Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Dane jest wyrażenie wymierne PxQx, gdzie PxQx są pewnymi wielomianami, Qx nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu Qx.

Wyrażenie PxQx możemy rozszerzyć przez wielomian niezerowy Wx, sprowadzając je do postaci Px·WxQx·Wx.

Wyrażenia wymierne PxQx oraz Px·WxQx·Wxrówne dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianów z mianownika (czyli QxWx).

Przykład 1

Rozszerzymy ułamek 2x-13x+4 przez 2x2+x-6.

  • Po wykonaniu mnożenia wielomianów możemy zapisać, że
    2x-13x+4=4x3-13x+66x3+11x2-14x-24.

  • Ze względu na konieczność określenia założeń, zwykle wygodniejszy będzie zapis licznika i mianownika w postaci iloczynowej.
    Wyrażenie, przez które rozszerzamy, można zapisać w postaci iloczynu: 2x2+x-6=x+22x-3.
    Zatem 2x-13x+4=2x-1x+22x-33x+4x+22x-3,
    przy czym 3x+40x+202x-30,
    czyli x-2;-43;32.

Przykład 2

Rozszerzymy ułamek x-7x-5 tak, by otrzymać ułamek o liczniku x3-7x2-x+7.
Podamy potrzebne założenia.

  • Sprowadźmy licznik do postaci iloczynowej:
    x3-7x2-x+7=x2x-7-x-7=
    =x-7x2-1=x-7x-1x+1.

  • Ułamek należy zatem rozszerzyć przez x-1x+1:
    x-7x-5=x-7x-1x+1x-5x-1x+1=x3-7x2-x+7x3-5x2-x+5,
    przy czym x-1;1;5.

Przykład 3

Rozszerzymy ułamek x-2x2-2x+4 tak, by otrzymać ułamek, którego mianownikiem będzie dwumian x3+8.
Podamy potrzebne założenia.

  • Zauważmy, że x3+8=x+2x2-2x+4.

  • Wystarczy zatem rozszerzyć ułamek przez x+2:
    x-2x2-2x+4=x-2x+2x2-2x+4x+2=x2-4x3+8.

  • Ułamki są równe, gdy x-2.

Przy uwzględnieniu potrzebnych założeń analogicznie można rozszerzać dowolne wyrażenia algebraiczne zapisane w formie ułamka. Nie muszą być ilorazami dwóch wielomianów. Wyrażenie, przez które rozszerzamy, nie musi być wielomianem.

W kolejnych przykładach pokażemy, jak rozszerzając wyrażenia zapisane w formie ułamka, sprowadzić do prostszej postaci ułamki piętrowe.

Przykład 4

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
a+1a3-1a3+a2+2aa3-1
zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadzimy je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.

  • Rozszerzmy ułamek piętrowy przez wyrażenie a3-1:
    a+1a3-1a3+a2+2aa3-1=a+1a3-1·a3-1a3+a2+2aa3-1·a3-1=a+1a3+a2+2a.

  • Ustalmy założenia pamiętając, że nie wolno dzielić przez 0.
    a3-10a3+a2+2a0

    a-1a2+a+10aa2+a+20

    Wyrażenia a2+a+1 oraz a2+a+2 nie przyjmują wartości 0 dla żadnej liczby rzeczywistej (w obu przypadkach Δ<0).
    Zatem a-10a0,
    czyli a0;1.

Przykład 5

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
x2-x-2x3+4x2+10x+12x2-4x+3x2+2x+6
zapisane w formie ułamka piętrowego sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podaj potrzebne założenia.

  • Na początek sprowadźmy do postaci iloczynowej wielomiany x3+4x2+10x+12x2+2x+6.

  • Łatwo zauważyć, że wielomian x2+2x+6 jest nierozkładalny (Δ<0).

  • Rozkładając wielomian x3+4x2+10x+12 możemy użyć metody grupowania:
    x3+4x2+10x+12=x3+4x2+4x+6x+12=
    =xx+22+6x+2=x+2x2+2x+6.

  • Rozszerzmy ułamek z zadania przez x+2x2+2x+6:

    x2-x-2x+2x2+2x+6x2-4x+3x2+2x+6=x2-x-2x+2x2+2x+6·x+2x2+2x+6x2-4x+3x2+2x+6·x+2x2+2x+6=

    =x2-x-2x2-4x+3x+2.

  • Wyznaczmy potrzebne założenia:
    x2+2x+60x+20x2-4x+30,
    czyli x-2;1;3.

Przykład 6

Rozszerzając odpowiednio wyrażenie

x+4x3-3x2+8xx+5x3-x2+2x+16

zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.

  • Sprowadźmy do postaci iloczynowej mianowniki ułamków:
    x3-3x2+8x=xx2-3x+8x3-x2+2x+16=x+2x2-3x+8.

  • Rozszerzmy cały ułamek przez xx+2x2-3x+8:

    x+4xx2-3x+8x+5x+2x2-3x+8=x+4xx2-3x+8·xx+2x2-3x+8x+5x+2x2-3x+8·xx+2x2-3x+8=

    =x+4x+2x+5x=x2+6x+8x2+5x.

  • Wyznaczmy założenia:
    x0x-2x-5.

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego
dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy