Przeczytaj

W tym materiale zapoznamy się z przykładami zadań, które sprowadzają się do rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych.

Przykład 1

Rozstrzygniemy, która z liczb $6 \cos^{2} 1 + \cos 1$ czy $2 \sin 1$ jest większa.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $π > 3$ , czyli $\frac{π}{3} > 1$ .

Ponieważ $\frac{π}{3} \in (0, \frac{π}{2})$ i $1 \in (0, \frac{π}{2})$ oraz funkcja cosinus jest malejąca w przedziale $(0, π)$ , to:

$\cos 1 > \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Ponieważ $\frac{π}{3} \in (0, \frac{π}{2})$ i $1 \in (0, \frac{π}{2})$ oraz funkcja sinus jest rosnąca w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ , to:

$\sin 1 < \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Możemy więc oszacować:

$6 \cos^{2} 1 + \cos 1 > 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} = 2$

oraz

$2 \sin 1 < \sqrt{3}$ .

Ponieważ $\sqrt{3} < 2$ , więc $2 \sin 1 < \sqrt{3} < 2 < 6 \cos^{2} 1 + \cos 1$ .

Przykład 2

Udowodnimy, że jeżeli $α$ , $β$ , $γ$ są miarami kątów trójkąta nieprostokątnego, to zachodzi równość:

$tg α + tg β + tg γ = tg α \cdot tg β \cdot tg γ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ trójkąt jest nieprostokątny, to tangensy kątów $α$ , $β$ , $γ$ istnieją.

Przekształcamy równanie do postaci:

$tg α + tg β = tg α \cdot tg β \cdot tg γ - tg γ$

$tg α + tg β = (tg α \cdot tg β - 1) tg γ$ .

Ponieważ kąty $α$ , $β$ , $γ$ są kątami trójkąta i zachodzi równość $γ = 180 ° - (α + β)$ ,

to zachodzi także równość $tg γ = tg (180 ° - (α + β)) = - tg (α + β)$ .

Podstawmy zatem $tg γ = - tg (α + β)$ do prawej strony równania:

$tg α + tg β = (tg α \cdot tg β - 1) (- tg (α + β))$ .

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentówtangens sumy argumentówtangens sumy argumentów i przekształcamy prawą stronę równania:

$(tg α \cdot tg β - 1) (- tg (α + β)) = (tg α \cdot tg β - 1) (- \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}) = tg α + tg β$ ,

co kończy dowód tożsamości.

Przykład 3

Udowodnimy, że $\cos (β + 19 °) \cdot \sin (β + 1 °) < \sin (106 ° + β) \cdot \sin (β + 4 °)$ .

Rozwiązanie

Będziemy przekształcać nierówność równoważnie.

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych $\sin (106 ° + β) = \cos (16 ° + β)$ :

$\cos (β + 19 °) \cdot \sin (β + 1 °) < \cos (16 ° + β) \cdot \sin (β + 4 °)$ .

Wykorzystamy następujący wzór:

dla dowolnych $x$ , $y \in ℝ$ zachodzi równość:

$\sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2} (\sin (x + y) + \sin (x - y))$ .

Zatem:

$\frac{1}{2} [\sin (β + 1 ° + β + 19 °) + \sin (β + 1 ° - β - 19 °)] <$

$< \frac{1}{2} [\sin (16 ° + β + β + 4 °) + \sin (β + 4 ° - 16 ° - β)]$

co daje:

$\sin (2 β + 20 °) - \sin 18 ° < \sin (2 β + 20 °) - \sin 12 °$ .

Po redukcji wyrazów otrzymujemy zależność:

$\sin 18 ° > \sin 12 °$ , która jest prawdziwa.

Zatem nierówność z zadania jest prawdziwa.

Przykład 4

Rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = \frac{3}{4} \\ tg x \cdot tg y = 3 \end{cases}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $tg x \cdot tg y = \frac{\sin x \cdot \sin y}{\cos x \cdot \cos y}$ , to układ możemy zapisać w postaci:

$\{\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = \frac{3}{4} \\ \cos x \cdot \cos y = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Dodając równania z układu stronami, otrzymujemy równanie: $\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = 1$ .

Odejmując równania z układu stronami, otrzymujemy równanie: $\cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = - \frac{1}{2}$ .

Korzystając ze wzorów na cosinus sumy i różnicy argumentów, otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} \cos (x - y) = 1 \\ \cos (x + y) = - \frac{1}{2} \end{cases}$ .

Z pierwszego równania nowego układu otrzymujemy rozwiązanie:

$x - y = 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Z drugiego równania nowego układu otrzymujemy rozwiązanie:

$x + y = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ lub $x + y = - \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , gdzie $n \in ℤ$ .

Rozważmy dwa przypadki.

I przypadek:

Niech:

$\{\begin{cases} x - y = 2 π k \\ x + y = \frac{2 π}{3} + 2 π n \end{cases}$

Wówczas:

$2 x = \frac{2 π}{3} + 2 π n + 2 k π$ i $2 y = \frac{2 π}{3} + 2 π n - 2 k π$ , gdzie $k$ , $n \in ℤ$ ,

co można zapisać następująco:

$x = \frac{π}{3} + π n + k π$ i $y = \frac{π}{3} + π n - k π$ , gdzie $k$ , $n \in ℤ$ .

Sprawdzamy, że wskazane rozwiązanie spełnia układ z zadania.

II przypadek:

Niech:

$\{\begin{cases} x - y = 2 π k \\ x + y = - \frac{2 π}{3} + 2 π n \end{cases}$

Wówczas:

$2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 π n + 2 k π$ i $2 y = - \frac{2 π}{3} + 2 π n - 2 k π$ , gdzie $k$ , $n \in ℤ$ ,

co można zapisać następująco:

$x = - \frac{π}{3} + π n + k π$ i $y = - \frac{π}{3} + π n - k π$ , gdzie $k$ , $n \in ℤ$ .

Sprawdzamy, że wskazane rozwiązanie spełnia układ z zadania.

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia $tg x \cdot tg y \cdot tg z$ , jeżeli wiadomo, że:

$\{\begin{cases} x + y + z = π \\ tg x \cdot tg z = 2 \\ tg y \cdot tg z = 18 \end{cases}$

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $x$ , $y$ , $z \in ℝ ∖ \{\frac{k π}{2}, gdzie k \in ℤ\}$ .

Z pierwszego równania wyliczamy zmienną $z$ :

$\{\begin{cases} z = π - (x + y) \\ tg x \cdot tg z = 2 \\ tg y \cdot tg z = 18 \end{cases}$ .

Dzieląc stronami równanie drugie przez równanie trzecie, doprowadzamy układ do następującej postaci:

$\{\begin{cases} z = π - (x + y) \\ tg x \cdot tg [π - (x + y)] = 2 \\ 9 tg x = tg y \end{cases}$ .

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\{\begin{cases} z = π - (x + y) \\ tg x \cdot tg (x + y) = - 2 \\ 9 tg x = tg y \end{cases}$ .

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$\{\begin{cases} z = π - (x + y) \\ \frac{tg x (tg x + tg y)}{1 - tg x \cdot tg y} = - 2 \\ 9 tg x = tg y \end{cases}$ .

Zauważmy, że drugie równanie przyjmuje postać:

$\frac{tg x (t g x + 9 tg x)}{1 - 9 {tg}^{2} x} = - 2$ ,

skąd wyliczamy wartość:

${tg}^{2} x = \frac{1}{4}$ .

Zatem rozwiązanie układu możemy zapisać następująco:

$\{\begin{cases} tg x = \frac{1}{2} \\ tg y = \frac{9}{2} \\ tg z = 4 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} tg x = - \frac{1}{2} \\ tg y = - \frac{9}{2} \\ tg z = - 4 \end{cases}$ .

Odpowiedź:

$tg x \cdot tg y \cdot tg z = 9$ lub $tg x \cdot tg y \cdot tg z = - 9$ .

Słownik

tangens sumy argumentów

dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ spełniających warunki $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , zachodzi wzór:

tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}

Wprowadzenie

Infografika

Słownik