Przeczytaj
Dane jest wyrażenie wymierne , gdzie i są pewnymi wielomianami, nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażeniadziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu .
Wyrażenie możemy rozszerzyć przez wielomian niezerowy , sprowadzając je do postaci .
Wyrażenia wymierne oraz są równe dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianów z mianownika (czyli i ).
Rozszerzymy ułamek przez .
Po wykonaniu mnożenia wielomianów możemy zapisać, że
Ze względu na konieczność określenia założeń, zwykle wygodniejszy będzie zapis licznika i mianownika w postaci iloczynowej.
Wyrażenie, przez które rozszerzamy, można zapisać w postaci iloczynu: .
Zatem ,
przy czym
czyli .
Rozszerzymy ułamek tak, by otrzymać ułamek o liczniku .
Podamy potrzebne założenia.
Sprowadźmy licznik do postaci iloczynowej:
.
Ułamek należy zatem rozszerzyć przez :
,
przy czym .
Rozszerzymy ułamek tak, by otrzymać ułamek, którego mianownikiem będzie dwumian .
Podamy potrzebne założenia.
Zauważmy, że .
Wystarczy zatem rozszerzyć ułamek przez :
.
Ułamki są równe, gdy .
Przy uwzględnieniu potrzebnych założeń analogicznie można rozszerzać dowolne wyrażenia algebraiczne zapisane w formie ułamka. Nie muszą być ilorazami dwóch wielomianów. Wyrażenie, przez które rozszerzamy, nie musi być wielomianem.
W kolejnych przykładach pokażemy, jak rozszerzając wyrażenia zapisane w formie ułamka, sprowadzić do prostszej postaci ułamki piętrowe.
Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadzimy je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.
Rozszerzmy ułamek piętrowy przez wyrażenie :
.
Ustalmy założenia pamiętając, że nie wolno dzielić przez .
Wyrażenia oraz nie przyjmują wartości dla żadnej liczby rzeczywistej (w obu przypadkach ).
Zatem
czyli .
Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
zapisane w formie ułamka piętrowego sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podaj potrzebne założenia.
Na początek sprowadźmy do postaci iloczynowej wielomiany i .
Łatwo zauważyć, że wielomian jest nierozkładalny ().
Rozkładając wielomian możemy użyć metody grupowania:
.
Rozszerzmy ułamek z zadania przez :
.
Wyznaczmy potrzebne założenia:
czyli .
Rozszerzając odpowiednio wyrażenie
zapisane w formie ułamka piętrowego, sprowadź je do postaci wyrażenia wymiernego, czyli ułamka, którego licznik i mianownik to wielomiany.
Podamy potrzebne założenia.
Sprowadźmy do postaci iloczynowej mianowniki ułamków:
.
Rozszerzmy cały ułamek przez :
.
Wyznaczmy założenia:
.
Słownik
wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy