Doświadczenie polegające na $k$ – krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może się skończyć na jeden z $n$ sposobów nazywa się $k$ – wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego.

Liczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego.liczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowegoLiczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego.

Obliczymy, ile jest wszystkich funkcji, których dziedziną jest zbiór $\left\{a,b,c,d,e,f\right\}$ a zbiorem wartości jest zbiór $\left\{1,2,3\right\}$.

Zauważmy, że każdy argument funkcji spełniającej warunki zadania może przyjmować jedną z trzech dostępnych wartości:

$a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$$\in \left\{1,2,3\right\}$.

Zatem każda taka funkcja da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do sześcioelementowego ciągu $\left(a,b,c,d,e,f\right)$, którego elementy przyjmują wartości ze zbioru trzyelementowego $\left\{1,2,3\right\}$.

Dla przykładu:
spełniającej warunki zadania funkcji $g$, takiej, że $g\left(a\right)=1$, $g\left(b\right)=1$, $g\left(c\right)=3$, $g\left(d\right)=2$, $g\left(e\right)=2$, $g\left(f\right)=1$, przypisany jest w ten sposób ciągciągciąg $\left(1,1,3,2,2,1\right)$.

Zatem wszystkich takich funkcji jest tyle, ile sześcioelementowych wariacji z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami ze zbioru trzyelementowego, czyli $3^5=243$.

Rozpatrzmy siedmiokrotny rzut monetą.

R1s02ggx5kL6B1

Zdjęcie przedstawia otwartą dłoń, na której znajdują się dwie złote monety.

Każdy wynik takiego doświadczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg $\left(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7\right)$, gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$, $r_7$ może przyjmować jedną z wartości: 'orzeł' lub 'reszka'.

Jeżeli te wartości oznaczymy jednoliterowym skrótem, odpowiednio $o$ oraz $r$, to przykładowy wynik siedmiokrotnego rzutu monetą zapisany jako ciąg $\left(o,o,o,r,o,r,o\right)$ oznacza, że w czwartym oraz w szóstym rzucie wypadła reszka, a w każdym z pozostałych pięciu rzutów wypadł orzeł.

Ponieważ każdy wynik omawianego doświadczenia jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego, więc wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu monetą jest $2^7=128$.

Rozpatrzmy trzykrotny rzut sześcienną kostką do gry.

Rt8sHXl22IXyv1

Zdjęcie przedstawia dwie sześcienne kości do gry.

Każdy wynik takiego trzykrotnego rzutu możemy zapisać jako trzyelementowy ciąg $\left(r_1,r_2,r_3\right)$, gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach $r_1$, $r_2$, $r_3$ może przyjmować jedną z sześciu wartości: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.

Przykładowy wynik trzykrotnego rzutu kostką zapisany jako ciąg $\left(6,5,1\right)$ oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła liczba oczek równa $6$, w drugim – liczba oczek równa $5$, a w trzecim – liczba oczek równa $1$.

Ponieważ każdy wynik trzykrotnego rzutu sześcienną kostką do gry jest trzyelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest $6^3=216$.

Ustalimy, na ile sposobów można rozmieścić siedem ponumerowanych od $1$ do $7$ kul w pięciu urnach, ponumerowanych od $1$ do $5$.

Zauważmy, że w powyższym zadaniu każdej kuli przypisujemy dokładnie jedną urnę (przyporządkowanie każdej urnie wrzuconych do niej kul NIE JEST funkcją – po rozmieszczeniu wszystkich kul znajdziemy urnę, w której są co najmniej dwie kule, a może się również tak zdarzyć, że pewna urna pozostanie pusta).

Każdy wynik takiego rozmieszczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg $\left(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7\right)$, gdzie każdej z siedmiu kul $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_4$, $k_5$, $k_6$, $k_7$ przypisujemy numer urny, do której została wrzucona.

Przykładowy wynik rozmieszczenia tych siedmiu kul zapisany jako ciąg $\left(3,5,1,2,3,1,5\right)$ oznacza, że kule o kolejnych numerach od $1$ do $7$ zostały rozmieszczone w urnach o numerach odpowiednio: $3$, $5$, $1$, $2$, $3$, $1$, $5$.

Ponieważ każdy wynik rozmieszczenia siedmiu ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych urnach jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru pięcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest $5^7=78125$.

$k$ – wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami) ze zbioru $n$ – elementowego

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

liczba wszystkich $k$ – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego jest równa $n^k$.