 x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ i podstawiamy do jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej:

${(\sin 4 x + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \sin^{2} 4 x = 1$ . Stąd otrzymujemy równanie:

$2 \sin^{2} 4 x + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 4 x - \frac{1}{2} = 0$ .

Podstawiając nową zmienną $t = \sin 4 x$ otrzymujemy równanie kwadratowe:

$2 t^{2} + \sqrt{2} t - \frac{1}{2} = 0$ . $Δ = 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 6$ .

Zatem $t = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ lub $t = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ . Rozwiązaniami równania $2 \sin^{2} 4 x + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 4 x - \frac{1}{2} = 0$ są zatem:

$\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ lub $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Jeżeli $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ , to $\cos 4 x = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ .

Jeżeli $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ , to $\cos 4 x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Pozostaje najtrudniejsza część rozwiązania: ustalenie wartości, jakie przyjmuje $x$ ; są to: $4 x = - \frac{7 π}{12} + 2 k π$ lub $4 x = \frac{π}{12} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = - \frac{7 π}{48} + \frac{k π}{2}$ lub $x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ważne!

Drugi sposób rozwiązywania przykładu 2 opiera się na podstawowym pojęciu jakim jest jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna, jednak może powodować trudności w ostatniej fazie rozwiązania, gdy trzeba wskazać konkretne wartości zmiennej. Zatem w zadaniach podobnych do przykładu 2 rekomendujemy pierwszy sposób.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie: $\sin x + \sin 3 x + \sin 5 x = 0$ .

Rozwiązanie

Zmieniamy kolejność składników:

$\sin x + \sin 5 x + \sin 3 x = 0$ .

Stosujemy wzór na sumę sinusówsumę sinusów:

$2 \sin \frac{x + 5 x}{2} \cdot \cos \frac{x - 5 x}{2} + \sin 3 x = 0$ ,

$2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x + \sin 3 x = 0$ .

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$2 \sin 3 x \cdot (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 0$ .

Otrzymujemy alternatywę równań:

$\sin 3 x = 0$ lub $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$ .

Otrzymujemy rozwiązania:

$3 x = π k$ lub $2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$
lub $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem:

$x = \frac{π}{3} k$ lub $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

W uproszczeniu możemy zapisać:

Odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie: $tg x + \sin (x + 45 °) = - 1$ .

Rozwiązanie

Aby istniał tangens, zakładamy, że $\cos x \neq 0$ .

Zapisujemy składniki w innej kolejności:

$1 + tg x + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Podstawiamy za liczbę 1 wartość funkcji tangens dla odpowiedniego argumentu:

$tg 45 ° + tg x + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Wykorzystujemy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów:

$\frac{\sin (x + 45 °)}{\cos x \cos 45 °} + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$\sin (x + 45 °) (\frac{1}{\cos x \cos 45 °} + 1) = 0$ .

Zapisujemy alternatywę równań:

$\sin (x + 45 °) = 0$ lub $\frac{1}{\cos x \cos 45 °} = - 1$ .

Rozwiązaniem równania $\sin (x + 45 °) = 0$ jest każda liczba postaci $x + 45 ° = k \cdot 180 °$ , czyli $x = - 45 ° + k \cdot 180 °$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $\frac{1}{\cos x \cos 45 °} = - 1$ jest równoważne równaniu $\cos x = - \sqrt{2}$ , które jest równaniem sprzecznym.

Odpowiedź:

$x = - 45 ° + k \cdot 180 °$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

jedynka trygonometryczna

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi tożsamość: $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

$tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}$

$tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik