Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przedstawimy wiele przykładów funkcji, które są zdefiniowane za pomocą szeregu geometrycznego. Pamiętać należy, że badanie własności takiej funkcji zawsze należy rozpocząć od podania dziedziny. Na ogół dziedzina wynikająca ze zbieżności szeregu w istotny sposób będzie wpływać na badane własności.

Przykład 1

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji fx=1+1x+6+1x+62++1x+6n+

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia wynikające z występowania pierwiastka we wzorze funkcji x+6>0, czyli x-6,+.

Szereg geometryczny, występujący we wzorze funkcji f, jest zbieżny, gdy

1x+6<1,

1<x+6,

1<x+6.

Zatem dziedziną funkcji jest zbiór -5,+.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać

fx=11-1x+6,

fx=x+6x+6-1.

Znajdźmy miejsca zerowe.

fx=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x+6=0.

Otrzymujemy zatem

x=-6-5,+.

Zauważmy, że wyliczona liczba nie może być miejscem zerowym, gdyż nie należy do dziedziny funkcji f.

Odpowiedź: funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji  fx=1-13x+2+13x+22-+1-3x-2n+

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę funkcji

-13x+2<1,

1<3x+2,

3x+2>1 lub 3x+2<-1,

3x>-1 lub 3x<-3,

x>-13 lub x<-1.

Zatem dziedziną funkcji f jest zbiór -,-1-13,+.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać

fx=11+13x+2,

fx=3x+23x+3.

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f, narysujemy wykres funkcji f w podanej dziedzinie.

RWOVwsO23Ilos

Sprawdzamy, że wartość funkcji f dla argumentu x=-13 jest równa 12.

Odpowiedź: zbiorem wartości funkcji f jest zbiór 12,11,+.

Przykład 3

Zbadamy, dla jakich argumentów funkcja fx=x-3+2x-6x+2+4x-12x+22++2nx-3x+2n+ przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny ma następujące parametry

a1=x-3, q=2x+2.

Zatem szereg jest zbieżny, gdy x-3=0 lub 2x+2<1.

Stąd otrzymujemy dziedzinę funkcji f

-;-40;+.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać

fx=x-31-2x+2,

fx=x-3x+2x.

Aby sprawdzić, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, musimy rozwiązać nierówność

x-3x+2x>0.

Zapisujemy równoważnie

x-3x+2x>0.

Narysujmy wykres funkcji gx=x-3x+2x.

R1YTutTeBSiDh

Odczytujemy rozwiązanie nierówności x-3x+2x>0

-2,03,+.

Odpowiedź: po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie ( 3 , + ) .

Przykład 4

Dana jest funkcja fx=x-2+x-2x-5+x-2x-52++x-2x-5n+. W zależności od wartości parametru a podamy liczbę rozwiązań równania fx=a.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą wyrażenia x-2 i sumy szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie x-2x-5 i ilorazie x-2x-5.

Aby ten szereg był zbieżny, zachodzi jeden z dwóch warunków

x-2=0 lub x-2x-5<1.

Zatem wystarczy tylko rozwiązać drugi warunek

x-2<x-5.

Podnosimy nierówność stronami do kwadratu i otrzymujemy

x2-4x+4<x2-10x+25.

Zatem dostajemy

x<72.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać

fx=x-2+x-2x-51-x-2x-5,

fx=23x-2.

Narysujmy wykres funkcji f.

R1DCv0SmbOZni

Odpowiedź: ponieważ jest to funkcja liniowa, zatem równanie 23x-2=a ma jedno rozwiązanie dla a<1, a nie ma rozwiązań dla a1.

Słownik

suma szeregu geometrycznego
suma szeregu geometrycznego

jeżeli q<1 lub a1=0, to szereg geometryczny n=1a1·qn-1 jest zbieżny

jeżeli a1=0, to n=1a1·qn-1=0

jeżeli q<1, to n=1a1·qn-1=limnSn=a11-q