Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^3+2x^2-2x-4}{x}=0$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Zajmiemy się licznikiem ułamka algebraicznego. Grupujemy pierwszy wyraz z drugim oraz trzeci z czwartym. Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias jednomian $x^2$, z drugiej pary liczbę $\left(-2\right)$.

$\frac{x^2\left(x+2\right)-2\left(x+2\right)}{x}=0$

Następnie wspólny czynnik $\left(x+2\right)$ wyłączamy przed nawias.

$\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2\right)}{x}=0$

Przyrównujemy licznik ułamka algebraicznego do zera.

$\left(x+2\right)\left(x^2-2\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$

$x=-2 \vee x=\sqrt{2} \vee x=-\sqrt{2}$

$-2\in D$, $\sqrt{2}\in D$, $-\sqrt{2}\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $-2$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.

Wyznaczymy dziedzinę równania $\frac{x}{6x^3+2x^2-18x-6}=0$.

$6x^3+2x^2-18x-6\ne 0$

Grupujemy wyrazy.

$2x^2\left(3x+1\right)-6\left(3x+1\right)\ne 0$

Wyłączamy wspólny czynnik $\left(3x+1\right)$ przed nawias.

$\left(3x+1\right)\left(2x^2-6\right)\ne 0$

$3x+1\ne 0$ i $2x^2-6\ne 0$

$3x\ne -1$ i $x^2-3\ne 0$

$x\ne -\frac{1}{3}$ i $x\ne -\sqrt{3}$ i $x\ne \sqrt{3}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{3}, -\frac{1}{3}, \sqrt{3}\right\}$.

Sprowadzimy licznik i mianownik równania $\frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}=0$ do postaci iloczynowej metodą grupowania wyrazów i rozwiążemy równanie.

Zapiszmy równanie w postaci równoważnej, aby zastosować metodę grupowania wyrazów.

$\frac{x^2-x-2x+2}{x^2-x-6x+6}=0$

Grupujemy wyrazy.

$\frac{x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)}=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-6\right)}=0$

Pamiętajmy o określeniu dziedziny równania.

$x\ne 1$ i $x\ne 6$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1, 6\right\}$

Dzielimy licznik i mianownik równania przez $\left(x-1\right)$.

$\frac{x-2}{x-6}=0$

$x-2=0$

$x=2$

Rozwiązaniem równania jest liczba $2$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^3-x^2-x-1}{x-1}=0$ metodą grupowania wyrazów.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$

$\frac{x\left(x^2-1\right)-\left(x+1\right)}{x-1}=0$

$\frac{x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)}{x-1}=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\frac{\left(x+1\right)\left[x\left(x-1\right)-1\right]}{x-1}=0$

$\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x-1\right)}{x-1}=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0$

$x=-1$ oraz $\mathrm{\Delta }=5$

$-1\in D$, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\in D$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\in D$.

Równanie ma trzy rozwiązania: $-1$, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$